Лекция (15) (Ю.Л. Словохотов - Кристаллохимия (презентации лекций))

Сингонии, решетки Браве,кристаллографические классыКристалл –это бесконечная периодическая структура,т.е. «фигура», составленная из атомовКак любая геометрическая фигура,кристалл обладает симметриейТрансляционная симметрияaaТрансляционная симметрия кристалла«Одномерный кристалл»: бесконечная цепочка (NO)∞повторяющийсяфрагментвектор сдвигас самосовмещениемгруппа t 1Сдвиг бесконечной периодической фигуры,приводящий к ее самосовмещению,называется операцией трансляциитрансляция = «параллельный перенос»У любого кристалла всегда естьтрансляционная симметрия.Кроме того, кристалл может иметьточечную симметриюбесконечная цепочка (N2)∞точечная симметрия: центры инверсиигруппа t1Симметрию конечных фигур задаютточечные группы Gточ.Они состоят из закрытых операций симметрииСимметрию бесконечных периодических структурзадают пространственные группы Gпр.В них входят как закрытые, так и открытые(с параллельным переносом) операции симметрииGпр ⊃ Gточ, T(n),где Т(n) – подгруппа трансляций; n = 1, 2, 3Совокупность всех операций симметриитрехмерного кристалла называется егопространственной группой GпрСовокупность всех трансляций, входящихв пространственную группу трехмерногокристалла, называется егоподгруппой трансляций ТВсе закрытые операции симметрии трехмерногокристалла образуют его точечную группу:кристаллографический класс GкристПространственная группа Gпр.

– совокупностьвсех операций симметрии идеального кристаллаGпр ⊃ T, Gточ.,T = { mj ai }T –подгруппа трансляций,Gточ. –точечная группа симметрии:n – размерность решеткиai (i = 1,2,…,n) – независимые (базисные) вектораm – целые числаРешетка – бесконечная правильная система точек, связанныхоперациями группы трансляций (орбита группы трансляций)T = { m ai , p a2 }tmp = m a1 + p a2a2a1Узловые ряды в 2D-решеткеa2a1В каждом узле решетки – центр инверсии.Любая решетка центросимметричнаЗакрытые операции симметрии в кристаллепусть a – наименьшаятрансляцияB≥aa0φφ≥a60οA<a108о36оповоротные оси: 2, 3, 4, 5, 63D: инверсионные оси1, (2=)m,3,4,632 кристаллографические точечные группы(кристаллографические классы)Почему в кристалле не может быть осей 5-го порядка:заполнение плоскости правильными n-угольниками36о108оПравильными треугольниками,правильными шестиугольниками иквадратами можно плотно (без щелей)заполнить плоскость.

Правильнымипятиугольниками плотно заполнитьплоскость нельзя – поэтому в плоскихсетках нет осей 5.Бесконечная правильная система точек,связанных трансляциями, называется решеткойузелузловой рядa2a1подгруппа трансляцийT={miai}, где mi – целые числа, ai (i = 1,2,…,n) – независимыевекторы трансляций; n = размерность решеткиТочечная группа узла в решетке называетсяголоэдрической группой.Все кристаллографические точечные группы −это голоэдрические группы и их подгруппыВыбор элементарной ячейки в решетке2D решетки: S = k S0S - площадь паралеллограмма повторяемости,k- количество узлов, S0 - площадь примитивногопаралеллограмма повторяемостиЭлементарная ячейкадвумерного кристаллаbγaРеконструкция поверхностимонокристалла кремния (STM)2D : 4 сингонии, 5 типов решеток Бравесингониякосоугольнаяпрямоугольнаятетрагональнаягексагональнаяголоэдрич.

подгруппыцентрировкагруппарешетки(кристаллографические классы)2mm24mm6mm1m46, 3m, 3рp, cppГолоэдрическая группа – точечная группа симметрииузла решеткиСингония – совокупность решеток с одинаковойголоэдрической группойТип решетки Браве определяется наборомтрансляций (сингонией и центрировкой)Все решетки одной голоэдрической группы –сингонияВсе решетки одной сингонии,связанные непрерывными деформациями –тип Браве«Безразмерная» решетка данного типа Браве –решетка БравеДеформация плоской сетки:новые элементы симметрииЭлементарные ячейки в 2D-решеткахкосоугольная p2a, b, γ – любыепрямоугольная pmm2a≠b – любые, γ=90οa'=a−b, b'=a+b, γ =90опрямоугольная сmm2a=b, γ – любойДополнительные узлывозможны тольков прямоугольных сеткахтетрагональнаяp4mma=b, γ =90oгексагональнаяp6mma=b, γ =120oПри заселении решетки реальными объектамисимметрия узла решетки может понизитьсяэлементы симметрии узла решеткиплоская (2D) группа прямоугольной решетки: pmm2плоская группа модельного «кристалла» p1Кристаллографические группыописывают симметрию узла решеткив реальной кристаллической структуреПример: объекты с осями 3 и 6 порядкав гексагональной сеткер6mmр66mm ⊃ 6, 3m, 3р32D : 4 сингонии, 5 решеток Бравеповоротные «оси» (1), 2, 3, 4, 6; «плоскости» m:10 кристаллографических классовсингониякосоугольнаяпрямоугольнаятетрагональнаягексагональнаяголоэдрич.

подгруппыгруппа2mm24mm6mm1m46, 3m, 3типырешеткирp, cppДругой выбор элементарной ячейкиближайшая окрестность узла решетки:область ДирихлеПримитивные и непримитивные элементарные ячейкив трехмерных решетках3D решетки: V = k V0V – объем параллелепипедаповторяемости, k- количество узлов,V0 - объем примитивногопараллелепипеда повторяемости (объемодного узла)примитивная (Р)k=1ccccbababaбокоцентрированная бокоцентрированная бокоцентрированная(базоцентрированная)В k=2А k=2βaСk=2гранецентрированная (F)k=4αγbk=2Объемноцентрированная (I)Сингонии и группыв n-мерных пространствах(International Tables, 5th Ed, 2002, v.

A, p. 720)изме- сингонийренийрешетокБравекристаллографических группточечныхпространственных(из них симморфных)2451017 (13)371432230 / 219 (73)423642274894 / 4783 (780)5321899552220186918417104(6073)28 927 922 (85311)Сингонии и решетки Браве в трехмерном случаеподгруппыСингония голоэдр. группакристаллографические классы11моноклинная 2/m2, mтриклиннаяорторомбическаяmmmmm2, 222тетрагональ- 4/mmmная4,4, 4/m, 4mm,422, 42mтригональная 3m3,3, 3m, 32гексагональ- 6/mmmнаякубическаяm3 m6,6, 6/m, 6mm622,6m223, m3,43m, 432параметрыячейкирешеткиБравеa,b,c,α,β,γ−произвольныеРa,b,c – любые,α=γ=900; β ≠ 900P, C (A)a,b,c – любыеα=β=γ=90οP, A (B,C),I, Fa=b≠cα=β=γ=90οP, Ia=b=c,Pα=β=γ ≠ 90o (или «гексагон.

R»)a=b≠cα=β=90ο, γ=120οa=b=cα=β=γ=90οPP, I, FОбъем элементарной ячейкиV = (det G)1/2G =(a, a) (a, b) (a, c)(b, a) (b, b) (b, c)(c, a) (c, b) (c, c)матрица Грама(«метрический тензор»),riϕij(ri, rj) = (rj, ri) = rirj cos ϕijrjскалярное произведениевекторовСингонии и решетки Браве в трехмерном случаеподгруппыСингония голоэдр. группакристаллографические классы11моноклинная 2/m2, mтриклиннаяорторомбическаяmmmmm2, 222тетрагональ- 4/mmmная4,4, 4/m, 4mm,422, 42mтригональная 3m3,3, 3m, 32гексагональ- 6/mmmнаякубическаяm3 m6,6, 6/m, 6mm622,6m223, m3,43m, 432параметрыячейкирешеткиБравеa,b,c,α,β,γ−произвольныеРa,b,c – любые,α=γ=900; β ≠ 900P, C (A)a,b,c – любыеα=β=γ=90οP, A (B,C),I, Fa=b≠cα=β=γ=90οP, Ia=b=c,Pα=β=γ ≠ 90o («гексагон.

R»)a=b≠cα=β=90ο, γ=120οa=b=cα=β=γ=90οPP, I, F3D: 7 сингоний, 14 решеток Браве32 кристаллографических классаповоротные оси (1), 2, 3, 4, 6инверсионные оси1, (2=)m,3,4,61m2/mmm2 222mmm33m3233m4 4 4mm 422 42m 4/m 4/mmm6 6 6mm 622 6m2 6/m 6/mmm23432 43m m3 m3 m12нецентросимметричные11 классов Лауэ(центросимметричные)Многогранники, заполняющие пространство(3D-ячейки): полиэдры Вороногос учетом симметрии в 3D-кристаллах –24 различных полиэдра Вороного.