Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению (1156142)
Текст из файла
Lekcii po variacionnomu isqisleni i optimalьnomu upravleni.Osmolovski N.P.Lekci 1.1. Zadaqa o brahistohrone3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Prostexa zadaqa variacionnogo isqisleni . . . . . . . . . .3. Slaby minimum. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Perva variaci funkcionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Uravnenie Зlera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lekci 2.34678116. Prostranstva funkci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Pervye integraly uravneni Зlera. . . . . . . . . . .
. . . .8. Зkstremali v zadaqe o brahistohrone. . . . . . . . . . . . . . .9. Silьny minimum. Uslovie Veerxtrassa. . . . . . . . . . . .Lekci 3.111314162110. Kanoniqeskie peremennye. Princip maksimuma. Funkci Pontr gina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Minimizaci funkcionala na mnoжestve.1. Proizvodnye Frexe, Gato i proizvodna po napravleni.2427.
.2. Kasatelьny vektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lekci 4.282931Minimum na mnoжestve (prodolжenie). . . . . . . . . . . . . . . .31Teorema Lsternika i ee obobweni . Zadaqa s gladkim ograniqeniemtipa ravenstva.331. Nakryvanie s konstanto2.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nakryvanie dl linenogo operatora. Teorema Banaha obobratnom operatore.
Lemma o pravom obratnom otobraжenii.3. Teorema o nakryvanii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lekci 5.343437414. Nakryvanie i ocenka rassto ni do nulevogo urovn operatora.1415. Dostatoqnye uslovi nakryvani dl operatora, differenciruemogo po Frexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Dokazatelьstvo teoremy Lsternika o kasatelьnom mnogoobrazii. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lekci 6.424447Teorema otdelimosti. Lemmy o zamknutosti obraza i ob annul tore dra dl linenogo srъektivnogo operatora. Pravilo mnoжiteleLagranжa v gladko zadaqe s ograniqeni mi tipa ravenstva.471. Teorema ob otdelimosti vypuklyh mnoжestv. . .
. . . . . . . . 472. Lemma o zamknutom obraze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493. Lemma ob annul tore dra linenogo srъektivnogo operatora. 504. Pravilo mnoжitele Lagranжa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Teorema Dubovickogo - Miltina o nepereseqenii koneqnogo qislavypuklyh konusov i uslovi minimuma v gladko zadaqe matematiqeskogoprogrammirovani .531. Teorema Dubovickogo - Miltina.
. . . . . . . . . . . . . . . . 53Lekci 7.2. Uslovi minimuma v gladko zadaqe matematiqeskogo programmirovani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Negladka zadaqa s ograniqeni mi.1. Teorema o nepereseqenii approksimaci. . . . . . . . . . . . .2.Sublineny funkcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lekci 8.2.
Sublineny funkcional (prodolжenie). . . . . . . . . . . . .3. Teoremy o sopr жennyh konusah. . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Teorema o nesovmestnosti sistemy strogih sublinenyh neravenstv i linenogo ravenstva. . . . . . . . . . . . . .
. . . .5. Negladka zadaqa s ograniqeni mi ravenstva i neravenstva.Uslovie stacionarnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256566060636666686971Lekci 9.73Zadaqa optimalьnogo upravleni . Lokalьny princip maksimuma –neobhodimoe uslovie slabogo minimuma (uravnenie Зlera – Lagranжa).731. Postanovka kanoniqesko zadaqi optimalьnogo upravleni –zadaqi A. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732. Formalizaci zadaqi A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773. Proizvodna po napravleni funkcionala F . . . . . . . . . . . 78Lekci 10.4. Mnoжestvo opornyh k prozvodno po napravleni funkcionalavraimax ϕ(t, w). . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Svostva funkcionalov Fi i operatora G . . . . . . . . . . . .818187Lekci 11.91Uslovie stacionarnosti v kanoniqesko zadaqe A: uravnenie ЗleraLagranжa, ili lokalьny princip maksimuma. . . . . . . . 91Lekci 12.102Princip maksimuma Pontr gina.1021. Kanoniqeska zadaqa B . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1022. v -zamena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033. Lemmy o monotonnyh lipxicevyh funkci h. . . . . . . . . . . 104Lekci 13.1093. Lemmy o monotonnyh lipxicevyh funkci h (prodolжenie). . 1094.
Dokazatelьstvo teoremy ob зkvivalentnosti zadaq pri v -zamene.Sledstvie iz teoremy зkvivalentnosti. . . . . . . . . . . . . 114Lekcii 14-16.5. Prisoedinenna zadaqa117B θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11736. Uslovie stacionarnosti v prisoedinenno zadaqe B θ . . .
. . . 1237. Analiz uslovi stacionarnosti v prisoedinenno zadaqe B θ .Qastiqnye principy maksimuma. . . . . . . . . . . . . . . . 1288. Organizaci qastiqnyh principov maksimuma. Princip maksimuma.131Pontr ginski minimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354Lekci 1.1. Zadaqa o brahistohrone (1696 g., I. Bernulli.) Opredelitь putь,spuska sь po kotoromu pod destviem sobstvenno t жesti, telo M , naqav dvigatьs iz toqki A, dodt do toqki B za kratqaxee vrem .Rexenie zadaqi - kriva naiskorexego spuska, ili brahistohrona (cikloida).Formalizaci zadaqi :Ris 1.1V toqkeM(h, u) po zakonu sohraneni зnergii imeem:mgh +mv 2= 0.25(tak kak v toqkeA i potencialьna , i kinetiqeska зnergi ravny nul).qv2= gy; v = 2gy;2√ds q1 + y ′2ds= 2gy; dt = √; dt = √dt2gy2gym = 1, h = −y ⇒:t=Zx1 √01 + y ′2√dx → min2gyy(0) = 0,y(x1 ) = y1 .(a)(b)Trebuets nati funkci y = y(x), x ∈ [0, x1 ] (x1 - fiksirovan), udovletvor wuuslovi m (b) i dostavl wu minimum integralu (a).Rexenie (cikloida) bylo dano samim I.
Bernulli, a takжe . Bernulli,Lebnicem i Nьtonom.2. Prostexa zadaqa variacionnogo isqisleni . Kakomu klassu zadaqprinadleжit zadaqa o brahistohrone? Opixem зtot klass:min J(y(·)) =Zx1F (x, y(x), y ′(x)) dx(∗)x0y(x0 ) = a,y(x1 ) = b(∗∗)Otrezok [x0 , x1 ] fiksirovan. Zadany takжe a, b i funkci F (x, y, z). Trebuets nati funkci y(x) : [x0 , x1 ] → R1 , udovletvor wu graniqnym uslovi m(∗∗) i dostavl wu minimum integralьnomu funkcionalu (∗). Zadaqa (∗) i(∗∗) i estь prostexa zadaqa variacionnogo isqisleni .V variacionnom isqislenii prin to oboznaqatь nezavisimu peremennuqerez x, a v optimalьnom upravlenii - qerez t. My srazu primem oboznaqeni optimalьnogo upravleni i pereformuliruem zadaqu sleduwim obrazom:min J(x(·)) =Zt1F (t, x(t), u(t))dt(1)t0ẋ(t) = u(t)6(2)x(t0 ) = a, x(t1 ) = b(3)(t, x(t), u(t)) ∈ Q(4)Itak, vmesto y(x) teperь my pixem x(t) : [t0 , t1 ] → R. Peremennu t prin totraktovatь kak vrem .Otrezok [t0 , t1 ] fiksirovan, qisla a i b zadany, Q ∈ R3 - otkrytoe mnoжestvo,sluжawee oblastь opredeleni funkcii F (t, x, u) : Q → R, kotora takжeizvestna.
Poka nam dostatoqno sqitatь, qto funkci F nepreryvna na Q vmesteso svoimi proizvodnymi Fx i Fu .Itak,my imeem zadaqu na fiksirovannom otrezke [t0 , t1 ] szakreplnnymi koncami (soglasno uslovi m (3) ). Uslovi (3) nazyvats ograniqeni mizadaqi. Uslovie (4) takжe vl ets ograniqeniem, no smysl u nego neskolьkoino, qem u uslovi (3), poskolьku mnoжestvo Q otkryto. Q - зto, tak skazatь,”vselenna ” danno zadaqi, gde vs razygryvaets . Nakonec, k uslovi (2)moжno poka otnositьs kak k oboznaqeni dl proizvodno ẋ, no srazu otmetimsleduwi fakt: v variacionnom isqislenii bylo prin to varьirovatь (izmen tь) funkci x(t), poзtomu my i napisali J(x(·)). Zadav x(·), my vyqisl emẋ(·) i poluqaem sootvetstvuwee znaqenie J(x(·)). No moжno posmotretь inRt1aqe: zadav u(·), my moжem poluqitь x(t) = a+ u(τ )dτ i vyqislitь sootvetstvuweet0znaqenie J .
Takim obrazom, my moжem s takim жe uspehom rassmatrivatьfunkcional J kak funkcional, zavis wi ot u(·) : J = J(u(·)), i varьirovatьne x(·), a u(·) pri poluqenii neobhodimyh ili dostatoqnyh uslovi minimuma. Imenno tak predpoqitat delatь v optimalьnom upravlenii, i nazyvatfunkci u(·) upravleniem. Optimalьnoe upravlenie poxlo dalьxe, rassmatriva zadaqu v prostranstve par funkci w(·) = (x(·), u(·)), no ob зtom pozdnee.Seqas lixь otmetim, qto pravilьny vybor peremennyh i prostranstva peremennyh, a takжe pravilьna ”kanonizaci ” zadaq obuslovili opredelnny progress v optimalьnom upravlenii po sravneni s klassiqeskim variacionnymisqisleniem (kotory pro vils daжe v ramkah variacionnogo isqisleni ,t.e na urovne zadaq, rassmatrivaemyh poslednim).
My budem sqitatь seb svobodnymi v vybore variaci x(·) ili u(·) = ẋ(·), v zavisimosti ot udobstva.Opixem teperь prostranstvo funkci, v kotorom rassmatrivaets prostexa zadaqa. V variacionnom isqislenii prin to sqitatь, po krane mere na pervom зtape, qto ẋ(·) = u(·) nepreryvna, i, sledovatelьno, x(·) - nepreryvnodifferenciruema. Takim obrazom,x(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ]; R), u(·) ∈ C([t0 , t1 ]; R).7Napomnim, qtoku(·)kC = max |u(t)|t∈[t0 ,t1 ]estь norma v prostranstveS nepreryvnyh funkci, akx(·)kC 1 = max{kx(·)kC , kẋ(·)kC }estь norma v prostranstve C 1 nepreryvno differenciruemyh funkci.
ProstranstvaC i C 1 , snabжnnye зtimi normami, vl ts banahovymi, t.e polnymi normirovannymi prostranstvami. Sledu tradicii, my takжe budem ponaqalu rassmatrivatьprostexu zadaqu v prostranstve nepreryvno differenciruemyh funkcix(·). Zatem my rasxirim зto prostranstvo.3. Slaby minimum. Pustь x◦ (·) - dopustima traektori , t.e traektori ,udovletvor wa ograniqeni m prostexe zadaqi i taka , qto x◦ (·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ], R).Budem govoritь, qto x◦ (·) dostavl et slaby minimum v prostexe zadaqe,esli suwestvuet ε > 0 takoe, qto dl lbo drugo dopustimo traektoriix(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ], R), udovletvor we uslovi m :|x(t) − x◦ (t)|≤ε;|ẋ(t) − ẋ◦ (t)|≤ε,(5)vypolneno neravenstvoJ(x(·))≥J(x◦ (·)).Uslovi (5) ravnosilьny uslovikx(·) − x◦ (·)kC 1 ≤ε.Takim obrazom, slaby minimum estь lokalьny minimum v prostranstve C 1 ([t0 , t1 ]; R).Qasto dl udobstva traektorii x◦ (·), x(·) nazyvat toqkami prostranstva.Dalee nas budet interesovatь neobhodimoe uslovie slabogo minimuma v toqkex◦ (·).Qerez δx(·) my budem oboznaqatь proizvolьnu funkci v prostranstve1C ([t0 , t1 ]; R) i nazyvatь e variacie.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
