Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 6

Lemma dokazana.b−a!n+1 =< R.!b1−R).aOtsda i iz uslovi (8) vytekaet suwestvovanie xn+1uravneni (7). Iz uslovi xn+1 ∈ Bn vytekaet, qto!n!ba!nPbP (Bn ) ⊃ B Y (P (xn ), aad(xn , xn+1 )≤(8)!(6)bb1−R ≤ R 1−aa!b1−R).ab1−R).aBn ⊂ B X (x0 , R), tak kakbd(x0 , xn ) +a!n1−∈ Bn , udovletvorwegobR.a✷Dokazatelьstvo teoremy o nakryvanii poluqaets primeneniem lemmy kkaжdomu xaru, soderжawemus v U . ✷42Lekci 5.4. Nakryvanie i ocenka rasstoni do nulevogo urovn operatora.Pustь X ,Y – banahovy prostranstva, U ⊂ X - otkrytoe mnoжestvo, g : U → Y- operator, x0 - fiksirovanna toqka, taka, qto g(x0 ) = 0.: Budem govoritь, qto v okrestnosti toqki x0 operatorrasstoni do nulevogo urovn, esli suwestvut takie ε∀x1 ∈ Bε (x0 ) ∃x̄ ∈ X udovletvorwi uslovimg obladaet ocenko> 0 i C > 0, qtokx̄k≤Ckg(x1 )k.g(x1 + x̄) = 0,Bε (x0 ) - zamknuty xar v X radiusa ε s centrom v x0 )sno, qto pri зtom veliqina Ckg(x1 )k ocenivaet sverhu rasstonie ottoqki x1 do nulevogo urovn {x ∈ U : g(x) = 0} operatora g .

Taka ocenka(Zdesьbyvaet oqenь polezna pri issledovanii зkstremalьnyh zadaq s operatornymograniqeniem tipa ravenstva g(x) = 0. My budem takжe nazyvatь ee lokalьnoocenko rasstoni do nulevogo urovn.: Pustь operator g : U → Y obladaet a - nakryvaniem, (t.e. nakryvaniems nekotoro konstanto a > 0) na xare Bε0 (x0 ) ⊂ U i udovletvoret naзtom xare uslovi Lipxica s konstanto L (gde ε0 > 0, g(x0 ) = 0, x0 ∈U, a > 0, L > 0). Togda v okrestnosti toqki x0 on obladaet ocenkorasstoni do nulevogo urovn, priqem v opredelenii зto ocenki moжno poloжitьε=aε0 ,a+L1C= .a(1): Pustь x1 ∈ Bε (x0 ), gde ε udovletvoret uslovi (1). Poloжim r = kg(x1 )k.Pokaжem, qto B(x1 , ar ) ⊂ B(x0 , ε0 ), Dl зtogo dostatoqno pokazatь, qtorkx1 − x0 k + ≤ε0 .a43Destvitelьno,r = kg(x1 )k = kg(x1 ) − g(x0 )k≤Lkx1 − x0 k.Sledovatelьno,rLa+Lkx1 − x0 k + ≤(1 + )kx1 − x0 k≤ε = ε0 .aaaOperatorg nakryvaet na Bε (x0 ) s konstanto a > 0.

Sledovatelьno,rg(B X (x1 , )) ⊃ B Y (g(x1 ), r),aPri зtom 0 ∈ B Y (g(x1 ), r), poskolьku r = kg(x1 )k. Sledovatelьno, suwestvuettako x2 ∈ B X (x1 , ar ), qto g(x2 ) = 0. Pri зtomrkx2 − x1 k≤ =aOstaets poloжitь x̄ = x2 − x1 .1kg(x1)k = Ckg(x1 )k.a✷Dalee my rassmotrim dostatoqnye uslovi dl nakryvani i, sledovatelьno,dl naliqi ocenki rasstoni (lokalьno) do nulevogo urovn operatora.5. Dostatoqnye uslovi nakryvani dl operatora, differenciruemogo po Frexe. Pustь X, Y - banahovy prostranstva. Napomnim, qto operator g : X → Y nazyvat differenciruemym po Frexe v toqke x0 , eslisuwestvuet lineny operator A : X − Y tako, qtog(x0 + δx) = g(x0 ) + Aδx + ỹ(δx)kδxk, gdekỹ(δx)k → 0 pri kδxk → 0.OperatorA nazyvat proizvodno Frexe operatora v toqke i polagat A =′g (x0 ).Operator nazyvat nepreryvno differenciruemym po Frexe v toqke x0, esli on differenciruem po Frexe v okrestnosti зto toqki (t.

e. imeetproizvodnu Frexe v okrestnosti toqki x0 ) i pri зtomkg ′(x) − g ′ (x0 )k → 0 prikx − x0 k → 0.Operator nazyvat strogo differenciruemym v toqke x0 , esli suwestvuetlineny operator A : X → Y tako, qto ∀ε > 0 ∃δ > 0 takoe, qto dl vsehx1 , x2 ∈ X , udovletvorwih neravenstvamkx1 − x0 k < δ,44kx2 − x0 k < δ(1)vypolneno neravenstvo:kg(x1 ) − g(x2 ) − A(x1 − x2 )k≤εkx1 − x2 k(2)Na zyke ε−δ differenciruemostь po Frexe moжno sformulirovatь tak:∀ε >0 ∃δ > 0 takoe, qto iz uslovi kx − x0 k < δ sleduet, qtokg(x1 ) − g(x2 ) − A(x1 − x2 )k≤εkx1 − x2 k.Otsda sno, qto stroga differenciruemostь vleqet differenciruemostьpo Frexe (i, sledovatelьno, v opredelenii strogo differenciruemosti A =g ′ (x0 )). Pokaжem, qto iz nepreryvno differenciruemosti v toqke (po Frexe)vytekaet stroga differenciruemostь v зto toqke.

Dl dokazatelьstva namponadobits teorema o srednem dl operatorov. Napomnim ee formulirovku(sm. ATF, s.148).. Pustь X, Y - normirovannye prostranstva, U ⊂ X - otkrytoe mnoжestvo,[a, b] - otrezok, soderжawis v U , f : U → Y - operator, differenciruemypo Gato v kaжdo toqke ∈ [a, b]. Togdakf (b) − f (a)k≤ sup kfΓ′ (x)kkb − akx∈[a,b](Dl operatora differenciruemostь po Gato opredelets tak жe, kak idl funkcionala).Pustь teperь g(x)nepreryvno differenciruem po Frexe v t.x0 .

Rassmotrimoperator ϕ(x) = g(x) − g ′ (x0 )x. Dl nego pri x blizkom k x0ϕ′ (x) = g ′(x) − g ′ (x0 )i, sledovatelьno,kϕ′ (x)k → 0 pri kx − x0 k → 0.Togdakg(x2 )−g(x1 )−g ′(x0 )(x2 −x1 )k = kϕ(x2 )−ϕ(x1 )k≤ sup kϕ′ (x)kkx2 −x1 kx∈[x1 ,x2 ](3)Poskolьkusup kϕ′ (x)k → 0 prikx1 − x0 k + kx2 − x0 k → 0,x∈[x1 ,x2 ]45to v silu (3) iz nepreryvno differenciruemosti po Frexe v toqke x0 vytekaetstroga differenciruemostь v зto toqke. ✷Putь operator g : X → Y strogo differenciruem v toqke x0 ∈ X.Predstavim ego v vide:g(x) = g ′(x0 )x + (g(x) − g ′(x0 )x)(4)Q(x) = g(x) − g ′ (x0 )x(5)Rassmotrim operatorIz uslovi (2) v opredelenii strogo differenciruemosti operatora v toqkex0 (gde A = g ′ (x0 ) ) vytekaet, qtokQ(x1 ) − Q(x2 )k≤εkx1 − x2 k(6)dl x1 , x2 ∈ Bδ (x0 ) Sledovatelьno, Q vlets stgivawim s konstantoε na Bδ (x0 ), gde ε > 0 moжno vybratь skolь ugodno malym za sqet vyboradostatoqno malogo δ > 0.

Otmetim takжe, qto v silu (4) - (6) operator gudovletvoret uslovi Lipxica v okrestnosti toqki x0 . Teperь my legkodokaжem sleduwi kriteri nakryvani dl nelinenogo operatora.(dostatoqnoe uslovie dl nakryvani). Pustь operator g : X → Yvlets strogo differenciruemym v toqke x0 , i pustь g ′ (x0 )X = Y . Togdasuwestvut a > 0 i okrestnostь toqki x0 takie, qto operator g nakryvaet skonstanto a v зto okrestnosti i, sledovatelьno, on obladaet ocenko rasstonido nulevogo urovn v okrestnosti toqki x0 .: Vospolьzuems predstavleniem (4) dl operatora g . Operator P (x) = g ′ (x0 )xnepreryven i nakryvaet s nekotoro konstanto a0 > 0 na vsem X , poskolьkug ′(x0 )X = Y.

Operator Q(x) = g(x) − g ′ (x0 )x stgivaet s konstanto ε > 0(proizvolьno malo) v okrestnosti toqki x0 (zaviswe ot ε ) . Po teoremeMiltina o nakryvanii operator g = P + Q nakryvaet s konstanto a0 − εv okrestnosti toqki x0 . Takim obrazom, g nakryvaet s lbo poloжitelьnokonstanto a < a0 v sootvetstvuwe okrestnosti toqki x0 . Poskolьku g anakryvaet i udovletvoret uslovi Lipxica v okrestnosti toqki x0 , to gobladaet ocenko rasstoni do nulevogo urovn v okrestnosti toqki x0 .

✷6. Dokazatelьstvo teoremy Lsternika o kasatelьnom mnogoobrazii.Pustь, po-preжnemu, X, Y - banahovy prostranstva, g : X → Y - operator,46strogo differenciruemy v toqke x0 ∈ X (v qastnosti, nepreryvno differenciruemy po Frexe v зto toqke). PustьM = {x ∈ X | g(x) = 0},x0 ∈ M, t.e. g(x0 ) = 0.: Esli vektor x̄ 6= 0 vlets kasatelьnym k M v toqke x0 , to g(x0 )x̄ = 0.i pustь: Po opredeleni kasatelьnogo vektora suwestvuet funkciX (ε0 > 0) taka, qtog(x0 + εx̄ + x̃(ε)) = 0 ∀ε ∈ (0, ε0 ),x̃(ε) : (0, ε0 ) →kx̃(ε)k = o(ε).Sledovatelьno,0 = g(x0 ) + g ′ (x0 )(εx̄ + x̃(ε)) + g̃(ε), gde kg̃(ε)k = o(ε),Del зto ravenstvo na✷g(x0 ) = 0ε i perehod k predelu po ε → +0, poluqaem trebuemoe.Pustь teperь g ′ (x0 )X = Y .

Pokaжem, qto esli- kasatelьny vektor. Destvitelьno,g ′ (x0 )x̄ = 0,x̄ 6= 0, to x̄g(x0 + εx̄) = g(x0 ) + g ′(x0 )εx̄ + g̃(ε) = g̃(ε), gde kg̃(ε)k = o(ε).Poskolьku g obladaet ocenko rasstoni do nulevogo urovn v okrestnostitoqki x0 , to suwestvut C > 0 i funkci x̃(ε) : (0, ε0 ) → X (ε0 > 0) takie,qtog(x0 + εx̄ + x̃(ε)) = 0,kx̃(ε)k≤Ckg̃(ε)kpriε ∈ (0, ε0 ).kx̃(ε)kSledovatelьno, εvektor k M v toqke→ 0 pri ε → +0. Otsda vytekaet, qto x̄ - kasatelьnyx0 ∈ M . Teorema Lsternika dokazana. ✷Otmetim, qto teorema Lsternika dokazana v predpoloжenii o strogodifferenciruemosti v toqke x0 (vmesto nepreryvno differenciruemosti vзto toqke, kotora predpolagalasь v pervonaqalьno formulirovke teoremyLsternika).Vernems teperь k zadaqef (x) → min,g(x) = 0,47x∈U(6)Pustь f i g strogo differenciruemy v toqke x0 ∈ U tako, qto g(x0 ) = 0(U - otkryto v X ).

Togda, kak my znaem, suwestvuet proizvodna Frexe f ′ (x0 )i f udovletvoret uslovi Lipxica v okrestnosti toqki x0 . Dalee, pustьg ′(x0 )X = Y . Togda po teoreme Lsternika,T M(x0 ) = {x̄ ∈ X | g ′(x0 )x̄ = 0}, gde M = {x ∈ U | g(x) = 0}.V зtih uslovih, kak my znaem, neobhodimoe uslovie lokalьnogo minimuma vtoqke x0 sostoit v tom, qtog ′ (x0 )x̄ = 0 ⇒ hf ′ (x0 ), x̄i = 0.Otsda my poluqim pravilo mnoжitele Lagranжa v zadaqe (6). No predvaritelьno dokaжem ewe neskolьko utverжdeni iz funkcionalьnogo analiza.48Lekci 6.Teorema otdelimosti.

Lemmy o zamknutosti obraza i ob annultore dradl linenogo srъektivnogo operatora. Pravilo mnoжitele Lagranжav gladko zadaqe s ograniqenimi tipa ravenstva.1. Teorema ob otdelimosti vypuklyh mnoжestv. Pustь X - banahovoprostranstvo, x1 , x2 ∈ X . Qerez [x1 , x2 ] my oboznaqaem otrezok v X s koncamix1 , x2 . On sostoit iz vseh toqek x, predstavimyh v vide x = αx1 + βx2 , gdeα≥0, β≥0, α + β = 1Mnoжestvo nazyvaets vypuklym, esli vmeste s kaжdymi dvum svoimitoqkami ono soderжit soedinwi ih otrezok.Qerez X ∗ my oboznaqaem soprжennoe prostranstvo klinenyh nepreryvnyh funkcionalov nad X .: Funkcionalx∗ 6= 0 iX , sostowee iz vsehx∗ ∈ X ∗ razdelet mnoжestva A i B (A ⊂ X, B ⊂ X), eslisup hx∗ , xi≤ inf hx∗ , xix∈Ax∈B(1)Geometriqeski зto oznaqaet, qto giperploskostь {x : hx∗ , xi = c} (gde c- qislo, zaklqennoe meжdu levo i pravo qastmi neravenstva (1) ) otdeletmnoжestva A i B drug ot druga v tom smysle, qto A leжit v odnom poluprostranstve{x : hx∗ , xi≤c}, a B leжit v drugom poluprostranstve {x : hx∗ , xi≥c}.

(smATF s.124.)otdelimosti. Esli mnoжestva A i B vypukly, nepusty i ne peresekats,priqem A - otkryto, to suwestvuet nenulevo lineny nepreryvny funkcional,razdelwi A i B .49Napomnim, qto mnoжestvo K ⊂ X nazyvaets konusom, esli iz uslovix ∈ K, α > 0 sleduet, qto αx ∈ K . Konus K vlets vypuklym v tom itolьko v tom sluqae, kogda iz uslovi x1 , x2 ∈ K sleduet, qto x1 + x2 ∈ K(dokaжite).K - konus, x∗ ∈ X . Togda iz usloviinf x∈K hx∗ , xi > −∞ sleduet, qto inf x∈K hx∗ , xi = 0.: PustьDokaжite зto predloжenie.Itak, eslihx∗ , xi≥c ∀x ∈ K, to hx∗ , xi≥0 ∀x ∈ K.: Funkcional x∗∈ X ∗ nazyvaets opornym k konusu K , esli hx∗ , xi≥0 ∀x ∈ K.Dokaжite, qto esli konus K otkryt, to nenulevo oporny funkcionalpoloжitelen na lbom x ∈ K .Mnoжestvo vseh opornyh funkcionalov k K oboznaqaets K ∗ i predstavletsobo vypukly zamknuty konus (dokaжite).

Konus K ∗ nazyvat soprжennymk K ( K ∗ nazyvat takжe dvostvennym konusom k K ).Dokaжite, qto esli odno iz mnoжestv v teoreme otdelimosti estь konus, tokonstantu c v opredelenii otdelimosti moжno vybratь ravno nul, i togdax∗ ili −x∗ okazyvaets зlementom soprжennogo konusa.Voobwe, pustь M ⊂ X - mnoжestvo. Funkcional x∗ ∈ X ∗ nazyvaetsopornym k M , esli inf x∈M hx∗ , xi > −∞. Mnoжestvo vseh opornyh funkcionalovk M oboznaqaets M ∗ . Pustь L ⊂ X - podprostranstvo.