Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению (1156142), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Зti zadaqi зkvivalentny v sleduwem smysle.зkvivalentnosti (Dubovicki i Miltin). Pustьt̃(τ ), x̃(τ ), ũ(τ ), ṽ(τ ), τ ∈ [τ0 , τ1 ]– dopustima traektori v zadaqe B ′ , priqem t̃(τ1 ) > t̃(τ0 ).Pustь τ = τ̃ (t) – proizvolьna funkci taka, qto t̃(τ̃ (t)) = t dl vseht ∈ [t0 , t1 ], gde t0 = t̃(τ0 ), t1 = t̃(τ1 ). (Takim obrazom, pri kaжdom t veliqinaτ̃ (t) estь proizvolьny korenь uravnenni τ̃ (t) = t).Poloжimx(t) = x̃(τ̃ (t)),u(t) = ũ(τ̃ (t)),t ∈ [t0 , t1 ].u(t) : [t0 .t1 ] → Rm – ograniqenna izmerima funkci,x(t) : [t0 , t1 ] → Rn – lipxiceva funkci, a traektoriTogda(x(t), u(t) | t ∈ [t0 , t1 ])vlets dopustimo v zadaqePri зtomB.(t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )) = (t̃(τ0 ), x̃(τ0 ), t̃(τ1 ), x̃(τ1 )),i, sledovatelьno,æi (i = 0, ..., k) i K ne ments.Dokazatelьstvo зto teoremy nosit tehniqeski harakter i opiraets nard vspomogatelьnyh utverжdeni.3. Lemmy o monotonnyh lipxicevyh funkcih.

Itak, pustь t̃(τ ) :[τ0 , τ1 ] → [t0 , t1 ] – monotonno neubyvawa funkci, udovletvorwa usloviLipxica na [τ0 , τ1 ], gde τ0 < τ1 , t0 < t1 , t̃(τ0 ) = t0 , t̃(τ1 ) = t1 i, sledovatelьno,t̃(τ ) otobraжaet [τ0 , τ1 ] na [t0 , t1 ].106Pustьdt̃(τ )= ṽ(τ ).dτ(8)ṽ(τ )≥0, ṽ(·) ∈ L∞ ([τ0 , τ1 ]).(9)C = kṽkL∞ .(10)TogdaPoloжimTogda dl lbyhτ ′ , τ ′′ , τ0≤τ ′ < τ ′′≤τ1 imeem:′′′t̃(τ ) − t̃(τ ) =Zτ ′′τ′ṽ(τ )dτ ≤C(τ ′′ − τ ′ ).(11)Sledovatelьno, C > 0 – konstanta Lipxica funkcii t̃(τ ).Poskolьku funkci t̃(τ ) nepreryvna i monotonno neubyvaet, to obrazlbogo otrezka ∆′ = [τ ′ , τ ′′ ] ⊂ [τ0 , τ1 ] estь otrezok (ili toqka) [t̃(τ ′ ), t̃(τ ′′ )]v [t0 , t1 ]. Pri зtom v silu (11)mes t̃(∆′ )≤C mes ∆′ .: Pustь(12)A ⊂ [τ0 , τ1 ] – izmerimoe mnoжestvo mery Lebega mes A.

Togdames∗ (t̃(A))≤C · mes(A),gdemes∗ (t̃(A)) – vnexn mera Lebega obraza t̃(A).: Dl lbogo ε > 0 suwestvuet pokrytie mnoжestva A ne bolee qemSsqetno sistemo otrezkov {∆k }, takih, qto A ⊂∆k , ∆k ⊂ [τ0 , τ1 ] ∀k ,summa dlin kotoryh ne prevoshodit veliqiny mes(A) + ε. Otrezki {t̃(∆k )}kobrazut pokrytie mnoжestva t̃(A), priqem, soglasno (12), summa ih dlin neprevoshodit veliqiny C mes(A) + Cε. Poskolьku ε > 0 – proizvolьno, tovnexn mera mes∗ (t̃(A)) obraza t̃(A) ne prevoshodit veliqiny C mes(A).✷: Pri otobraжeniinulь.t̃(·) mnoжestvo mery nulь perehodit v mnoжestvo mery: Pri otobraжenii t̃ izmerimoe po Lebegu mnoжestvo perehodit v izmerimoepo Lebegu mnoжestvo.107: Kak izvestno, mnoжestvo A ⊂ [τ0 , τ1 ] izmerimo po Lebegu togda i tolьkotogda, kogda suwestvuet ne bolee qem sqetna sistema zamknutyh mnoжestvFn ⊂ A taka, qto[mes∗ (A\Fn ) = 0,n(14)t.e.

v A imeets mnoжestvo tipa Fσ , otliqawees ot A na mnoжestvomery nulь (napomnim v svzi s зtim, qto esli vnexn mera ravna nul, tomnoжestvo izmerimo i imeet meru nulь). Poskolьku funkci t̃ nepreryvna, akaжdoe Fn – kompakt, to i t̃(Fn ) – kompakt ∀n. Poskolьkut̃(A\[Fn ) ⊃ t̃(A)\[t̃(Fn ),(15)i, soglasno sledstvi 1,mes(t̃(A\[Fn )) = 0,to imes(t̃(A)\St̃(Fn ) estь mnoжestvo tipaNoimoe mnoжestvo.

✷: Esli A ⊂i pri зtom[t̃(Fn )) = 0.(16)Fσ v t̃(A). Sledovatelьno, t̃(A) – izmer-[τ0 , τ1 ] – izmerimoe mnoжestvo, to i t̃(A) – izmerimoe mnoжestvo,mes t̃(A) =Zṽ(τ )dτ,(17)Agdeṽ =dt̃.dτ: Esli A – otrezok, to formula imeet mesto. Pustь A – proizvolьnoe izmerimoe mnoжestvo v [τ0 , τ1 ]. Izmerimostь obraza t̃(A) byla ustanovlena vyxe.Dokaжem formulu (17).Pustь zadano ε > 0. Nadets pokrytie mnoжestva A ne bolee qem sqetnosistemo otrezkov {∆n } tako, qto nikakie dva otrezka sistemy ne imetobwih vnutrennih toqek, i pri зtommes[n!!∆n \A < ε,108∆n ⊂ [τ0 , τ1 ] ∀n.(18)Sistema otrezkov {t̃(∆n )} obrazuet pokrytie mnoжestva t̃(A), priqem nikakiedva otrezka зto sistemy ne imet obwih vnutrennnih toqek (v silu monotonnostit̃). Imeem:[[[∆n \A ⊃ t̃t̃∆n \t̃(A) =t̃(∆n )\t̃(A).Otsda v silu (18) i predloжeni 1 i 2 poluqaem:[[mest̃(∆n )\t̃(A) ≤ mes t̃Nomes[t̃(∆n ) \t̃(A) = mesSledovatelьno,0≤ mesPoskolьku otrezki∆n \A ≤C · mes[[[∆n \A ≤C · ε.t̃(∆n ) − mes t̃(A)≥0.t̃(∆n ) − mes t̃(A)≤C · ε.(19)t̃(∆n ), n = 1, 2, ...

ne imet obwih vnutrennih toqek, tomes[Xt̃(∆n ) =mes t̃(∆n ) =XZṽdτ.∆nMy vospolьzovalisь tem, qto dl otrezka formula (17) imeet mesto. Dalee,poskolьku ∆n ne imet obwih vnutrennih toqek, toZXZṽdτ.ṽdτ =S∆n∆nMy vospolьzovalisь σ -additivnostь integrala kak funkcii mnoжestva. Itak,iz (19) vytekaet, qtoZ0≤S drugo storony,ZZṽdτ =S∆nSṽdτ +ASledovatelьno,SZ∆n \A∆nṽdτ − mes t̃(A)≤Cε.ṽdτ ≤−Cε≤ZAZṽdτ + C mesAṽdτ −ZS109∆n[ṽdτ ≤0.(20)∆n \A ≤Zṽdτ + Cε.A(21)Skladyva neravenstva (20) i (21), poluqaem:−Cε≤ZAṽdτ − mes t̃(A)≤Cε.Ostaets vospolьzovatьs proizvolьno malostь: Pri otobraжenii t̃ mnoжestvo polno mery vpolno mery v [t0 , t1 ].ε.

✷[τ0 , τ1 ] perehodit v mnoжestvoDestvitelьno, pustь A ⊂ [τ0 , τ1 ] – mnoжestvo polno mery, t.e.[τ0 , τ1 ]\A imeet meru nulь. Togda soglasno lemme 1mes t̃(A) =ZAṽ(τ )dτ =Z[τ0 ,τ1 ]ṽ(τ )dτ = t̃(τ1 ) − t̃(τ0 ) = t1 − t0 .Vproqem, зto vytekaet takжe iz vklqenit̃(A) ⊃ [t0 , t1 ]\t̃(B)i togo fakta, qtomes t̃(B) = 0.110B =Lekci 13.3. Lemmy o monotonnyh lipxicevyh funkcih (prodolжenie).po-preжnemunat̃(τ ) : [τ0 , τ1 ] −→ [t0 , t1 ],Pustь imeets nekotoroerazreximosti uravnenidt̃ = ṽ ∈ L∞ [τ0 , τ1 ], ṽ≥0.dτt ∈ [t0 , t1 ]. Rassmotrim vopros ob odnoznaqnot̃(τ ) = tPolny proobrazPustьt̃−1 (t) toqki t estь otrezok ili toqka v [τ0 , τ1 ].Ris 13.1111Vse proobrazy-otrezki poparno ne peresekats, i ih moжno pronumerovatь(naprimer, postaviv v sootvetstvie kaжdomu takomu otrezku, soderжawus vnem racionalьnu toqku).

Znaqit, mnoжestvo toqek t ∈ [to , t1 ], dl kotoryht̃−1 (t) - otrezok, ne bolee, qem sqetno. Oboznaqim зto mnoжestvo qerez E0 . Nadopolnenii k зtomu mnoжestvu, t.e. na mnoжestve [t0 , t1 ] \ E0 polno mery v[t0 , t1 ] uravnenie t̃(τ ) = t odnoznaqno razreximo. Зto dopolnenie oboznaqimqerez E+ . Takim obrazom,E0 ∪ E+ = [t0 , t1 ] E0 ∩ E+ = ∅,mesE0 = 0,mesE+ = t1 − t0 .Pustь funkci τ̃ (t) : [t0 , t1 ] → [τ0 , τ1 ] takova, qto t̃(τ̃ (t)) = t ∀t ∈ [t0 , t1 ].Takim obrazom, τ̃ (t) - prava obratna funkci k t̃(τ ).

Kak my uжe otmeqali,ona opredelena odnoznaqno na mnoжestve E+ polno mery v [t0 , t1 ].2. Pustь ϕ(τ ) : [τ0 , τ1 ] → Rm - ograniqenna izmerima funkci. Togdafunkci ϕ(τ̃ (t)) : [t0 , t1 ] → Rm - izmerima, ograniqena i ne zavisit ot vybora pravo obratno τ̃ (t) s toqnostь do зkvivalentnosti (s toqnostь domnoжestva E0 nulevo mery).: Pustь snaqala m = 1 i ϕ(τ ) =funkci izmerimogo mnoжestva A ⊂XA (τ ), τ ∈ [τ0 , τ1 ] - harakteristiqeska[τ0 , τ1 ].

Rassmotrim funkciXA (τ̃ (t)) = ω(t).Pustь t ∈ E+ ∩ t̃(A), to estь t ∈ E+ i t = t(τA ), gdei, sledovatelьno, ω(t) = XA (τ̃ (t)) = XA (τA ) = 1.Poloжim CA = [τ0 , τ1 ] \ A. Pustьustanavlivaets, qto ω(t) = 0.τA ∈ A. Togda τ̃ (t) = τAt ∈ E+ ∩ t̃(CA). Togda analogiqnoMnoжestva t̃(A) i t̃(CA) izmerimy (predloжenie 2) i ih obъedinenie estь[t0 , t1 ]. Sledovatelьno, mnoжestva B1 = t̃(A) ∩ E+ i B0 = t̃(CA) ∩ E+ izmerimy, B1 ∪ B0 = E+ imeet polnu meru v [t0 , t1 ] i pri зtom ω(t) = 0 naB0 i ω(t) = 1 na B1 .

Takim obrazom, s toqnostь do mnoжestva mery nolь,ω(t) sovpadaet s harakteristiqesko funkcie XB1 izmerimogo mnoжestva B1 .Sledovatelьno, ω(t) izmerima.Pustь teperьϕ(t) =NXk=1ck XAk (t)112(22)Ak- linena kombinaci harakteristiqeskih funkci izmerimyh mnoжestv⊂ [τ0 , τ1 ], k = 1, . . . , N . Togda funkciϕ(τ̃ (t)) =NXk=1ck XAk (τ̃ (t))izmerima, poskolьku, kak tolьko qto bylo dokazano, izmerima kaжda iz funkciXAk (τ̃ (t)). Зto verno i v tom sluqae, kogda ck ∈ Rm , k = 1, .

. . , N .Nakonec, pustь ϕ(τ ) : [τ0 , τ1 ] → Rm - proizvolьna ograniqenna izmerima funkci. Togda, kak izvestno, ϕ moжno predstavitь kak predel (ravnomerny)posledovatelьnosti funkci ϕs (τ ) vida (22),ϕ(τ ) = lim ϕs (τ ) ∀τ,s→∞gde koзfficienty pri harakteristiqeskih funkcih v (22) estь зlementy prostranstvaRm .

No togdaϕ(τ̃ (t)) = lim ϕs (τ̃ (t)) ∀ts→∞Soglasno predyduwim rassmotrenim, kaжda iz funkci ϕs (τ̃ (t)) izmerima.Togda, kak izvestno, izmerimo vlets i predelьna funkci ϕ(τ̃ (t)).Suwestvenna ograniqennostь funkcii ϕ(τ̃ (t)) vytekaet iz suwestvennoograniqennosti ϕ. (Destvitelьno, suwestvut izmerimoe mnoжestvo polnomery M ⊂ [τ0 , τ1 ] i konstanta C̃ takie, qto |ϕ(τ )|≤C̃ ∀τ ∈ M .Mnoжestvo t̃(M) imeet polnu meru v [t0 , t1 ]. To жe verno i dl mnoжestvat̃(M) ∩ E+ . Esli t ∈ t̃(M) ∩ E+ , to τ = τ̃ (t) ∈ M ⇒ |ϕ(τ̃ (t))|≤CTakim obrazom, зto neravenstvo vypolneno na mnoжestve t̃(M) ∩ E+ polnomery v [t0 , t1 ]).Razliqnye funkcii τ̃ (t) otliqats drug ot druga lixь na mnoжestve E0 ,ne bolee, qem sqetnom.

Na mnoжestve E+ funkci opredelena odnoznaqno.Poзtomu s toqnostь do зkvivalentnosti (s toqnostь do znaqeni na mnoжestveE0 nulevo mery) ϕ(τ̃ (t)) ne zavisit ot vybora τ̃ (t). ✷3. Pustьx̃(τ ) : [τ0 , τ1 ] → Rn - lipxiceva funkci taka, qtodx̃(τ ) = ṽ(τ )ϕ̃(τ ),dτgdeṽ(τ ) =dt̃(τ )dτ,aϕ̃(τ ) : [τ0 , τ1 ] → Rn - ograniqenna izmerima funkci.113Togda funkci x(t) = x̃(τ̃ (t)) vlets lipxicevo na [t0 , t1 ] i ne zavisitot vybora pravo obratno τ̃ (t).

Krome togo, vypolnets ravenstvo x(t̃(τ )) =x̃(τ ) ∀τ ∈ [τ0 , τ1 ]. V qastnosti,x(t0 ) = x(t̃(τ0 )) = x̃(τ0 ),x(t1 ) = x(t̃(τ1 )) = x̃(τ1 ).Nakonec, pustьϕ(t) = ϕ̃(τ̃ (t)). Togdadx(t) = ϕ(t) p.v. na [t0 , t1 ].dt: PustьC̃ = kϕ̃kL∞ Togda dl proizvolьnyh τ∗ , τ∗∗ ∈ [τ0 , τ1 ], τ∗ < τ∗∗ imeem:x̃(τ∗∗ ) − x̃(τ∗ ) =Zτ∗∗τ∗Zτ∗∗dx̃(τ ) dτ = ṽ(τ )ϕ(τ )dτ.dττ∗Sledovatelьno,|x̃(τ∗∗ ) − x̃(τ∗ )|≤Zτ∗∗τ∗ṽ(τ )|ϕ̃(τ )| dτ ≤C̃Sledovatelьno, dl lbyhZτ∗∗τ∗ṽ(τ ) dτ = C̃(t̃(τ∗∗ ) − t̃(τ∗ ))τ, τ ′ ∈ [τ0 , τ1 ]|x̃(τ ′ ) − x̃(τ )|≤C̃|t̃(τ ′ ) − t̃(τ )|Pustь teperь imets proizvolьnye dve toqki(23) imeem:(23)t, t′ ∈ [t0 , t1 ].

Характеристики

Список файлов лекций