Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению (1156142), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

na [t0 , t1 ].Зto oznaqaet, qtomax H(t, x̂(t), u, ψ(t))u∈U (t)dostigaets na u = û(t) dl poqti vseh t ∈ [t̂0 , t̂1 ].Funkci H = ψx f + ψt v зtom uslovii, oqevidno, moжno zamenitь nafunkci ψx f , i togda poluqaets klassiqeskoe uslovie maksimuma, dokazannoeL.S.Pontrginym i ego sotrudnikami, pravda, dl menee obwe zadaqi.Sformuliruem okonqatelьny rezulьtat. Dadim sleduwee opredelenie.Budem govoritь, qto dl dopustimo traektoriiγ̂ = (x̂(t), û(t) | t ∈ [t̂0 , t̂1 ])zadaqiB imeet mesto princip maksimuma, esli suwestvutα = (α0 , . . . , αk ) ∈ Rk+1 ,ψ(·) = (ψt (·), ψx (·)),ˆ = [t̂0 , t̂1 ],gde ∆takie, qto vypolnenyβ ∈ Rs ,1 ˆψt (·) ∈ W∞(∆, R1 ),1) uslovi neotricatelьnosti:α0 ≥0, . .

. , αk ≥0;1351 ˆψx (·) ∈ W∞(∆, Rn ),2) uslovie netrivialьnosti:kX0αi + |β| > 0;3) uslovi dopolnwe neжestkosti:αi æi (p̂) = 0,i = 1, . . . , k;4) soprжennye uravneni:−ψ̇x = Hx′ (t, x̂(t), û(t), ψ(t)) p.v.,−ψ̇t = Ht′ (t, x̂(t), û(t), ψ(t)) p.v.,gdeH(t, x, u, ψ) = ψx f (t, x, u) + ψt ;5) uslovi transversalьnosti:ψx (t0 ) = lx0 ,−ψx (t1 ) = lx1 ,ψt (t0 ) = lt0 ,−ψt (t1 ) = lt1 ,gdel(p, α, β) =kP0αi æi (p) + βK(p),lx0 = lx′ 0 (p̂, α, β) i t.d.;6) uslovie maksimuma:H(t, x̂(t), u, ψ(t))≤0dl vseht, u takih, qtoˆt ∈ ∆,7) ravenstvo nul funkciiu ∈ U,(t, x̂(t), u) ∈ Q;H na traektorii:H(t, x̂(t), û(t), ψ(t)) = 0136p.v.Dokazana.

Esliγ̂ –rexenie zadaqi B , to dl γ̂ imeet mesto princip maksimuma.Voprosy i zadani:1) Kak formuliruets princip maksimuma dl zadaqiotrezke vremeni?B na fiksirovannom2) Kakie uproweni povlts v formulirovke principa maksimuma vavtonomnom sluqae, to estь kogda f = f (x, u) – ne zavisit ot t? Kakoe uslovieokazyvaets analogom integrala зnergii, izvestnogo nam v variacionnom isqislenii?3) Sformulirute princip maksimuma dl zadaqi optimalьnogo bystrodestvi.4) Vspomnite formulirovku principa maksimuma dl prostexe zadaqivariacionnogo isqisleni, i ego svzь v зto zadaqe s usloviem Veerxtrassa.5) Kak estestvennym obrazom obobwaets pontie silьnogo minimuma izvariacionnogo isqisleni na optimalьnoe upravlenie, v qastnosti, na zadaquB , rassmatrivaemu na fiksirovannom otrezke vremeni? A kak зto pontiemoжno opredelitь dl zadaqi B v obwem sluqae?Pontrginski minimum.

My poluqili princip maksimuma kak neobhodimoe uslovie stacionarnosti v kaжdo prisoedinenno zadaqe (i moжnodokazatь, qto on estь зkvivalent stacionarnosti v kaжdo prisoedinennozadaqe). Зto daet dovolьno horoxee predstavlenie o principe maksimuma kako neobhodimom uslovii pervogo pordka. No voznikaet vopros: dl kakogotipa minimuma (naibolee slabogo) princip maksimuma vlets neobhodimymusloviem? My dokazali lixь, qto dl absoltnogo. Зto proizoxlo potomu,qto meжdu osnovno i prisoedinenno zadaqami byla ustanovlena dovolьnogruba svzь: iz absoltnogo minimuma v osnovno zadaqe vytekaet absoltnyminimum v kaжdo prisoedinenno zadaqe, a znaqit, stacionarnostь v kaжdo prisoedinenno zadaqe. Odnako, zatrativ neskolьko bolьxe usili, mymogli by uvidetь, k naruxeni kakogo tipa minimuma privodit otsutstviestacionarnosti v odno iz prisoedinennyh zadaq.

Togda by my dali toqnyotvet na postavlenny vopros. Niжe, ne privod bolьxe nikakih dokazatelьstv,my sformuliruem зtot otvet v zadaqe B .Kak i uslovie Veerxtrassa, princip maksimuma vytekaet, naprimer, izsilьnogo minimuma. V literature tak i printo kvalificirovatь ego kakneobhodimoe uslovie (pervogo pordka) dl silьnogo minimuma. Napomnim,qto silьny minimum svzan lixь s malymi variacimi fazovo peremenno,a pri зtom variacii upravleni mogut bytь lbymi.

Odnako uжe nax per-137vy opyt poluqeni uslovi Veerxtrassa s pomowь igolьqato variacii,pozvolet zaklqitь, qto interesuwi nas tip minimuma svzan kak raz sigolьqatymi variacimi upravleni, ili, vozmoжno, s takimi variacimi upravleni kotorye na mnoжestve malo mery prinimat ne malye znaqeni.Minimum v dannom klasse variaci A.A.Miltin predloжil nazvatь pontrginskimv qestь pervootkryvatel principa maksimuma Lьva Semenoviqa Pontrgina.Dadim teperь toqnoe opredelenie pontrginskogo minimuma v kanoniqeskozadaqe B . Budem govoritь, qto traektoriγ̂ = (x̂(t), û(t) | t ∈ [t̂0 , t̂1 ]),udovletvorwa vsem ograniqenim kanoniqesko zadaqi B , dostavlet pontrginskiminimum v зto zadaqe, esli ne suwestvuet posledovatelьnosti traektoriNγ N = (xN (t), uN (t) | t ∈ [tN0 , t1 ]),N = 1, 2, .

. . ,udovletvorwe vsem ograniqenim zadaqi i tako qto prineny uslovi:(i) tn0 → t̂0 ,tn1 → t̂1 ;(ii) max |xN (t) − x̂(t)| → 0,gde maksimum berets po otrezku(ii)RN → ∞ vypol-|uN (t) − û(t)| → 0,gde integral berets po otrezkuTN[t̂0 , t̂1 ] [tN0 , t1 ];TN[t̂0 , t̂1 ] [tN0 , t1 ];(iii) suwestvuet kompakt C ∈ Q tako qto dl kaжdogo NN(t, xN (t), uN (t)) ∈ C p.v.

na [tN0 , t1 ];(iv) kaжdogo NN NNN Næ0 (tN0 , x (t0 ), t1 , x (t1 )) < æ0 (t̂0 , x̂(t̂0 ), t̂1 , x̂(t̂1 )).Zadanie. Sformulirute pontie pontrginskogo minimumaa) v sluqae, kogda v zadaqe B otrezok [t0 , t1 ] fiksirovan, mnoжestvopaktno, a mnoжestvo Q estь vse prostranstvo R1 × Rn × Rm ;b) dl prostexe zadaqi variacionnogo isqisleni.138U kom-Spravedliva teorema: princip maksimuma estь neobhodimoe uslovie pontrginskogominimuma v kanoniqesko zadaqe B .

No kak uжe bylo skazano, ee dokazatelьstvopotrebovalo by ot nas nekotoryh dopolnitelьnyh usili, i my ego opuskaem.V zaklqenie otmetim, qto pontrginski minimum, zanimawi promeжutoqnoepoloжenie meжdu slabym i silьnym minimumami, ne vlets lokalьnym minimumom v smysle kako-libo topologii. Moжno pokazatь, qto shodimostь posledovatelьnoste,sootvetstvuxih ponti pontrginskogo minimuma, takova, qto vtoroe zamykanie mnoжestva v smysle зto shodimosti ne sovpadaet s pervym. Odnakov qastnom sluqae, kogda U kompaktno, Q estь vse prostranstvo, a otrezok [t0 , t1 ]fiksirovan, pontrginski minimum opredelets sleduwe ”malostь” variaci:kδxkC < ε,kδukL1 < ε.Nesmotr na stolь strannoe obstotelьstvo, svzannoe s pontiem pontrginskogominimuma i, na pervy vzgld, zatrudnwee ego issledovanie tradicionnymimetodami analiza, imenno pontrginski minimum obladaet naibolee bogatoteorie uslovi pervogo i vtorogo pordkov, vo mnogih otnoxenih bolee polno i soderжatelьno, qem, skaжem, teori slabogo minimuma klassiqeskogovariacionnogo isqisleni.

Зto pokazali issledovani poslednih destileti.139.

Характеристики

Список файлов лекций