Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению (1156142), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Dokaжite, qto vskifunkcional x∗ , oporny k L ”isqezaet” na L , t.e.hx∗ , xi = 0 ∀x ∈ LMnoжestvo funkcionalov, udovletvorwih зtomu uslovi, oboznaqaets L⊥i nazyvaets annultorom podprostranstva L. (Analogiqno opredelets annultor proizvolьnogo mnoжestva). Itak, dl podprostranstva soprжennykonus sovpadaet s annultorom.o netrivialьnosti annultora.Pustь L ⊂ X - podprostranstvo, ne sovpadawee snenulevo зlement.X .

Togda L⊥ soderжit: (ATF, s. 127) Vozьmem toqku x ∈/ L i okruжim ee xarom Bε (x), ne peresekawimss L. Otdelim Bε (x) ot L nenulevym funkcionalom x∗ . Togda x∗ ∈ L⊥ , x∗ 6= 0.(Date podrobnye posneni) ✷.50ob obwem vide linenogo funkcionala na proizvedenii prostranstv.(ATFs.118). Pustь Y = Y1 × Y2 . Togda vski funkcional y ∗ ∈ Y ∗ odnoznaqnopredstavim v vide hy ∗ , yi = hy1∗ , y1 i + hy2∗ , y2 i gde y = (y1 , y2 ), y1 ∈ Y1 , y2 ∈Y2 , y1∗ ∈ Y1∗ , y2∗ ∈ Y2∗ .: Dokaжite samostotelьno.2. Lemma o zamknutom obraze.optimalьnom upravlenii.Sleduwa lemma igraet vaжnu rolь vo zamknutom obraze.

Pustь X, Y, Z - banahovy prostranstva,A : X → Y lineny srъektivny operator, B : X → Z - lineny operator tako, qtoobraz B(KerA) estь zamknutoe podprostranstvo v Z . Rassmotrim linenyoperator T : X → Y × Z , opredelemy ravenstvom: T x = (Ax, Bx) ∀x ∈ X .Togda obraz T X prostranstva X pri otobraжenii T zamknut v Y × Z .: (Otmetim, qto lineny operator daleko ne vsegda imeet zamknuty obraz).Pustь imeets posledovatelьnostь {xn } v X taka, qto (Axn , Bxn ) → (y, z) ∈Y × Z (silьno shodits). Trebuets dokazatь, qto suwestvuet x ∈ X tako,qto Ax = y, Bx = z . Tem samym zamknutostь obraza operatora T budetdokazana.Poskolьku A srъektiven, to suwestvuet xy tako, qto Axy = y .

Togda(A(xn − xy ), B(xn − xy )) → (0, z − Bxy ). Poskolьku A(xn − xy ) → 0 i AX =Y , to po lemme o pravom obratnom operatore suwestvuet posledovatelьnostь{δxn } v X taka, qtoA(xn − xy ) = Aδxn , kδxn k → 0.Sledovatelьno,A(xn − xy − δxn ) = 0 ∀n, B(xn − xy − δxn ) → z − Bxy .No na dre operatora A operator B imeet zamknuty obraz, a xn − xy −δxn ∈ KerA ∀n. Sledovatelьno, suwestvuet x0 ∈ KerA tako, qto Bx0 =z − Bxy .

Togda B(x0 + xy ) = z i A(x0 + xy ) = Axy = y. ✷sno, qto v зto lemme vmesto uslovi AX = Y moжno bylo predpoloжitь,qto obraz AX = Y1 estь zamknutoe podprostranstvo v Y (togda A otobraжaetX ”na” Y1 ).Obyqno v optimalьnom upravlenii ispolьzuets sleduwee utverжdenie,vytekawee iz lemmy o zamknutosti obraza:51( iz lemmy o zamknutosti obraza). Pustь A : X → Y - lineny srъektivnyoperator, B : X → Z - koneqnomerny operator (t. e.

dim Z < ∞). Togdaoperator T (x) = (Ax, Bx) imeet zamknuty obraz v Y × Z .Destvitelьno, dim B(KerA)podprostranstvo v Z .< ∞ i, sledovatelьno B(KerA) - zamknutoe3. Lemma ob annultore dra linenogo srъektivnogo operatora.Sleduwa lemma pozvolit nam dokazatь pravilo mnoжitele Lagranжa vzadaqe s ograniqeniem tipa ravenstva.ob annultore dra linenogo srъektivnogo operatora. PustьY - lineny operator, AX = Y . TogdaA:X→(KerA)∗ = A∗ Y ∗ .(sm.

ATF s.130)x∗ ∈ A∗ Y ∗ , to estь hx∗ , xi = hy ∗ , Axi ∀x ∈ X, to oqevidno, qtox∗ ∈ (KerA)∗ , to estь hx∗ , xi = 0 ∀x ∈ KerA (zdesь uslovie AX = Y neispolьzuets). Dokaжem obratnoe. Pustь x∗ ∈ (KerA)∗ . Rassmotrim operatorT x = (Ax, hx∗ , xi) ∀x, destvuwi iz X v proizvedenie Y × R . Poskolьku: Eslipervy operator otobraжaet ”na”, a vtoro - koneqnomeren (odnomeren), toobraz T X zamknut v Y × R.

Pri зtom obraz ne sovpadet s Y × R, poskolьku ,naprimer, зlement (0, 1) emu ne prinadleжit (esli Ax = 0, to i hx∗ , xi = 0 ).Togda po lemme o netrivialьnosti annultora na proizvedenii Y × R imeetsnenulevo lineny funkcional, ravny nul na obraze T . Soglasno lemmeob obwem vide linenogo funkcionala na proizvedenii prostranstv nadutsy ∗ ∈ Y ∗ i qislo c takie, qto зtot funkcional imeet vid hy ∗ , yi + cz (z ∈ R)i, sledovatelьno,hy ∗ , Axi + chx∗ , xi = 0 ∀x ∈ X,priqem, ky ∗ k + |c| > 0. Esli c = 0, tosilu uslovi AX = Y.

Sledovatelьno,hy ∗, Axi = 0 ∀x ∈ X, otkuda y ∗ = 0 vc 6= 0. Sledovatelьno,1hx∗ , xi = −h y ∗ , Axi t.e. x∗ ∈ A∗ Y ∗ .✷c524. Pravilo mnoжitele Lagranжa.Lagranжa v sleduwe zadaqe:f (x) → min,Teperь my poluqim pravilo mnoжiteleg(x) = 0,x∈U(1)gde X, Y - banahovy prostranstva, U ⊂ X - otkrytoe mnoжestvo, f : U →R, g : U → Y. Pustь x0 - dopustima toqka, t.e. x0 ∈ U i g(x0 ) = 0. Predpoloжim, qto f i g strogo differenciruemy v toqke x0 (naprimer, dostatoqnosqitatь, to f i g nepreryvno differenciruemy po Frexe na U , t.e. f ∈C 1 (U), g ∈ C 1 (U, Y )).

Predpoloжim takжe, qto g ′ (x0 )X = Y - vypolnenouslovie Lsternika. Togda, kak my znaem, neobhodimoe uslovie dl lokalьnogominimuma v toqke sostoit v tom, qtohf ′ (x0 ), x̄i = 0 ∀x̄ ∈ Ker g ′(x0 ).(2)Pustь зto uslovie vypolneno. Soglasno lemme ob annultore dra linenogooperatora suwestvuet y ∗ ∈ Y ∗ tako, qtof ′ (x0 ) + y ∗ ◦ g ′ (x0 ) = 0.(3)Zdesь y ∗ ◦ g ′ (x0 ) = [g ′ (x0 )]∗ y ∗ . Зto uslovie vpervye bylo poluqeno L.A.Lsternikom (kak neobhodimoe uslovie lokalьnogo minimuma).

Ono зkvivalentno (2) i nosit nazvanie ”pravila mnoжitele Lagranжa”. Nekotoroe neudobstvo sostoit v tom, qto trebuets vypolnenie uslovi Lsternika. Formalьno зtogo trebovani moжno izbeжatь v teh sluqah, kogda izvestno, qtoobraz g ′ (x0 )X zamknut. (Poslednee, kak my uznaem pozжe, verno dl operatorovograniqeni ravenstva v zadaqah optimalьnogo upravleni. Зto verno i vsluqae, kogda dim Y < +∞).V predpoloжenii o zamknutosti g ′ (x0 )X ( formalьno bolee slabom, qemuslovie g ′ (x0 )X = Y ) pravilo mnoжitele Lagranжa (neobhodimoe uslovielokalьnogo minimuma) formulirut v vide:suwestvuttakie, qtoα ∈ R i y ∗ ∈ Y ∗ , ne ravnye nul odnovremenno iαf ′ (x0 ) + y ∗ ◦ g ′(x0 ) = 0.(4)Esli uslovie Lsternika vypolneno, to (4) realizuets s α = 1, t.e.v vide (3). Esli жe uslovie Lsternika ne vypolneno, to obraz g ′ (x0 )Xestь zamknutoe podprostranstvo v Y , ne sovpadawee s Y , i togda po lemme o53netrivialьnosti annultora suwestvuet tako y ∗ 6= 0, qto hy ∗ , g ′ (x0 )Xi = 0,t.e.

y ∗ ◦ g ′ (x0 ) = 0. takim obrazom, v зtom sluqae uslovie (4) okazyvaets vypolnennym s α = 0. Niqego drugogo, krome konstatacii fakta, qto g ′ (x0 )X 6=Y зto uslovie v зtom sluqae ne neset. T.e. faktiqeski pri nevypolneniiuslovi Lsternika my otkazyvaems ot issledovani zadaqi na minimum.Odnako podobna forma zapisi neobhodimogo uslovi okazyvaets udobno, iboona pozvolet ne ogovarivatь zaranee vypolnenie uslovi Lsternika.Otmetim takжe, qto ne ograniqiva obwnosti, my moжem sqitatь, qto vuslovii (4) α≥0, ibo зto uslovie vyderжivaet umnoжenie na (−1). Uslovie(4) dopuskaet sleduwu zapisь. PoloжimL(x, α, y ∗) = αf ′ (x) + hy ∗, g(x)iNazovemL funkcie Lagranжa. Togda (4) imeet vid:L′x (x0 , α, y ∗) = 0,gde(5)L′x - qastna proizvodna Frexe.Itak, pri sdelannyh predpoloжenih (f i g strogo differenciruemy vi obraz g ′ (x0 )X zamknut v Y ) verna sleduwa(6)x0.

Pustь x0 - toqka lokalьnogo minimuma v zadaqe (1). Togda suwestvutmnoжiteli Lagranжa α≥0, y ∗ ∈ Y ∗ , ne ravnye nul odnovremenno i takie,to vypolneno uslovie stacionarnosti (6) funkcii Lagranжa po peremenno xv toqke (x0 , α, y ∗).Зta teorema realizuet tak nazyvaemy princip Lagranжa, sostowi vtom, qto esli x0 - toqka minimuma v zadaqe s ograniqenimi, to x0 - stacionarnatoqka funkcii Lagranжa (no ne obzatelьno toqka minimuma posledne!) vzadaqe bez ograniqeni.: Sformulirute зtu teoremu v sluqae, kogda Y = Rm i, sledovatelьno,g = (g1 , .

. . , gm ) - koneqny nabor funkci (v зtom sluqae dim g ′ (x)X <∞ ∀x ∈ U , i predpoloжenie o zamknutosti obraza g ′ (x)X ∀x ∈ U vypolneno avtomatiqeski).54Teorema Dubovickogo - Miltina o nepereseqenii koneqnogo qisla vypuklyh konusov i uslovi minimuma v gladko zadaqe matematiqeskogoprogrammirovani.1. Teorema Dubovickogo - Miltina.Pustь X - banahovo prostranstvo.. Pustь Ω0 , Ω1 , . . . , Ωk , Ω - nepustye vypuklye konusy v X , priqem Ω0 , Ω1 , . .

. , Ωk- otkryty. Togda konusy Ω0 , Ω1 , . . . , Ωk i Ω ne peresekats (t.e. Ω0 ∩. . . ∩ Ωk ∩ Ω = Ø) v tom i tolьko v tom sluqae, kogda suwestvut linenyefunkcionalyx∗0 ∈ Ω∗0 , . . . , x∗k ∈ Ω∗k , x∗ ∈ Ω∗ ,(1)ne vse ravnye nul i takie, qtox∗0 + . . . + x∗k + x∗ = 0(2).Uslovie (2) Dubovicki i Miltin nazyvali uravneniem Зlera dl sistemykonusov Ω0 , Ω1 , . . .

, Ωk , Ω .: Neobhodimostь. Pustьrassmotrim dva konusaΩ0 ∩ . . . ∩ Ωk ∩ Ω = Ø. V proizvedeniiX̂ = |X × .{z. . × X} = X k+1k + 1 razK0 = Ω0 × Ω1 × . . . × ΩkiK = {x̂ = (x0 , . . . , xk ) : x0 = x1 = . . . = xk = x ∈ Ω}Takim obrazom,K estь ”diagonalь” v proizvedeniiΩ×Ω×. . . × Ω} = Ωk+1 .|{zk + 1 razPokaжem, qtoK0 ∩ K = Ø.(3)Pustь зto ne tak. Togda suwestvuet x̂ ∈ K0 ∩K. Poskolьku x̂ ∈ K0 , to x̂ =(x0 , . .

Характеристики

Список файлов лекций