Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению

Lekcii po variacionnomu isqisleni i optimalьnomu upravleni.Osmolovski N.P.Lekci 1.1. Zadaqa o brahistohrone3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Prostexa zadaqa variacionnogo isqisleni. . . . . . . . . .3. Slaby minimum. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Perva variaci funkcionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Uravnenie Зlera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lekci 2.34678116. Prostranstva funkci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Pervye integraly uravneni Зlera. . . . . . . . . . .

. . . .8. Зkstremali v zadaqe o brahistohrone. . . . . . . . . . . . . . .9. Silьny minimum. Uslovie Veerxtrassa. . . . . . . . . . . .Lekci 3.111314162110. Kanoniqeskie peremennye. Princip maksimuma. FunkciPontrgina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Minimizaci funkcionala na mnoжestve.1. Proizvodnye Frexe, Gato i proizvodna po napravleni.2427.

.2. Kasatelьny vektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lekci 4.282931Minimum na mnoжestve (prodolжenie). . . . . . . . . . . . . . . .31Teorema Lsternika i ee obobweni. Zadaqa s gladkim ograniqeniemtipa ravenstva.331. Nakryvanie s konstanto2.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nakryvanie dl linenogo operatora. Teorema Banaha obobratnom operatore.

Lemma o pravom obratnom otobraжenii.3. Teorema o nakryvanii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lekci 5.343437414. Nakryvanie i ocenka rasstoni do nulevogo urovn operatora.1415. Dostatoqnye uslovi nakryvani dl operatora, differenciruemogo po Frexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Dokazatelьstvo teoremy Lsternika o kasatelьnom mnogoobrazii. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lekci 6.424447Teorema otdelimosti. Lemmy o zamknutosti obraza i ob annultoredra dl linenogo srъektivnogo operatora. Pravilo mnoжiteleLagranжa v gladko zadaqe s ograniqenimi tipa ravenstva.471. Teorema ob otdelimosti vypuklyh mnoжestv. . .

. . . . . . . . 472. Lemma o zamknutom obraze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493. Lemma ob annultore dra linenogo srъektivnogo operatora. 504. Pravilo mnoжitele Lagranжa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Teorema Dubovickogo - Miltina o nepereseqenii koneqnogo qislavypuklyh konusov i uslovi minimuma v gladko zadaqe matematiqeskogoprogrammirovani.531. Teorema Dubovickogo - Miltina.

. . . . . . . . . . . . . . . . 53Lekci 7.2. Uslovi minimuma v gladko zadaqe matematiqeskogo programmirovani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Negladka zadaqa s ograniqenimi.1. Teorema o nepereseqenii approksimaci. . . . . . . . . . . . .2.Sublineny funkcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lekci 8.2.

Sublineny funkcional (prodolжenie). . . . . . . . . . . . .3. Teoremy o soprжennyh konusah. . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Teorema o nesovmestnosti sistemy strogih sublinenyh neravenstv i linenogo ravenstva. . . . . . . . . . . . . .

. . . .5. Negladka zadaqa s ograniqenimi ravenstva i neravenstva.Uslovie stacionarnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256566060636666686971Lekci 9.73Zadaqa optimalьnogo upravleni. Lokalьny princip maksimuma –neobhodimoe uslovie slabogo minimuma (uravnenie Зlera – Lagranжa).731. Postanovka kanoniqesko zadaqi optimalьnogo upravleni –zadaqi A. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732. Formalizaci zadaqi A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773. Proizvodna po napravleni funkcionala F . . . . . . . . . . . 78Lekci 10.4. Mnoжestvo opornyh k prozvodno po napravleni funkcionalavraimax ϕ(t, w). . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Svostva funkcionalov Fi i operatora G . . . . . . . . . . . .818187Lekci 11.91Uslovie stacionarnosti v kanoniqesko zadaqe A: uravnenie ЗleraLagranжa, ili lokalьny princip maksimuma. . . . . . . . 91Lekci 12.102Princip maksimuma Pontrgina.1021. Kanoniqeska zadaqa B . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 1022. v -zamena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033. Lemmy o monotonnyh lipxicevyh funkcih. . . . . . . . . . . 104Lekci 13.1093. Lemmy o monotonnyh lipxicevyh funkcih (prodolжenie). . 1094.

Dokazatelьstvo teoremy ob зkvivalentnosti zadaq pri v -zamene.Sledstvie iz teoremy зkvivalentnosti. . . . . . . . . . . . . 114Lekcii 14-16.5. Prisoedinenna zadaqa117B θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11736. Uslovie stacionarnosti v prisoedinenno zadaqe B θ . . .

. . . 1237. Analiz uslovi stacionarnosti v prisoedinenno zadaqe B θ .Qastiqnye principy maksimuma. . . . . . . . . . . . . . . . 1288. Organizaci qastiqnyh principov maksimuma. Princip maksimuma.131Pontrginski minimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354Lekci 1.1. Zadaqa o brahistohrone (1696 g., I. Bernulli.) Opredelitь putь,spuskasь po kotoromu pod destviem sobstvenno tжesti, telo M , naqav dvigatьs iz toqki A, dodt do toqki B za kratqaxee vrem.Rexenie zadaqi - kriva naiskorexego spuska, ili brahistohrona (cikloida).Formalizaci zadaqi :Ris 1.1V toqkeM(h, u) po zakonu sohraneni зnergii imeem:mgh +mv 2= 0.25(tak kak v toqkeA i potencialьna, i kinetiqeska зnergi ravny nul).qv2= gy; v = 2gy;2√ds q1 + y ′2ds= 2gy; dt = √; dt = √dt2gy2gym = 1, h = −y ⇒:t=Zx1 √01 + y ′2√dx → min2gyy(0) = 0,y(x1 ) = y1 .(a)(b)Trebuets nati funkci y = y(x), x ∈ [0, x1 ] (x1 - fiksirovan), udovletvorwuuslovim (b) i dostavlwu minimum integralu (a).Rexenie (cikloida) bylo dano samim I.

Bernulli, a takжe . Bernulli,Lebnicem i Nьtonom.2. Prostexa zadaqa variacionnogo isqisleni. Kakomu klassu zadaqprinadleжit zadaqa o brahistohrone? Opixem зtot klass:min J(y(·)) =Zx1F (x, y(x), y ′(x)) dx(∗)x0y(x0 ) = a,y(x1 ) = b(∗∗)Otrezok [x0 , x1 ] fiksirovan. Zadany takжe a, b i funkci F (x, y, z). Trebuetsnati funkci y(x) : [x0 , x1 ] → R1 , udovletvorwu graniqnym uslovim(∗∗) i dostavlwu minimum integralьnomu funkcionalu (∗). Zadaqa (∗) i(∗∗) i estь prostexa zadaqa variacionnogo isqisleni.V variacionnom isqislenii printo oboznaqatь nezavisimu peremennuqerez x, a v optimalьnom upravlenii - qerez t. My srazu primem oboznaqenioptimalьnogo upravleni i pereformuliruem zadaqu sleduwim obrazom:min J(x(·)) =Zt1F (t, x(t), u(t))dt(1)t0ẋ(t) = u(t)6(2)x(t0 ) = a, x(t1 ) = b(3)(t, x(t), u(t)) ∈ Q(4)Itak, vmesto y(x) teperь my pixem x(t) : [t0 , t1 ] → R. Peremennu t printotraktovatь kak vrem.Otrezok [t0 , t1 ] fiksirovan, qisla a i b zadany, Q ∈ R3 - otkrytoe mnoжestvo,sluжawee oblastь opredeleni funkcii F (t, x, u) : Q → R, kotora takжeizvestna.

Poka nam dostatoqno sqitatь, qto funkci F nepreryvna na Q vmesteso svoimi proizvodnymi Fx i Fu .Itak,my imeem zadaqu na fiksirovannom otrezke [t0 , t1 ] szakreplnnymi koncami (soglasno uslovim (3) ). Uslovi (3) nazyvats ograniqenimizadaqi. Uslovie (4) takжe vlets ograniqeniem, no smysl u nego neskolьkoino, qem u uslovi (3), poskolьku mnoжestvo Q otkryto. Q - зto, tak skazatь,”vselenna” danno zadaqi, gde vs razygryvaets. Nakonec, k uslovi (2)moжno poka otnositьs kak k oboznaqeni dl proizvodno ẋ, no srazu otmetimsleduwi fakt: v variacionnom isqislenii bylo printo varьirovatь (izmentь) funkci x(t), poзtomu my i napisali J(x(·)). Zadav x(·), my vyqislemẋ(·) i poluqaem sootvetstvuwee znaqenie J(x(·)). No moжno posmotretь inRt1aqe: zadav u(·), my moжem poluqitь x(t) = a+ u(τ )dτ i vyqislitь sootvetstvuweet0znaqenie J .

Takim obrazom, my moжem s takim жe uspehom rassmatrivatьfunkcional J kak funkcional, zaviswi ot u(·) : J = J(u(·)), i varьirovatьne x(·), a u(·) pri poluqenii neobhodimyh ili dostatoqnyh uslovi minimuma. Imenno tak predpoqitat delatь v optimalьnom upravlenii, i nazyvatfunkci u(·) upravleniem. Optimalьnoe upravlenie poxlo dalьxe, rassmatrivazadaqu v prostranstve par funkci w(·) = (x(·), u(·)), no ob зtom pozdnee.Seqas lixь otmetim, qto pravilьny vybor peremennyh i prostranstva peremennyh, a takжe pravilьna ”kanonizaci” zadaq obuslovili opredelnny progress v optimalьnom upravlenii po sravneni s klassiqeskim variacionnymisqisleniem (kotory provils daжe v ramkah variacionnogo isqisleni,t.e na urovne zadaq, rassmatrivaemyh poslednim).

My budem sqitatь sebsvobodnymi v vybore variaci x(·) ili u(·) = ẋ(·), v zavisimosti ot udobstva.Opixem teperь prostranstvo funkci, v kotorom rassmatrivaets prostexazadaqa. V variacionnom isqislenii printo sqitatь, po krane mere na pervom зtape, qto ẋ(·) = u(·) nepreryvna, i, sledovatelьno, x(·) - nepreryvnodifferenciruema. Takim obrazom,x(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ]; R), u(·) ∈ C([t0 , t1 ]; R).7Napomnim, qtoku(·)kC = max |u(t)|t∈[t0 ,t1 ]estь norma v prostranstveS nepreryvnyh funkci, akx(·)kC 1 = max{kx(·)kC , kẋ(·)kC }estь norma v prostranstve C 1 nepreryvno differenciruemyh funkci.

ProstranstvaC i C 1 , snabжnnye зtimi normami, vlts banahovymi, t.e polnymi normirovannymi prostranstvami. Sledu tradicii, my takжe budem ponaqalu rassmatrivatьprostexu zadaqu v prostranstve nepreryvno differenciruemyh funkcix(·). Zatem my rasxirim зto prostranstvo.3. Slaby minimum. Pustь x◦ (·) - dopustima traektori, t.e traektori,udovletvorwa ograniqenim prostexe zadaqi i taka, qto x◦ (·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ], R).Budem govoritь, qto x◦ (·) dostavlet slaby minimum v prostexe zadaqe,esli suwestvuet ε > 0 takoe, qto dl lbo drugo dopustimo traektoriix(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ], R), udovletvorwe uslovim :|x(t) − x◦ (t)|≤ε;|ẋ(t) − ẋ◦ (t)|≤ε,(5)vypolneno neravenstvoJ(x(·))≥J(x◦ (·)).Uslovi (5) ravnosilьny uslovikx(·) − x◦ (·)kC 1 ≤ε.Takim obrazom, slaby minimum estь lokalьny minimum v prostranstve C 1 ([t0 , t1 ]; R).Qasto dl udobstva traektorii x◦ (·), x(·) nazyvat toqkami prostranstva.Dalee nas budet interesovatь neobhodimoe uslovie slabogo minimuma v toqkex◦ (·).Qerez δx(·) my budem oboznaqatь proizvolьnu funkci v prostranstve1C ([t0 , t1 ]; R) i nazyvatь e variacie.