book5 (В.И. Елисеев), страница 4

Так, что необходимо исследовать извлечение квадратного корня из произведения (-1)(-1).zΚ =( −1) e( π i + 2 Κπ i )12(πi + 2 Κπi )( −1) eполучим z1 = −1; z 2 = −1.12=e( π i + 2 Κπ i )11(πi + 2 Κπi )2e2 ,Κ= 0,1Единица была представлена как произведение двух отрицательных единиц, которые на плоскости (z) представляют одну точку с аргументомarg( −1) = πi .Точка находится на верхнем берегу разреза комплексной плоскости (z) по оси − ∞ ≥ x ≤ 0 . Для получения второго корня в этом случае требуется перемешивание системы отсчета, то есть введение Κ 1 = 0,1Κ 2 = 0,1 ТогдаzΚ = e(πi + 2 Κ1πi )11(πi + 2 Κ 2πi )2e2z1 = ( z Κ ) Κ1 =0,Κ 2 =1 =так, что получаемπi πi+πie2e2= +1 ,πiπi+πie2 e2= +1 , и еслиz2 = ( z Κ ) Κ1 =1,Κ 2 =0 =Κ 1 = Κ 2 = 1 то имеем второй корень равный –1z1 = ( z Κ ) Κ1 = Κ 2 =0πi2=e2z2 = ( z Κ ) Κ1 = Κ 2 =1 = e(Κ 1 = Κ 2 = 0 , или= −1,πi+πi ) 22= −1 .Таким образом, показано, что закон извлечения корня из +1 в комплексной плоскости Z дает два корня ± 1 только в том случае когда системы отсчетаперемешаны.

В этом случае можно рассмотреть такую систему аргументов впространстве чисел и их циклическое изменение при которых система отсчета Кдля обоих аргументов будет одним числом.Представим11( π i + 4 kπ i ) + ( π j + 2 kπ j )22,eгде Κ = 0,1 ,а мнимая единица J отличаетсяот мнимой единицы I только обозначением, тогда имеемzΚ =z1 = ( zk ) k =0 =πi πje2e2z2 = ( zk ) k =1 = e(= jiπiπj+ 2πi )+πj2e2= − ji12ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯТаким образом, комплексное число может быть представлено как пространственное с двумя аргументами в видеυ = Reiϕ + jψ с пространственным изменением аргументов и их циклическим приращением равным Γk = ( 4πi + 2πj )k , где k есть целое число.Извлечение квадратного корня из +1, кроме тривиального решения1 = ±1 , дает пространственное:1 = ± ji , и имеем следующую алгебру мни-мых единиц ( ji ) = ( j ) (i ) = i j = (− 1)(− 1) = +1 ,ji = ij .2222 2(1.1.)1.1.2.

Решение квадратного уравнения в пространстве чисел.Расширение поля комплексных чисел считается невозможным. Расширение поля комплексных чисел связывают с выявлением математической операцией над ними, которая не выполнялась бы в этом поле. В связи с отсутствиемтакой операции поле комплексных чисел определено как замкнутое.

В этом заключена логическая ошибка. Ситуация, требующая расширения поля комплексных чисел существует и для этого необходимо вновь вернуться к рассмотрениюрешения квадратного уравнения. Рассмотрим классический ход решения квадратного уравненияυ 2 + 2aυ + b = 0 , где коэффициенты a, b действительные или ком-плексные.Произведем последовательно операцииυ 2 + 2aυ + b + a 2 − a 2 ⇒ [(υ + a ) 2 − (a 2 − b)] ⇒⇒ [(υ + a ) − a 2 − b ] ⋅ [(υ + a ) + a 2 − b ] ⇒  υ +a υ +a+ 1 = 0 .⇒ ( a 2 − b) − 1 ⋅ 22 a −b   a −b Считаем a 2 − b ≠ 0 .

Произведение двух сомножителей XY равно нулю втрех случаях:1) X = 0,Y ≠ 0(1.2.)2) X ≠ 0, Y = 03) X ≠ 0, Y ≠ 0 .Третий случай определяет произведение делителей нуля. Первые два варианта дают классический случай решения и два корня квадратного уравнения вдействительной и комплексной областяхυ1,2 = −a ± a 2 − b .Это тривиальное решение. Исключить из рассмотрения третий случай неоправдано с логической точки зрения.

Два сомножителя не равные нулю, в произведении дающих ноль, существуют в пространстве комплексных чисел.Обозначимυ +a2a −b= ± ji222где было введено: i = −1, j = −1, ji = ij, ( ji ) = +1 .Подставляя выражение в квадратное уравнение,получим произведение13ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ⇒ ( ji − 1)( ji + 1) = ( ji ) 2 − ji + ji − 1 = 0 .Откуда следует, что квадратное уравнение имеет еще два корня в пространственном поле чиселυ 3,4 = − a ± ji a 2 − b .2Ввиду того, что ( ji ) = 1 отыскание корней не представляет трудностей.Появление коэффициента ji перед дескрименантом в решении квадратногоуравнения определяет разветвление в решении в силу изменения размерностипространства. Квадратный корень имеет разветвление на отрицательное и положительное значение в любой размерности пространства и поэтому корни являются сопряженными.

Поэтому квадратное уравнение имеет по меньшей меречетыре корня.Пример: Имеем квадратное уравнениеυ 2 + 4υ + 3 = 0Корни в действительной области чисел υ1 = −1,υ 2 = −3 , уравнение разлагается на два сомножителяυ 2 + 4υ + 3 = (υ + 1)(υ + 3) = 0для этого разложения действует два первых варианта равенства нулюпроизведения двух множителей.Корни в комплексном пространстве чисел соответственно равныυ 3,4 = −2 ± ji 1 , откуда υ 3 = −2 + ji,υ 4 = −2 − ji , уравнение разлагается на два сомножителяυ 2 + 4υ + 3 = (υ + 2 − ji )(υ + 2 + ji ) = 0для этого варианта корней также действуют два первых варианта равенства нулю произведения двух множителейЕсли во второе разложение подставить корни из плоскости –1 или -3 торазложение переходит в произведение делителей нуля (третий вариант равенства нулю произведений двух сомножителей )υ 2 + 4υ + 3 = ( −1 + 2 − ji )( −1 + 2 + ji ) = (1 − ji )(1 + ji ) = 0 ,где 1 − ji ≠ 0,1 + ji ≠ 0Аналогичная ситуация получается при подстановке корней из пространства чисел в разложение в действительной области.

Корни из пространства одного измерения лежат на изолированной оси пространства другого измерения.2Пример: Квадратное уравнение υ − 1 = 0 имеет четыре корня:υ = 1,υ = −1 в действительной области чисел,υ 3 = ji,υ 4 = − ji . В пространстве квадратное уравнение разлагается по двум равноценным вариантамυ 2 − 1 = (υ + 1)(υ − 1) = (υ + ji )(υ − ji ) = 0 .Подстановка любого корня уравнения из одной области пространства вразложения из другой области пространства дают произведение делителей нуля.υ 2 − 1 = (1 + ji )(1 − ji ) = 0 .1.1.3. К вопросу об основной теореме алгебры.Появление новых корней в квадратном уравнении не противоречит многочисленным формулировкам основной теоремы алгебры, а уточняет их в плане14ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯпринадлежности многочлена к определенной мерности пространства, способеразложения его на линейные множители и количестве вариантов этих разложений. Основная теорема алгебры относится к числовым полям и многочленам,определенным в них. Пространственная комплексная алгебра относится к числовым полям, поэтому необходима корректировка основной теоремы алгебры.До настоящего времени корректировка не требовалась, так как двумерномукомплексному полю не было альтернативы.Многочлен в конечном счете этафункция, а функции всегда определены в каких либо полях, поэтому расширение поля комплексных чисел влечет за собой корректировку основной теоремы.Отыскание новых корней многочлена из условия когда два линейных множителя не равных нулю в произведении дают нуль не противоречит основнойтеоремы алгебры, а показывает, что многочлен может быть разложен на произведение линейных множителей по целому ряду эквивалентных вариантов.Пусть задан многочлен n степениQ (υ ) = cnυ n + cn −1υ n + ...

+ c1υ + c0 ,в котором коэффициенты cn , cn −1 ,.....c0 могут быть действительными иликомплексными числами. Если многочлен не имеет обычных кратных корней, тоон может быть разложен на произведение n линейных множителейQ (υ ) = (υ − a1 )(υ − a 2 ) ⋅ ... ⋅ (υ − a n )Если многочлен имеет комплексные корни, то к произведению линейных множителей добавляются квадратные многочлены.Произведение двух линейных множителей дает квадратный трехчлен вобщем виде , который в пространстве может иметь эквивалентное разложениена линейные множители , корни в которых определены из условия существования в пространстве делителей нуля. В пространстве для многочлена степени nбольше 2 эквивалентных разложений бесконечное множество, так как к каждому эквивалентному разложению можно применить формулу сочетаний из n по 2C n2 =n(n − 1)2Сочетание определяет количество возможных квадратных многочленов в эквивалентных разложениях, которые можно разложить на новые линейные множители, определенные из условия существования в пространстве делителей нуля.Перебирая в каждом эквивалентном разложении произведение линейных множителей получаем новое эквивалентное разложение(υ − ai )(υ − ak ) = (υ − β i )(υ − β i ) , где β i , β i -сопряженные корни, определенные из условия существования в пространстве делителей нуля.Пример №332Имеем Q (υ ) = υ − 6υ + 11υ + 6 = 0 ,корни этого многочлена в действительной областиυ1 = 1,υ 2 = 2,υ 3 = 3 , поэтому первый вариант разложения имеет видQ (υ ) = (υ − 1)(υ − 2)(υ − 3) , многочлен может быть разложен еще потрем вариантамQ (υ ) = (υ 2 − 3υ + 2)(υ − 3) = 0 ,квадратный трехчлен имеет два пространственных корняυ4 =3131+ ji ,υ 5 = − ji по этому имеем222215ГЛАВА 1.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ3 13 1Q (υ ) = (υ − − ji )(υ − + ji )(υ − 3) = 02 22 2Далее первый линейный множитель(или второй) в произведении с третьим даст также квадратное уравнение ,которое вновь может быть разложено напроизведение линейных множителей с новыми корнями.Второй вариант разложенияQ (υ ) = (υ 2 − 4υ + 3)(υ − 2) = (υ − 2 − ji )(υ − 2 + ji )(υ − 2) = 0 ,Произведение первого или второго линейного множителя с третьим дадут такжеквадратный многочлен, решение которых позволит получить еще два эквивалентных разложения. Дналогично обстоит дело и с третьим исходным разложением.Третий вариант разложения5 15 1Q (υ ) = (υ 2 − 5υ + 6)(υ − 1) = (υ − − ji )(υ − + ji )(υ − 1) = 02 22 2Сочетание линейного множителя с другими линейными множителями в любомэквивалентном разложении даст новое квадратное уравнение ,решение которогодаст новое разложение на линейные множители.

Эта цепочка разложений бесконечна, так как сочетание из n по 2 для многочлена с n >2 можно применитьбесконечное число раз.Подстановка любого корня из эквивалентных разложений в другие разложения обращают последние в ноль. В пространстве вычет нуля означает вычет всего подпространства делителей нуля. Вычет нуля означает вычет всегоизолированного направления и всех эквивалентных разложений многочлена,которые на этом направлении тождественно равны нулю.Пример.Рассмотрим разложение многочлена третей степени на эквивалентные разложения Q (υ ) = (υ − 1)(υ + 1)(υ − 2). Одно из эквивалентныхразложений имеет вид Q (υ ) = (υ − ji )(υ + ji )(υ − 2). Далее рассматриваяпроизведение первого множителя в этом разложении с третьим получим квадратное уравнение , решение которого даст новое разложениеТакимобразом,3 − ji 3 + ji Q (υ ) = υ −υ −(υ + ji )2 2 имеемцепочкуэквивалентныхQ (υ ) = (υ − 1)(υ + 1)(υ − 2) = (υ − ji )(υ + ji )(υ − 2) =разложений3 − ji 3 + ji = υ −υ −(υ + ji ) = ................22Подстановка любого корня из одного разложения в другое обращает его в нольпо законам комплексной пространственной алгебры.Каждое эквивалентное разложение имеет n корней в соответствии состепенью многочлена.Перемешивание линейных множителей из одного эквивалентного разложения с другим недопустимо , ибо приводит к другому многочлену.Произведение сопряженных делителей нуля определяют ноль в пространстве.