Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению (1156142), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

. . , αk , αF , λ, y ∗ = (ψ, β) = (ψx , ψt , β)takie, qtoαi ≥0,λ ∈ ∂Ψθ0 ,ψx ∈ L∞ (∆θ , Rn ),β ∈ Rs ,kX0kP0αi æθi = 0,+∆θψtαF ≥0,ψt ∈ L∞ (∆θ , R),i = 1, . . . , k;αi + αF + |β| + kψx kL∞ + kψt kL∞ > 0;αi æθi p p̄ + αF λ(−v̄) +Ri = 0, . . . , k;dt̄dτRψx∆θdx̄dτ− v̄ dτ + βKpθ p̄ = 0.Poloжim v зtih uslovihαF λ = λ̃.Togdaλ̃≥0,λ(v̄χM0θ ) = λ(v̄) ∀v̄.Poloжiml=Xαi æi + βK.127− v θ fxθ x̄ − v θ ftθ t̄ − v̄f θ dτ +Togda uravnenie Зlera-Lagranжa perepixets v vide:Rlp p̄ +dx̄dτψx∆θ+Rψt∆θ− v θ fxθ x̄ − v θ ftθ t̄ − v̄f θ dτ +dt̄dτ− v̄ dτ + λ̃(−v̄) = 0.(iii) Analiz uravneni Зlera-Lagranжa.a) Pustь snaqala x̄ = 0, t̄ = 0, a v̄ ∈ L∞ – lba.

TogdaZ−∆θ(ψx f θ + ψt )v̄ dτ − λ̃(v̄) = 0 ∀v̄ ∈ L∞ .Otsda vytekaet, qto(36)(37)λ̃ imeet integralьnoe predstavlenieλ̃(v̄) =Zλ̃a v̄ dτ∆θ∀v̄ ∈ L∞ ,gde λ̃a = −ψx f θ −ψt . Poskolьku λ̃≥0, to i λ̃a ≥0, a iz uslovi sosredotoqennostiλ̃ na M0θ vytekaet, qto λ̃a χM θ = λ̃a . Sledovatelьno,0ψx f θ + ψt ≤0 p.v. na ∆θ ,ψx f θ + ψt = 0 p.v.

na M+θ .b) S uqetom (37) uravnenie Зlera-Lagranжa (36) priobretaet vid:lpθ p̄+Z∆θ!Zdx̄dt̄ψx− v θ fxθ x̄ − v θ ftθ t̄ dτ + ψt dτ = 0.dτdτθ∆Ono vypolneno dl lbyh x̄ ∈ W11 (∆θ , Rn ) i t̄ ∈ W11 (∆θ , R). Otsda,kak my znaem, vytekaet, qto ψx i ψt – lipxicevy na ∆θ , priqem vypolnenysoprжennye uravneni:dψx= v θ ψx fxθ ,dτdψt−= v θ ψx ftθ ,dτ−i uslovi transversalьnosti:ψx (τ0 ) = lxθ 0 ,−ψx (τ1 ) = lxθ 1 ,128ψt (τ0 ) = ltθ0 ,−ψt (τ1 ) = ltθ1 .v) Obratims k uslovi netrivialьnosti. PustьkX0αi + |β| = 0.Togda lxθ 0 = 0, ltθ0 = 0.V зtom sluqae iz soprжennyh uravneni i uslovi transversalьnosti vytekaet,qto ψx = 0 i ψt = 0.

Otsda v silu (37) λ̃ = 0, a togda αF = 0, poskolьkuλ̃ = αF λ, λ 6= 0. Itak, my poluqaem:kX0αi + αF + |β| + kψx k + kψt k = 0,t.e. uslovie netrivialьnosti ne vypolneno. Takim obrazom, uslovie netrivialьnostiravnosilьno uslovi:kXαi + |β| > 0.0Ne ograniqiva obwnosti, moжno sqitatь, qtokX0αi + |β| = 1.Niжe vse mnoжiteli Lagranжa αi , β, ψx , ψt , otnoswies k stacionarno toqkeω θ v zadaqe B θ snabжaem verhnim indeksom θ.My prixli k sleduwe sisteme uslovi stacionarnosti dl toqki ω θ vzadaqe B θ :suwestvut qisla αiθ , i = 0, . . .

, k , vektor β θ ∈ Rs i funkcii ψxθ (·) ∈11W∞(∆θ , Rn ), ψtθ (·) ∈ W∞(∆θ , R1 ), takie, qtoαiθ ≥0,i = 0, . . . , k,kXαiθ æθi = 0,i = 1, . . . , k;(38)(39)0αiθ + |β θ | = 1,−dψxθ= v θ ψxθ fxθ ,dτ(40)129dψtθ= v θ ψxθ ftθ ,dτψxθ (τ0 ) = lxθ 0 , −ψxθ (τ1 ) = lxθ 1 ,−ψtθ (τ0 ) = ltθ0 ,(41)(42)−ψtθ (τ1 ) = ltθ1 ,(43)ψxθ f θ + ψtθ ≤0 p.v.

na ∆θ ,ψxθ f θ+ψtθ= 0 p.v. na(44)M+θ .(45)7. Analiz uslovi stacionarnosti v prisoedinenno zadaqe B θ . Qastiqnyeprincipy maksimuma. Perepixem uslovie stacionarnosti v prisoedinennozadaqe B θ dl traektoriitθ (τ ), xθ (τ ), v θ (τ ),poluqennoe vyxe, v terminah zadaqiτ ∈ ∆θ = [τ0 , τ1 ],B i traektorii(x̂(τ ), û(τ ) | t ∈ [t̂0 , t̂1 ]).Pustьt.e.τ = τ θ (t)– prava obratna (kaka-nibudь) funkci k funkcii t = tθ (τ ),tθ (τ θ (t)) = t ∀t ∈ [t̂0 , t̂1 ].Togda, kak uжe otmeqalosь vyxe,xθ (τ θ (t)) = x̂(tθ (τ θ (t))) = x̂(t) ∀t ∈ [t̂0 , t̂1 ],uθ (τ θ (t)) = û(tθ (τ θ (t))) = û(t) ∀t ∈ tθ (M+θ ),Sledovatelьno,fxθ θ = fx (tθ (τ ), xθ (τ ), uθ (τ ))τ =τ (t)Analogiqno,Poloжimftθ τ =τ θ (t)[t̂0 , t̂1 ].= fx (t, x̂(t), û(t)) = fˆx p.v.

na [t̂0 , t̂1 ].τ =τ θ (t)= fˆt p.v. na [t̂0 , t̂1 ].ψx (t) = ψxθ (τ θ (t)),ψt (t) = ψtθ (τ θ (t)).Iz uslovi (40), (41) v silu lemmy 3 vytekaet, qtofunkcii na [t̂0 , t̂1 ], udovletvorwie uravnenim−t.e. p.v. naψx (t) i ψt (t)– lipxicevydψx (t)= ψx (t)fx (t, x̂(t), û(t)),dt130−ili, korotko,dψt (t)= ψx (t)ft (t, x̂(t), û(t)),dt−ψ̇x = ψx fˆx ;−ψ̇t = ψx fˆt .Obratims k uslovim transversalьnosti. My uжe otmeqali, qtot̂0 = tθ (τ0 ),x̂(t̂0 ) = xθ (τ0 ),t̂1 = tθ (τ1 ),x̂(t̂1 ) = xθ (τ1 ),i, sledovatelьno,p̂ = (t̂0 , x̂(t̂0 ), t̂1 , x̂(t̂1 )) = (tθ (τ0 ), xθ (τ0 ), tθ (τ1 ), xθ (τ1 )) = pθ .Analogiqno, v silu lemmy 3 imeem:ψx (t0 ) = ψxθ (τ0 ),ψx (t1 ) = ψxθ (τ1 ),ψt (t0 ) = ψtθ (τ0 ),ψt (t1 ) = ψtθ (τ1 ).Poзtomu iz uslovi transversalьnosti (42) i (43) na ψxθ i ψtθ vytekat sootvetstvuwieuslovi transversalьnosti na ψx i ψt :gdeψx (t̂0 ) = ˆlx0 ,ψx (t̂1 ) = −ˆlx1 ,ψt (t̂0 ) = ˆlt0 ,ψt (t̂1 ) = −ˆlt1 ,ˆlx = l′ (p̂, α, β) i t.d.0x0Nakonec, obratims k uslovim lokalьnogo maksimuma (44) i (45).

Vypixemih podrobnee:Pustьψxθ (τ )f (tθ (τ ), xθ (τ ), uθ (τ )) + ψtθ (τ )≤0 p.v. na ∆θ ;(44′ )ψxθ (τ )f (tθ (τ ), xθ (τ ), uθ (τ )) + ψtθ (τ ) = 0 p.v. na M+θ .(45′ )τ ∈ ∆i ⊂ M0θ i, sledovatelьno,uθ (τ ) = ui,ψxθ (τ ) = ψx (ti ),tθ (τ ) = ti ,ψtθ (τ ) = ψt (ti ),xθ (τ ) = x̂(ti ).131(Haprimer, ψxθ (τ ) = ψx (tθ (τ )) =Togda iz uslovi (44′ ) poluqaemψx (ti ) v silu lemmy 3 i t.p.)ψx (ti )f (ti , x̂(ti ), ui) + ψt (ti )≤0,i = 1, . . . , N.Pustь teperь t ∈ [t̂0 , t̂1 ]\{t1 , .

. . , tN }.θTogda τ = τ θ (t) ∈ M+i tθ (τ ) = t.Sledovatelьno,x̂(t) = x̂(tθ (τ )) = xθ (τ ),û(t) = û(tθ (τ )) = uθ (τ ).Krome togo,ψxθ (τ ) = ψxθ (τ θ (t)) = ψx (t),ψtθ (τ ) = ψtθ (τ θ (t)) = ψt (t).Togda iz (45′ ) poluqaem:ψx (t)f (t, x̂(t), û(t)) + ψt (t) = 0 p.v. na [t̂0 , t̂1 ].Podvedem itog.

Pustьθ = {t1 , . . . , tN , u1 , . . . , uN }– indeks, to estьt0 ≤t1 ≤ . . . ≤tN ≤t1 ,ui ∈ U, (ti , x̂(ti ), ui ) ∈ Q,i = 1, . . . , N.Togda suwestvutαi ∈ R, i = 0, . . . , k, β ∈ Rs ,1ψ(·) = (ψt (·), ψx (·)), ψt (·) ∈ W∞(∆θ , Rn ),takie, qtoαi ≥0,i = 0, . . . , k;kX0ψx (t0 ) = lx0 ,αi æ̂i = 0,1ψx (·) ∈ W∞(∆θ , Rn )i = 1, . .

. , k,αi + |β| = 1 (moжno sqitatь),−ψ̇x = Hx (t, x̂, û, ψ),−ψ̇t = Ht (t, x̂, û, ψ),−ψx (t1 ) = lx1 ,ψt (t0 ) = lt0 ,(46)−ψt (t1 ) = lt1 ,H(t, x̂, û, ψ) = 0 p.v. na [t̂0 , t̂1 ],H(ti , x̂(ti ), ui , ψ(ti ))≤0, i = 1, . . . , N,gdePl = αi æi + βK, lx0 = lx′ 0 (p̂, α, β), α = (α0 , . . . , αk ),H(t, x, u, ψ) = ψx f (t, x, u) + ψt , ψ = (ψt , ψx ).1328. Organizaci qastiqnyh principov maksimuma. Princip maksimuma.Pustь λ = (α0 , .

. . , αk , β, ψ)– nabor mnoжitele Lagranжa, udovletvorwihuslovim (46). Mnoжestvo vseh takih naborov oboznaqim qerez M θ .: Proektorλ = (α0 , . . . , αk , β, ψ) 7→ (α0 , . . . , αk , β) = (α, β)inъektiven naM θ.: Destvitelьno, para α, β odnoznaqno opredelet znaqenie lx0 (p̂, α, β), a togdaψx i ψt odnoznaqno opredelts iz uslovi−ψ̇x = ψx fx (t, x̂, û),ψx (t0 ) = lx0 (p̂, α, β),−ψ̇t = ψt ft (t, x̂, û),ψt (t0 ) = lt0 (p̂, α, β).✷: MnoжestvoM θ – koneqnomerny kompakt.: Destvitelьno, koneqnomernostь M θ vytekaet iz predloжeni, a ego ograniqennostь i zamknutostь vytekat iz opredeleni M θ .

✷Vvedem na mnoжestve indeksov otnoxenie qastiqnogo pordka, kotoroe vletsnapravleniem na зtom mnoжestve (sm., naprimer, Dж. A. Kelli ”Obwa topologi”,M., Nauka, 1968, gl. 2, s. 95). Pustь P – otobraжenie, sopostavlwee kaжdomu indeksu θ = {t1 , . . . , tN , u1 , . . . , uN } sootvetsvuwee (neupordoqennoe)mnoжestvo par(t1 , u1), .

. . , (tN , uN )v proizvedenii R × Rm . Otmetim, qto P ne vlets inъekcie: dvum raznymindeksam moжet sootvetstvovatь odno i to жe moжestvo par.Budem govoritь, qto indeks θ2 sleduet za indeksom θ1 (ili, qto indeks θ1predxestvuet indeksu θ2 ) i pisatь v зtom sluqae θ1 ≤θ2 , esli P (θ1 ) ⊂ P (θ2 ).Proverьte, qto opredelennoe takim obrazom binarnoe otnoxenie meжdu indeksami refleksivno i tranzitivno, i, sledovatelьno, vlets otnoxeniemqastiqnogo pordka.Krome togo, ono obladaet svostvom: dl kaжdo pary indeksov θ1 i θ2(vozmoжno, ne sravnimyh), nadets treti indeks θ , kotory sleduet za θ1 i133θ2 , i togda, soglasno Kelli, vvedennoe otnoxenie qastiqnogo pordka vletsnapravleniem na mnoжestve indeksov.Dokaжem poslednee svostvo. Dl indeksov θ1 i θ2 rassmotrim mnoжestvoSSpar P (θ1 ) P (θ2 ).

Pustь θ - lbo indeks tako, qto P (θ) = P (θ1 ) P (θ2 )(oqevidno, tako nadets). Togda P (θ1 ) ⊂ P (θ), P (θ2 ) ⊂ P (θ) i, sledovatelьno,θ1 ≤θ, θ2 ≤θ, qto i trebovalosь.SNiжe dl troki indeksov θ , θ1 i θ2 , svzannyh usloviem P (θ) = P (θ1 ) P (θ2 ),budem ispolьzovatь oboznaqenieθ = θ1_θ2 .Analogiqno зta operaci opredelets dl lbogo koneqnogo mnoжestva indeksov.Fiksiruem indeks θ0 , kotoromu sootvetstvuet kompakt M θ0 . (Esli dopustitь naliqie pustogo indeksa – minimalьnogo sredi indeksov, – to pustoindeks moжno vybratь v kaqestve θ0 .

Kakimi uslovimi opredelen sootvetstvuwikompakt M θ0 ?)Rassmotrim vse indeksy θ , sleduwie za θ0 .Oqevidno: θ0 ≤θ ⇒ M θ ⊂ M θ0 . PoloжimM=\M θ.θ0 ≤θ:M – nepusto kompakt.: Kompakty M θ , takie, qto θ0 ≤θ , obrazut centrirovannu sistemu zamknutyhpodmnoжestv kompakta M θ0 . Destvitelьno, esli imeets koneqna podsistemaM θ1 , .

. . , M θs ,to, polagaθ = θ1θ0 ≤θk ,_θ2_...k = 1, . . . , s,_θs ,poluqaem nepusto kompakt M θ , soderжawis v kaжdom M θk (ibo θk ≤θ ∀k ),a, znaqit, i v ih pereseqenii. Sledovatelьno, pereseqenie mnoжestv M θ povsem θ takim, qto θ0 ≤θ , nepusto. ✷Itak, kompaktM nepust. Vozьmem ego зlementλ = (α, β, ψ).134Dl nego vypolneny vse uslovi (46) qastiqnogo principa maksimuma, sootvetstvuwielbomu indeksu θ , sleduwemu za θ0 . Otsda vytekaet, qto dl lbo paryt, u tako, qto t ∈ [t̂0 , t̂1 ], u ∈ U , (t, x̂(t), u) ∈ Q, vypolneno neravenstvoH(t, x̂(t), u, ψ(t))≤0.(47)Зto i estь uslovie maksimuma.Posnim ego. Bvedem mnoжestvoU(t) = {u ∈ U | (t, x̂(t), u) ∈ Q},gdet ∈ [t̂0 , t̂1 ].Soglasno (46)H(t, x̂(t), û(t), ψ(t)) = 0 p.v.

Характеристики

Список файлов лекций