book5 (В.И. Елисеев), страница 5

При подстановке одного из корней разложения в другое эквивалентное разложен16ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯие обращает два линейных множителя в произведение делителей нуля общегоiϕiϕвида υ d υ d = Are Are (1 − ji )(1 + ji ) = 0. При этом эквивалентные разложения вычитаются из пространства вместе с вычетом этого корня.Многочлен может быть представлен как сумма двух эквивалентных разложений, например11Q (υ ) = (υ − 1)(υ + 1)(υ − 2) = (υ − 1)(υ + 1)(υ − 2) + (υ − ji )(υ + ji )(υ − 2).22Это разложение применено в дальнейшем для исследования поведения функцийи операций с ними.

В дальнейшем можно будет ограничеться одним из эквивалентных разложений.Пространство накладывает жесткое ограничение на варианты разложений. Впространстве для эквивалентных разложений квадратного многочлена областьдолжна включать обо сопряженных корня , определяемых из условия наличияделителей нуля. Если рассматривается многочлен только в верхнем или тольконижнем полупространстве то разложение не имеет эквивалентных.Функции видаΡm (υ ), где в числителе и знаменателе многочлены соотQn (υ )ветственно степени m и n и m ! n ,разлагается на сумму простых дробей видаABυ + D, 2.

В пространстве квадратный трехчлен вне завиr(υ − a ) (υ + pυ + q ) kсимости от знака дискриминанта p 2 − 4q может быть разложен на линейныедроби по двум вариантамαβ1=−,где υ1 ,υ 2 есть корни, могут быть действи2υ + pυ + q υ − υ1 υ − υ 2тельными и комплексными в зависимости от видов коэффициентов p, q а такжеηλ1=−, где υ3 ,υ 4 есть корни в пространстве.2υ + pυ + q υ − υ 3 υ − υ 4Примечание. Линейный множитель υ − a = 0 имеет только один корень a.Если принятьυ = jia то υ − a = a ( ji − 1) ≠ 0 .Поэтому дробь1имеет один корень в знаменатели υ = a .υ −aПримечание: Квадратное уравнение υ 2 + pυ + q = 0 разлагается по двумвариантам(1.2.)впроизведениелинейныхмножителей(υ − υ1 )(υ − υ 2 ) = (υ − υ 3 )(υ − υ 4 ) = 0 ,где υ1 ,υ 2 ,υ3 ,υ 4 являются корнями квадратного уравнения, определенные по трем вариантам, подстановка любого из них висходное квадратное уравнение обращает его в ноль.Таким образом, дробь должна в пространстве раскладываться на две про11111стейшие дроби 2=+=22υ + ρυ + g 2 υ + ρυ + g 2 υ + ρυ + g1111=+2 (υ − υ1 )(υ − υ 2 ) 2 (υ − υ 3 )(υ − υ 4 )17ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯПри подстановке корней υ1 или υ 2 во вторую дробь последняя в знаменателе будет иметь ноль как произведение делителей нуля. При подстановкекорней υ 3 или υ 4 в первую дробь в знаменателе также будем иметь ноль какпроизведение делителей нуля. Других корней квадратное уравнение не имеет.Разложение дроби на сумму двух простейших дробей единственно.

Разложениепоказывает, когда переменная υ равна одному из корней уравнения, стоящего взнаменателе, то обе дроби имеют в знаменателе ноль. Причем вторая дробь имеет ноль как произведение делителей нуля. Поэтому изолирование одного изкорней в пространстве Υ приводит к изолированию конуса делителей нуля, исходящего из точки, фиксированной этим корнем.В результате дробь разлагается в пространстве на сумму четырех дробей,что позволяет исключить из рассмотрения в пространстве точек изолированнойоси. 1 11111  111 =−+−2υ + pυ + q 2 (υ1 − υ 2 ) υ − υ1 υ − υ 2  2 (υ 3 − υ 4 ) υ − υ 3 υ − υ 4 Если в знаменателе одну из разностей приравнять делителю нуляυ − υ к = re iϕ + jψ (1 ± ji ) тогдаυ = υ k + re iϕ + jψ (1 ± ji ) и в соответствии с комплексной алгеброй за-ключаем, что точка υ k , являющаяся одним из корней уравнения, стоящего взнаменателе, окружена сферой из делителей нуля. В этом случае модуль r изменяется в пределах 0 ≤ r ≤ ∞ .В силу свойств делителей нуля υ ± υ (1 ± ji ) ≠ υ последнее соотношениенеобходимо рассматривать как замену переменных и перенос критической точки в нулевую точку с изолированным направлением.1.1.4.

Пространственные комплексные числаУчитывая вышесказанное пространственным комплексным числом назовем выражение видаυ = z + jσ(1.3.)где z и σ - комплексные числа вида χ+iγ, ξ+iγ, а символы i, j - мнимыеединицы, таблица умножения которых задается в следующем виде:ii=jj=-1ij=ji=k,(ij) 2 =(ij) 2 =k 2 =1Таким образом, пространственный комплекс ν можно рассматривать, каквекторную сумму двух плоских комплексов(1.4.)ν =z+jσ=(χ+iγ )+j(ξ+iη).Комплексы z и σ будут являться действительной и мнимой частью пространственного комплекса νz=Re ν =Re (z+j σ )σ =Im ν =Im (z+j σ )Числа χ, γ, ξ, η соответственно определяется выражениями:χ =Re Re ν ,ξ =Im Re ν ,γ =Re Im νη =Im Re ν18ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯЕсли σ = 0, то комплекс ν плоский и равен z. Если z = 0, то комплекс νпространственно мнимый, ν = jσ.Два пространственных комплексных числа равны, если равны их мнимыеи действительные части:z1 + jσ 1 = z2 + jσ 2тогда и только тогда, когда z1=z2, σ1=σ2.Если σ1=-σ2,то комплексное пространственное число ν2 будет называться пространственно сопряженным числом и обозначатьсяz + jσ = z − jσ = νОпределим простейшие операции.1.

Сложение. Суммой ν1+ν2 чисел ν1=z1+jσ1 и ν2=z2+jν2 назовемкомплексное число ν=ν1+ν2=(z1+z2)+j(σ1+σ2).Разность двух комплексных чисел в пространстве обозначим символомν1-ν2. Очевидно ν=ν1-ν2=(z1-z2) + j(σ1-σ2)Для пространственных комплексных чисел выполняется переместительный и сочетательный законы сложения:ν1+ν2=ν2+ν1;ν 1 +( ν 2 + ν 3 )=( ν 1 + ν 2 )+ ν 3сел2. Умножение. Произведением ν1ν2 пространственных комплексных чи-ν 1 =z 1 +j σ 1 , ν 2 =z 2 +j σ 2называется пространственное комплексное числоν = ν 1 ν 2 =(z 1 z 2 - σ 1 σ 2 )+j(z 1 σ 2 + σ 1 z 2 ).Если ν1=j, ν2=j, то jj=-1.Таким образом, конкретные примеры показывают, что операции сложения и умножения аналогичны операциям в комплексной плоскости до тех пор,пока комплексы z и σ взяты в общем виде.Очевидно, на этом уровне справедливы законы умножения:Переместительный ν1ν2=ν2ν1;ν1(ν2ν3)=(ν1ν2)ν3;СочетательныйРаспределительный (ν1+ν2)ν3=ν1ν3+ν2ν3.1.1.5.

Геометрическая иллюстрация пространственного комплексногочислаВершиной классической математики и математического анализа являетсятеория функций комплексного переменного (ТФКП), основателем которой является французский математик О. Коши. Теория дошла до нашего времени почти в том виде, в котором она была создана.Значительно усилив мощь математического аппарата в инженерных расчетах, теория Коши оставила инженерный аппарат плоским расчетным. Для перехода к описанию пространственных физических процессов и явлений требуется введение в аппарат дополнительных координат, которые не соответствуютопределению пространственной точки и окрестности ее, которая заложена втеории Коши. В теоретической физике например, вводят матрицы, которыеближе к программному обеспечению чем к математическому аппарату.19ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯДля описания пространственных явлений и процессов исследователистроят свои конкретные физико-математические модели. Инженерный расчетдостигает успеха лишь в том случае, когда он проводится с соблюдением законов алгебры обычных чисел.Сложность физических процессов, например, на уровне атомного ядра иэлектронных оболочек требует создание эффективной пространственной модели.ε+∞Рис. 1.

Ось в комплексном пространствеТеория Коши в этом плане дает предпосылки для построения такой пространственной модели и она используется в теоретической физике. ТеоремыКоши об изолированных точках и вычетах, а также взаимосвязь точек на плоскости комплексных координат дают основание на пересмотр абстрактного понятия точки. Рассмотрим последовательно: линию, плоскость, пространство,опираясь на принятые понятия, но делая свои выводы.Линия рассматривается как одномерное пространство, как и делают современные исследователи. Однако как только на линии ставится точка ноль, какначало координат, что означает на инженерном языке привязку этой линии креальному пространству, назвать линию одномерным пространством означаетдопустить грубейшую ошибку.

Переход по линии из − ∞ через точку 0 к+ ∞ нельзя не обогнув 0 по дужке и совершив оборот на угол ϕ = ±π .Можно игнорировать этот факт, называя линию одномерным пространством, но можно утверждать, что линия терпит разрыв в точке начале координат, какой бы минимальный радиусДужке ε → 0 не был, либо это уже не одномерное пространство.Далее рассматриваем установившееся понятие двумерного (плоского)пространства. Если плоскость рисуется без начала координат, то это понятие ненесет физического смысла. Если плоскость привязана к реальному пространству, то в ней фиксируется начало координат.

В этом случае логика предыдущихрассуждений вступает в силу. Окрестность нуля не принадлежит этому двумерному миру. Окрестность нуля выколотое двумерное пространство. Определение, ноль имеет неопределенный аргумент 0 = 0eiϕ , физически означает, чтоплоскость проколота лучом, исходящим из другого измерения. Последнее и утверждает, что плоскость несет в себе элемент пространства.iyxРис. 2.

Комплексная плоскостьНельзя пройти точку ноль по прямой, не обогнув ее по дужке в его окрестности. Можно радиус дужки устремить к нулю, однако физическая сторона ив этом случае не меняется. Определение нуля как 0 = 0eiϕ в физических расчетахдает возможность игнорировать аргумент в точке ноль, до тех пор как ноль нестановится критической точкой.

Простейшую кривую на плоскости окружностьнельзя стянуть в точку около критической точки.Продолжая эту логическую цепочку, восстановим к плоскости не линию,как это делает классическая математика, а цилиндрическую трубочку радиуса20ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯокрестности нуля. Сфера в таком пространстве является сферой с проколотымивершинами. Пространство внутри сферы между ее внутренней поверхность инаружной поверхностью цилиндрической оси есть пространство другого измерения, чем пространство вне сферы и внутри изолированной оси.Простейшей пространственной кривой будет кривая C3 .Кривая характеризуется двумя аргументами ϕ ,ψ и двумя радиусами: R-радиус сферы, rε радиус цилиндрической оси. Двигаясь по кривой C3 аргумент ϕ получит приращение 4π , аргумент ψ получит приращение 2π .На кривую C3 можно натянутьповерхность без точек самопересечения и нельзя сжать без складок в плоскуюкривую.

Более сложные кривые имеют, выражаясь физическим языком, большее количество намоток по поверхности сферы и цилиндрической оси.Становится очевидным почему при извлечении корня из+1 имели дваразных корня только при периодичности изменения аргументов 4π перед мнимой единицей I и 2π перед мнимой единицей J. (См. Извлечение корня 1.1.1.)При такой геометрической интерпретации абстрактное понятие точки,линии, плоскости детализируются: точка есть сфера δ радиуса, линия есть цилиндр ε радиуса, плоскостьИмеет ε толщину.Рис.