Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 8

. , xk ), gde x0 ∈ Ω0 , . . . , xk ∈ Ωk . Poskolьku x̂ ∈ K , to x0 = x1 = . . . =55xk = x ∈ Ω. Takim obrazom, x ∈ Ω0 ∩ . . . ∩ Ωk ∩ Ω, qto protivoreqit uslovinepereseqeni konusov. Oba konusa K0 i K vypukly, priqem K0 otkryt. Izuslovi (3) po teoreme otdelimosti vytekaet suwestvovanie x̂∗ ∈ (X k+1 )∗takogo, qtohx̂∗ , K0 i≥0,hx̂∗ , Ki≤0x̂∗ 6= 0. No x̂∗ = (x∗0 , . . . , x∗k ), gde x∗i ∈ X ∗ , i = 0, . . . , k , a usloviehx∗ , K0 i≥0 oznaqaet, qto hx∗0 , x0 i+. .

.+hx∗k , xk i≥0, esli x0 ∈ Ω0 , . . . , xk ∈ Ωk .Otsda legko sleduet (pokaжite зto), qto x∗0 ∈ Ω∗0 , . . . , x∗k ∈ Ω∗k . Pri зtomne vse funkcionaly x∗0 , . . . , x∗k ravny nul, poskolьku x̂∗ 6= 0.Dalee, uslovie hx̂∗ , Ki≤0 oznaqaet, qto hx∗0 + . . . + x∗k , xi≤0 ∀x ∈ Ω.Poloжim x∗ = −(x∗0 + . . . + x∗k ). Togda x∗ ∈ Ω∗ i x∗0 + . .

. + x∗k + x∗ = 0.i pri зtomDostatoqnostь.Pustь suwestvuetnenulevonabor funkcionalovx∗0 , . . . , x∗k , x∗ , udovletvorwi uslovim (1) i (2). Pustь, odnako, konusyΩ0 , . . . , Ωk , Ω peresekats i pustь x̃ - ih obwi зlement. Sredi funkcionalovx∗0 , . . . , x∗k imeets hot by odin nenulevo x∗i0 . Dl nego hx∗i0 , x̃i > 0, poskolьkux̃ ∈ int Ωi0 . Dl ostalьnyh x∗i imeem: hx∗i , x̃i≥0.PKrome togo, hx∗ , x̃i≥0.

Cledovatelьno h ki=0 x∗i +x∗ , x̃i > 0, зto protivoreqituslovi (2). ✷Trudno uderжatьs ot togo, qtob ne privesti analog (obobwenie) зtoteoremy dl koneqnogo qisla vypuklyh mnoжestv (hot зto obobwenie nam neponadobits).(Dubovicki - Miltin). Pustь M0 , . . . , Mk , M - nepustye vypuklye mnoжestvav banahovom prostranstve X , priqem M0 , .

. . , Mk - otkryty. Togda uslovieM0 ∩ M1 ∩ . . . ∩ Mk ∩ M = Øravnosilьno suwestvovani nenulevogo nabora funkcionalov(x∗0 , . . . , x∗k , x∗ ) iz X ∗ takogo, qtox∗0 + . . . + x∗k + x∗ = 0.(4)inf hx∗0 , M0 i + . . . + inf hx∗k , Mk i + inf hx∗ , Mi≥0,(5)gdeinf hx∗i , Mi i = inf hx∗i , xi, i = 0, . . . , k; inf hx∗ , Mi = inf hx∗ , xix∈Mix∈M56Зtu teoremu nesloжno dokazatь, vospolьzovavxisь teoremo otdelimosti.Dl зtogo sleduet v prostranstve X k+1 rassmotretь mnoжestvo A зlementovvida x̃ = (x0 − x, . . . , xk − x), gde x0 ∈ M0 , .

. . , xk ∈ Mk , x ∈ M . Izuslovi nepereseqeni mnoжestvM0 , . . . , Mk i M vytekaet, qto A ne soderжitnul. Krome togo, A otkryto i vypuklo. Sledovatelьno, nadets funkcionalx̃∗ = (x∗0 , . . . , x∗k ), otdelwi A ot nul:hx∗ , x̃i > 0 ∀x̃ ∈ A,to estьhx∗0 , x0 i + . . . + hx∗k , xk i + h − x∗0 − . . . − x∗k , xi > 0dl vseh x0 ∈ M0 , . . . , xk ∈ Mk , x ∈ M . Poloжim x∗ = −x∗0 − . . . −x∗k . Pokaжite, qto nabor x∗0 , . .

. , x∗k , x∗ - nenulevo i udovletvoret uslovim(4),(5). Dovedite dokazatelьstvo do konca. ✷57Lekci 7.2. Uslovi minimuma v gladko zadaqe matematiqeskogo programmirovani. Pustь X - banahovo prostranstvo, U ⊂ X - otkrytoe mnoжestvo,na kotorom zadany funkcionaly fi : U → R, i = 0, . . . , k i operator g : U → Y ,destvuwi v drugoe banahovo prostranstvo Y .

Predpoloжim, qto vse fi i gnepreryvno differenciruemy po Frexe na U , priqem, obraz g ′ (x)X zamknutv Y ∀x ∈ U . Rassmotrim zadaqu (Z):f0 (x) → min,fi (x)≤0, i = 1, . . . , k,g(x) = 0,x ∈ U.Nazovem ee gladko zadaqe s ograniqenimi tipa ravenstva i tipa neravenstva,ili gladko zadaqe matematiqeskogo programmirovani. Pustь α = (α0 , . . . , αk )Rk+1 , y ∗ ∈ Y ∗ . Vvedem funkci Lagranжa zadaqi (Z):∗L(x, α, y ) =kXi=0αi fi (x) + hy ∗ , g(x)i.Nazovem α0 , . . . , αk , y ∗ mnoжitelmi Lagranжa, qerez λ = (α0 , .

. . αk , y ∗ ) =(α, y ∗) budem oboznaqatь proizvolьny nabor mnoжitele Lagranжa. Takimobrazom,L = L(x, λ).(pravilo mnoжitele Lagranжa). Pustь x0 - toqka lokalьnogo minimuma vzadaqe (Z). Togda suwestvuet nabor λ = (α0 , . . . αk , y ∗ ) = (α, y ∗ ) tako, qtovypolneny sleduwie uslovi:α0 ≥0, α1 ≥0, . . . , αk ≥0;kXi=0αi + ky ∗k > 0;58(1)(2)∈αi fi (x0 ) = 0, i = 1, .

. . , k;(3)L′x (x0 , λ) = 0.(4)Govort, qto (1) - uslovi neotricatelьnosti, (2) - uslovie netrivialьnosti,(3) - uslovi dopolnwe neжestkosti, (4) - uslovie stacionarnosti po xfunkcii Lagranжa.Dl dokazatelьstva teoremy nam ponadobits. Pustь x0 - toqka lokalьnogo minimuma v zadaqe (Z). Pustь g ′ (x0 )Xt.e. dl g v x0 vypolneno uslovie Lsternika. Togda ne suwestvuet x̄udovletvorwego uslovim:= Y,∈ X,hf0′ (x0 ), x̄i < 0; hfi′ (x0 ), x̄i < 0, i ∈ I,(5)g ′(x0 )x̄ = 0,(6)I = {i ∈ {1, . . . , k}|fi (x0 ) = 0}(8)gde- mnoжestvo aktivnyh indeksov ograniqeni tipa neravenstva v toqkex0 .: Pustь x̄ udovletvoret uslovim (5) i (6).

Soglasno teoreme Lsternikavektor x̄ (v silu (6) ) vlets kasatelьnym k ograniqeni g(x) = 0 v toqkex0 . Sledovatelьno, suwestvuet x̃(ε) : (0, ε0 ) → X, (ε0 > 0) taka, qtokx̃(ε)k = o(ε)g(x0 + εx̄ + x̃(ε)) = 0;Poloжim xε = x0 + εx̄ + x̃(ε). Pokaжem, qtox0 . Destvitelьno,{xε } ”naruxaet” minimum v toqkeg(xε ) = 0, ε ∈ (0, ε0 ),kxε − x0 k → 0,(ε → +0).(9)(10)Pustь i ∈/ I, i ∈ {1, . . . , k} t.e.

fi (x0 ) < 0. Togda iz nepreryvnosti fi v toqkex0 v silu (10) sleduet, qto fi (xε ) < 0 dl vseh dostatoqno malyh ε > 0.Pustь teperь i ∈ I . Togda fi (x0 ) = 0 i hfi′ (x0 ), x̄i < 0 v silu (5).Sledovatelьno,fi (xε ) = fi (x0 +εx̄+x̃(ε)) = fi (x0 )+hfi′ (x0 ), εx̄+x̃(ε)i+o(ε) = εhfi′ (x0 ), x̄i+o1 (ε).59Poskolьku ε > 0, hfi′ (x0 ), x̄i < 0, to fi (xε ) < 0 dl vseh dostatoqno malyhε > 0.Analogiqno ustanavlivaets, qto f0 (xε ) < f0 (x0 ) dl vseh dostatoqno malyh ε > 0.

No togda {xε } udovletvoret vsem ograniqenim i ”naruxaet”lokalьny minimum. Lemma dokazana. ✷Nam ponadobits ewe odno: X → R - nenulevo lineny funkcional, t.e. l ∈ X ∗ , l 6= 0. PustьK = {x ∈ X | hl, xi > 0} - otkrytoe poluprostranstvo. Pustь m ∈ K ∗ , t.e.hm, xi≥0 ∀x ∈ K . Togda suwestvuet λ≥0 takoe, qto m = λl.: Pustь l: Pokaжem snaqala, qto hm, xi = 0 ∀x ∈ Ker l.

Destvitelьno, pustьKer l, t.e. hl, x0 i = 0 i pustь x1 takov, qto hl, x1 i > 0. Togdax0 ∈x1 + βx0 ∈ K ∀β ∈ R.Sledovatelьno,hm, x1 i + βhm, x0 i≥0 ∀β ∈ R.Зto vozmoжno lixь pri hm, x0 i = 0. Itak, hl, xi = 0 ⇒kak my znaem, sleduet suwestvovanie λ ∈ R takogo, qtohl, xi > 0 ⇒ hm, xi≥0, to λ≥0.✷hm, xi = 0. Otsda,m = λl. PoskolьkuTeperь dokaжem teoremu.: Pustь x0 - toqka lokalьnogo minimuma v zadaqe (Z). Rassmotrim 2 sluqa.a) Nevyroжdenny sluqa: g ′ (x0 )X = Y . V зtom sluqae soglasno lemmesistema uslovi (5) i (6) nesovmestna.

Esli sredi funkcionalov fi′ (x0 ), i ∈I ∪ {0} estь nulevo, to polaga sootvetstvuwi emu mnoжitelь αi ravnym1, a ostalьnye mnoжiteli (vklqa y ∗ ) ravnymi nul, poluqaem nabor λ,udovletvorwi vsem uslovim (1)-(4) teoremy. Poзtomu sqitaem, qtofi′ (x0 ) 6= 0 ∀i ∈ I ∪ {0}.Togda vse poluprostranstva (5) nepusty. PoloжimΩi = {x̄ | hfi′ (x0 ), x̄i < 0}, i ∈ I ∪ {0},Ω = {x̄ | g ′ (x0 )x̄ = 0}.Pereseqenie poluprostranstvΩi , i ∈ I ∪ {0} i podprostranstva Ω pusto.60Pri зtom soglasno predloжeniΩ∗i = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , xi = −αi hfi′ (x0 ), xi ∀x ∈ X, gde αi ≥0},t.e.

soprжenny konus k poluprostranstvu Ωi estь luq (s verxino v nule),natnuty na (−fi′ (x0 )).Soglasno teoreme Dubovickogo - Miltina suwestvut x∗i ∈ Ω∗i , i ∈ I ∪{0}, x∗ ∈ Ω∗ ne vse ravnye nul i takie, qtoXx∗i + x∗ = 0.I∪{0}Soglasno lemme ob annultore x∗ = [g ′ (x0 )]∗ (−y ∗ )udoben), gde y ∗ ∈ Y ∗ i, kak my skazali vyxe,= −y ∗ ◦ g ′(x0 ) (znak ”-”x∗i = −αi fi′ (x0 ), αi ≥0, i ∈ I ∪ {0}.Sledovatelьno,−XI∪{0}αi fi′ (x0 ) − y ∗ ◦ g ′ (x0 ) = 0.Ostaets poloжitь αi = 0 pri i ∈/ I, i 6= 0. Togda vse uslovi (1) - (4)teoremy okazyvats vypolneny. (Nabor αi , y ∗ netrivialen, ibo v protivnomsluqae nabor x∗i , x∗ trivialen).b) Vyroжdenny sluqa: g ′ (x0 )X 6= Y V зtom sluqae obraz L = g ′ (x0 )Xestь zamknutoe podprostranstvo v Y , ne sovpadawee s Y .

Togda po lemme onetrivialьnosti annultora suwestvuet funkcional y ∗ 6= 0, annuliruwisna L. Sledovatelьno, hy ∗ g ′ (x0 ), xi = 0 ∀x ∈ X . Poloжim αi = 0 ∀i =0, . . . , k . Togda nabor λ = (0, . . . , 0, y ∗) udovletvoret vsem uslovim (1) (4) teoremy. (Faktiqeski v зtom sluqae pravilo mnoжitele Lagranжa lixьkonstatiruet tot fakt, qto g ′ (x0 )X 6= Y , i my otkazyvaems ot issledovanizadaqi na minimum).✷. Iz dokazatelьstva vidno, qto uslovi teoremy mogut bytь oslableny. Aimenno, dostatoqno sqitatь, qto v toqke x0 vse funkcionaly fi differenciruemy po Frexe, a operator g strogo differenciruem, i, krome togo, obrazg ′ (x0 )X zamknut v Y .

Otmetim takжe, qto danna shema dokazatelьstva povtoritsv osnovnom i pri issledovanii zadaq optimalьnogo upravleni. V nih takжenevyroжdenny sluqa (dl ograniqeni tipa ravenstva) okaжets glavnym,i v зtom sluqae vopros o lokalьnom minimume v toqke my svedem k voprosu61o nesovmestnosti sistemy approksimaci funkcionala i ograniqeni zadaqi vdanno toqke (seqas зto byli approksimacii (5) i (6)), priqem v optimalьnomupravlenii sredi approksimaci povts otkrytye vypuklye konusy, kotoryepoluprostranstvami ne vlts.Negladka zadaqa s ograniqenimi.1.

Teorema o nepereseqenii approksimaci. Pustь X - banahovo prostranstvo,U ⊂ X - otkrytoe mnoжestvo, f : U → R - funkcional, x0 ∈ U - fiksirovannatoqka, x̄ ∈ X - vektor (napravlenie). Napomnim, qto my opredelili verhnproizvodnu f¯′ (x0 , x̄) funkcionala f v toqke x0 po napravleni x̄ kak verhnipredel:1lim (f (x0 + εx̄) − f (x0 )) = f¯′ (x0 , x̄).ε→+0 εPustь teperь na U zadany funkcionalyfi : U → R, i = 0, 1, .

. . , k,udovletvorwie (na U ) uslovi Lipxica s obwe konstanto L > 0 ipustь f¯i′ (x0 , x̄) - verhnie proizvodnye зtih funkcionalov v toqke x0 ∈ U ponapravleni x̄. Pustь imeets takжe mnoжestvo M ⊂ X , priqem x0 ∈ M .Oboznaqim qerez T M(x0 ) kasatelьny konus v x0 k M . Rassmotrim zadaqu (Z)f0 (x) → min,fi (x)≤0, i = 1, . . . , k,x ∈ M; x ∈ U.x0 - dopustima toqka v зto zadaqe.. Esli x0 - toqka lokalьnogo minimuma v zadaqe (Z), to ne suwestvuet x̄ ∈ XPustьtakogo, qtof¯0′ (x0 , x̄) < 0, f¯i′ (x0 , x̄) < 0, i ∈ Ix̄ ∈ T M(x0 )gdeI = {i ∈ {1, . . .

, k} | fi (x0 ) = 0}.(1),(2),: Pustь ∃x̄ 6= 0, udovletvorwi uslovim (1) i (2). Pokaжem, qto togdane vlets toqko lokalьnogo minimuma v zadaqe (Z).62x0Poskolьkuqtox̄ ∈ T M(x0 ), to suwestvuet funkci x̃(ε) : (0, ε0) → X taka,x0 + εx̄ + x̃(ε) ∈ M;kx̃(ε)k = o(ε).Poloжim xε = x0 + εx̄ + x̃(ε). Togda xε →Togda fi (x0 ) < 0 i, sledovatelьno, fi (xε )ε > 0. Sqitaem, qto pri lbom ε ∈ (0, ε0 )x0 (ε → +0). Pustь i ∈/ I ∪ {0}.< 0 dl vseh dostatoqno malyhfi (xε ) < 0 ∀i ∈/ I ∪ {0},(3)xε ∈ U, xε ∈ M.Rassmotrim teperь i ∈ I ∪ {0}. Poskolьkuna U s konstanto L, tofi udovletvoret uslovi Lipxica|fi (x0 + εx̄ + x̃(ε)) − fi (x0 + εx̄)|≤Lkx̃(ε)k = o(ε).(4)Dalee, iz opredeleni verhne proizvodno po napravleni vytekaet, qtofi (x0 + εx̄) − fi (x0 )≤εf¯i′ (x0 , x̄) + o(ε).(5)Iz uslovi (4) i (5) poluqaem:fi (x0 + εx̄ + x̃(ε)) − fi (x0 )≤εf¯i′ (x0 , x̄) + o(ε) < 0dl vseh dostatoqno malyh ε > 0.Sqitaem, qto зto verno dl ε ∈(0, ε0 ).

Itak, pri lbom ε ∈ (0, ε0)fi (xε ) < fi (x0 ), i ∈ I ∪ {0}.No uslovi (3) i (6) sovmestno s usloviem xε → x0 (ε →otsutstvie lokalьnogo minimuma v toqke x0 v zadaqe (Z). ✷(6)+0) oznaqatV dalьnexem my predpolagaem:(a)fi obladaet v toqke x0 proizvodno po kaжdomu napravleni x̄ (i ∈ I ∪{0})(b)fi udovletvoret uslovi Lipxica na U (i = 0, . . . , k).(v)M = {x | g(x) = 0}, gde g : U → Y - operator, nepreryvno differenciruemy po Frexe v toqke x0 .63(g) Dlg v toqke x0 vypolneno uslovie Lsternika: g ′(x0 )X = YTogda, kak my znaem, po teoreme Lsternika,T M(x0 ) = {x̄ | g ′ (x0 )x̄ = 0}.Itak, my rassmatrivaem zadaqu (Z1 ):f0 (x) → min,fi (x)≤0, i = 1, .