Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 4

Qtoby razliqatь зti dvaponti, my dogovorims: traektori, udovletvorwu tolьko uravneniЗlera, nazyvatь slabo зkstremalь, a traektori, udovletvorwu uravneni Зlera i uslovi Veerxtrassa, nazyvatь silьno зkstremalь. Voptimalьnom upravlenii (gde uslovie Veerxtrassa imeet svoim analogomprincip maksimuma Pontrgina) posledn nazyvat ewe pontrginsko зkstremalь(ili prosto зkstremalь).25Ris. 3.110. Kanoniqeskie peremennye. Princip maksimuma.

Funkci Pontrgina.Itak, ”slaba” зkstremalь v prostexe zadaqe opredelema uravneniem Зlera:dFẋ (t, x, ẋ) = Fx (t, x, ẋ)dt(1)ẋ = u,(2)Poloжimψ = Fu (t, x, u).Togda uravnenie Зlera okazyvaets зkvivalentno sisteme ẋ = uψ̇ = Fx (t, x, u)ψ = Fu (t, x, u)(3)Vvedem funkci Pontrgina:H = ψu − F (t, x, u)Takim obrazom,v videH = H(t, x, u, ψ). Togda sistema (3) moжet bytь perepisanaẋ = Hψ (t, x, u, ψ)−ψ̇ = Hx (t, x, u, ψ)Hu (t, x, u, ψ) = 026(4)Kaжda toqka takжe opredelet зkstremalь (slabu).Peremenna ψ nazyvaets dvostvenno ili soprжenno, a peremenna u upravleniem.

(Oboznaqenie vvedeno L.S.Pontrginym i ego sotrudnikami dlzadaq optimalьnogo upravleni. Drugoe, qasto vstreqawees oboznaqeniedl soprжenno peremenno - зto p - svzano s tem, qto v zadaqah mehanikisoprжenna peremenna estь impulьs sistemy).Predpoloжim, qto vypolneny uslovi (naprimer, Fuu 6= 0 na Q , ili,bolee togo, Fuu > 0 na Q; poslednee garantiruet strogu vypuklostь F poperemenno u), pozvolwie ispolьzovatь uslovieHu (t, x, u, ψ) = 0,ili, qto tot жe samoe, uslovieψ = Fu (t, x, u),dl togo, qtoby vyrazitь upravlenieu kak funkci ot t, x, u:u = U(t, x, ψ)(5)PustьHu (t, x, U(t, x, ψ), ψ) ≡ 0 ∀t, x, ψ.Rassmotrim funkciH(t, x, ψ) = H(t, x, U(t, x, ψ), ψ).Imeem:∂H=∂ψNo∂H ∂U∂H+∂u ∂ψ∂ψ!|u=U (t,x,ψ)U(t, x, ψ) nadena iz uslovi Hu = 0. Sledovatelьno,∂H∂H=∂ψ∂ψAnalogiqno,∂H∂H=.∂x∂x27(6)Itak, my poluqaem: esli x(·) - зkstremalь, a ψ(·) - sootvetstvuwadvostvenna peremenna (ψ(t) = Fu (t.x(t), ẋ(t))), to para funkci x(t), ψ(t)udovletvoret sisteme uravneni(ẋ = Hψ (t, x, u, ψ)−ψ̇ = Hx (t, x, u, ψ)(7)Sistemy takogo vida nazyvat gamilьtonovymi, a peremennye x, ψ – kanoniqeskimi.Otmetim, qto sistema (4) gamilьtonovo ne vlets, poskolьku soderжitparametr u, svzanny s ostalьnymi peremennymi qerez poslednee sootnoxenieHu = 0.

Tem ne menee, osnovno dl nas vse-taki budet sistema (4), poskolьkuperehod k gamilьtonovo sisteme svzan s dopolnitelьnymi trebovanimi (kotorymimy ne hotim seb zaranee obrementь).Ukazanny priem perehoda k gamilьtonovo sisteme i k kanoniqeskim peremennym na urovne slabyh зkstremale (opredelemyh uravneniem Зlera) imeetprmoe otnoxenie k tak nazyvaemomu klassiqeskomu preobrazovani Leжandra. Pustь f = f (u) - gladka funkci (u ∈ Rn ). Ee klassiqeskim preobrazovaniem Leжandra nazyvaets nova funkci h = h(ψ), opredelemaravenstvom h = ψu − f (u), gde u = U(ψ) nadeno iz uslovi ψ = fu′ (u). Priзtom predpolagaets, qto uslovie p = f ′ (u) pozvolet odnoznaqno nati u kakfunkci ot p : u = U(p) (naprimer f ′′ (u)uu > 0 ∀u ).

sno, qto perehod otF (t, x, u) k H(t, x, ψ) estь preobrazovanie Leжandra (klassiqeskoe) funkciiF po argumentu u (pri fiksirovannyh t, x, rassmatrivaemyh v preobrazovaniiLeжandra v kaqestve parametrov). Podrobnee na зtom ne ostanavlivaems (sm.ATF, s. 226).Obratims teperь k uslovi Veerxtrassa. Funkci Pontrgina H pozvoletsformulirovatь uslovie Veerxtrassa v sleduwem зkvivalentnom vide (proverьteзkvivalentnostь): dl lbo toqki t nepreryvnosti ”upravleni” u◦ (t) imeetmesto neravenstvoH(t, x◦ (t), u, ψ(t))≤H(t, x◦ (t), u◦ (t), ψ(t))dl vseh znaqeni(8)u takih, qto (t, x◦ (t), u) ∈ Q, gdeψ(t) = Fu (t, x◦ (t), u◦ (t))u◦ (t) = ẋ◦ (t).(9)Uslovie (8) nosit nazvanie principa maksimuma.

Ono utverжdaet, qto maksimumfunkcii Pontrgina H po peremenno u dostigaets (pri kaжdom t) na ”optimalьnom28upravlenii” u◦ (t). Зto uslovie takжe moжet bytь ispolьzovano dl perehodak gamilьtonovo sisteme. A imenno, polagatH(t, x, ψ) = sup H(t, x, u, ψ),u(10)gde supremum berets po u takim, qto (t, x, u) ∈ Q. Зtu funkci nazyvatgamilьtonianom. (My ispolьzuem dl nee to жe oboznaqenie, qto i raneeispolьzovali dl funkcii (6).

Dokaжite, qto esli Fuu > 0 vsdu, to obefunkcii sovpadat; vospolьzutesь pri зtom tem obstotelьstvom, qto dl vypuklo funkcii uslovie stacionarnosti ne tolьko neobhodimo, no i dostatoqnodl minimuma. V obwem sluqae funkcii (6) i (10) mogut ne sovpadatь). Priopredelennyh uslovih dokazyvaets, qto silьnye зkstremali (t.e.

udovletvorwieuravneni Зlera i uslovi Veerxtrassa) mogut bytь nadeny kak rexenigamilьtonovo) sistemy s gamilьtonianom (10). Perehod k зtomu gamilьtonianusvzan s preobrazovaniem, izvestnom v vypuklom analize pod nazvaniem preobrazovani nga - Fenhel. Dadim opredelenie.Pustь f = f (u) - nekotora funkci. Ee preobrazovaniem nga-Fenhelnazyvaets nova funkci h = h(ψ), opredelenna ravenstvom:h(ψ) = sup{ψu − f (u)}uPolagat h(ψ) = f ∗ (ψ) i nazyvat f ∗ funkcie, soprжenno k f . Soprжennafunkci vlets vypuklo.

sno, qto gamilьtonian H, opredelenny ravenstvom(10), estь preobrazovanie nga - Fenhel po peremenno u (pri fiksirovannyht i x) ot funkcii Pontrgina H . Podrobnee ob зtom preobrazovanii sm. ATF,s.224.V dalьnexem my poluqim princip maksimuma dl klassa zadaq, ohvatyvawegone tolьko vse variacionnoe isqislenie, no i mnogie zadaqi optimalьnogo upravleni.Minimizaci funkcionala na mnoжestve.Pustь X - banahovo prostranstvo, f : X → R - funkcional, M ⊂ X mnoжestvo, x0 ∈ X - toqka.

Niжe dostatoqno sqitatь, qto f opredelen vnekotoro okrestnosti U toqki x0 (v X ).: x0 - toqka lokalьnogo minimuma f na M , esli suwestvuet ε > 0 takoe, qtof (x)≥f (x0 ) ∀x ∈ M takih, qto kx − x0 k < ε.29Nas budut interesovatь neobhodimye uslovi lokalьnogo minimuma f na Mv toqke x0 . Qtoby ih poluqitь, nuжno predpoloжitь opredelennye svostva fv okrestnosti toqki x0 .U1.

Proizvodnye Frexe, Gato i proizvodna po napravleni.- okrestnostь toqki x0 v X , f : U → R - funkcional.Pustьf differenciruem po Frexe v toqke x0 , esli suwestvuet lineny funkcionall ∈ X ∗ , tako, qto f (x0 + h) = f (x0 ) + hl, hi + α(h)khk, gde α(h) → 0 prikhk → 0, t.e. r(h) = α(h)khk = o(khk).:Funkcional l nazyvaets proizvodno Frexe funkcionalaoboznaqaets f ′ (x0 ).Pustь x̄ ∈ X - fiksirovanny vektor.f v toqke x0 i: Esli suwestvuet predellimε→+0f (x0 + εx̄) − f (x0 ),εto on nazyvaets proizvodno v toqke x0 po napravleni x̄ i oboznaqaets f ′ (x0 , x̄).Esli f imeet proizvodnu Frexe f ′ (x0 ) v toqke x0 , to f ′ (x0 , x̄)(dokaжite).Veliqinu, ravnu verhnemu predelulimε→+0= hf ′ (x0 ), x̄if (x0 + εx̄) − f (x0 ),εnazovem verhne proizvodno v toqke x0 po napravleni x̄ i oboznaqim f¯′ (x0 , x̄).Ona suwestvuet vsegda, esli dopuskatь znaqeni +∞.Esli f differenciruema v toqke x0 po lbomu napravleni x̄ (t.e.

suwestvuetproizvodna po napravleni x̄) i suwestvuet l ∈ X ∗ tako, qto f ′ (x0 , x̄) =hl, x̄i, to l nazyvaets proizvodno Gato funkcionala f v toqke x0 . My budempolagatь v зtom sluqael = fΓ′ (x0 )i govoritь, qto f differenciruema po Gato v toqke x0 .Oqevidno, qto v toqke x0 differenciruemostь po Frexe ⇒ differenciruemostь po Gato ⇒ differenciruemostь po kaжdomu napravleni.30Rassmotrim zadaqu:f (x) → min,x ∈ X,kotoru printo nazyvatь zadaqe na bezuslovny зkstremum. Pustь x0 ∈ X toqka lokalьnogo minimuma. Pustь x̄ ∈ X .

Togda f (x0 + εx̄) − f (x0 )≥0 privseh dostatoqno malyh ε > 0. Otsda sleduet, qto f¯′ (x0 , x̄)≥0.Esli v toqke x0 suwestvuet proizvodna Gato, to hfΓ′ (x0 ), x̄i≥0 i hfΓ′ (x0 ), −x̄i≥0dl lbogo x̄, otkuda sleduet, qto fΓ′ (x0 ) = 0.Esli proizvodna Gato vlets zaodno proizvodno Frexe, to posledntakжe ravna nul v toqke lokalьnogo minimuma f ′ (x0 ) = 0. Зto neobhodimoeuslovie dl bezuslovnogo lokalьnogo minimuma estь teorema Ferma.Teperь my peredem k izuqeni uslovi minimuma na mnoжestve M ⊂ X .2. Kasatelьny vektor.Pustьx0 ∈ M,x̄ ∈ X .: Vektor x̄ nazyvaets (odnostoronnim) kasatelьnym vektorom k mnoжestvu Mv toqke x0 , esli suwestvut ε0 > 0 i funkci x̃(ε) : (0, ε0 ) → X takie, qto1)x0 + εx̄ + x̃(ε) ∈ M ∀ε ∈ (0, ε0)2)kx̃(ε)kε→ 0 pri ε → +0Ris. 3.231Oboznaqim qerez T M(x0 ) mnoжestvo vseh kasatelьnyh vektorov v toqke x0 .sno, qto esli x̄ - kasatelьny vektor, to pri lbom λ > 0 vektor λx̄ takжevlets kasatelьnym.

Sledovatelьno, mnoжestvo T M(x0 ) estь konus (s verxino v nule). Ego nazyvat kasatelьnym ili tangencialьnym konusom k M vtoqke x0 . Esli vmeste s kaжdym vektorom x̄ konus T M(x0 ) soderжit vektor(−x̄) i , krome togo, T M(x0 ) - vypukly konus, to T M(x0 ) - podprostranstvo.V зtom sluqae ego nazyvat kasatelьnym podprostranstvom.Primery:1. Eslix0 ∈ intM , to kasatelьny konus estь vse prostranstvo X .2. Pustь M = {x ∈ Rn |x > 0}. Togda kasatelьny konus v nule estьzamykanie mnoжestva M , t.e. mnoжestvo {x ∈ Rn |x≥0}.3. Pustь M = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤1}. Togda kasatelьn konus v toqke(1,0) estь poluploskostь {(x, y) ∈ R2 |x≤0}.32Lekci 4.Minimum na mnoжestve (prodolжenie). Pustь X – banahovo prostranstvo,x0 ∈ X – fiksirovanna toqka, U – okrestnostь toqki x0 , f : U → R –funkcional, udovletvorwi uslovi Lipxica na U s konstanto L > 0, t.e.|f (x2 ) − f (x1 )|≤Lkx2 − x1 k ∀x1 , x2 ∈ U.(Зto uslovie vsdu niжe predpolagaets vypolnennym.

Otmetim, qto onovytekaet, naprimer, iz nepreryvno differenciruemosti funkcionala f v toqkex0 – v silu teoremy o srednem – sm. niжe).Pustь f¯′ (x0 , x̄) – verhn proizvodna funkcionala f v toqke x0 po napravlenix̄.. Eslix0 – toqka lokalьnogo minimuma f na M , tof¯′ (x0 , x̄)≥0 ∀x̄ ∈ T M(x0 ).: Pustьx̄ ∈ T M(x0 ). Togda suwestvuet x̃(ε) taka, qtox0 + εx̄ + x̃(ε) ∈ M∀ε ∈ (0, ε0 ),Iz naliqi lokalьnogo minimuma vmalyh ε > 0kx̃(ε)k→ 0 pri ε → +0.εx0 vytekaet, qto pri vseh dostatoqnof (x0 + εx̄ + x̃(ε)) − f (x0 )≥0.Soglasno uslovi Lipxicaf (x0 + εx̄ + x̃(ε))≤f (x0 + εx̄) + Lkx̃(ε)k = f (x0 + εx̄) + o(ε).Sledovatelьno,f (x0 + εx̄) − f (x0 ) + o(ε)≥0.33Delim зto neravenstvo na ε > 0 i perehodim k verhnemu predelu poV rezulьtate poluqaem: f¯′ (x0 , x̄)≥0.

✷ε → +0.Pustь v dopolnenie k sdelannomu predpoloжeni o lipxicevosti f na U ,f differenciruema v toqke x0 po lbomu napravleni x̄ ∈ T M(x0 ). Togda izdokazanno teoremy vytekaet, qto neravenstvof ′ (x0 , x̄)≥0 ∀x̄ ∈ T M(x0 )estь neobhodimoe uslovie lokalьnogo minimuma v toqke x0 .Pustь, bolee togo, v toqke x0 f differenciruema po Gato (v qastnosti, poFrexe), i pustь T M(x0 ) = L – podprostranstvo v X . Togda imeet mesto. Eslix0 – toqka lokalьnogo minimuma, tohfG′ (x0 ), x̄i = 0 ∀x̄ ∈ L.′: Destvitelьno, hfG(x0 ), x̄i≥0 i hfG′ (x0 ), −x̄i≥0∀x̄ ∈ L. Sledovatelьno, hfG′ (x0 ), x̄i = 0 ∀x̄ ∈ L.

✷V prostexe zadaqe variacionnogo isqisleni my imeli:J (x(·)) =Zt1F (t, x, u) dtt0– funkcional zadaqi, kotory obladaet (kak vproizvodno Frexe′0hJ (x ), x̄i =gdeC 1 , tak i v W11 ) nepreryvnoZt1t0hFw′ (t, w 0 ), w̄i dt,w = (x, u), w 0 = (x0 , u0 ), u0 = ẋ0 , w̄ = (x̄, ū), ū = x̄˙ . Dalee, oqevidno,M = {x | x(t0 ) = a, x(t1 ) = b},T M(x0 ) = {x̄ | x̄(t0 ) = x̄(t1 ) = 0} = L.Neobhodimoe uslovie lokalьnogo (t.e. slabogo) minimuma v toqke x0 (·) sostoitv tom, qto perva variaci hJ ′ (x0 ), x̄i ravna nul na L.Dalee nas budet interesovatь sluqa, kogda M = {x | g(x) = 0}, gde g :X → Y – nelineny operator, differenciruemy po Frexe v okrestnostix0 .34Teorema Lsternika i ee obobweni. Zadaqa s gladkim ograniqeniemtipa ravenstva.Teperь nas budut interesovatь uslovi minimuma v zadaqef (x) → min,g(x) = 0,x ∈ U,(1)U ⊂ X – otkrytoe mnoжestvo v banahovom prostranstve X ,g : U → Y – nelineny operator, destvuwi v drugoe banahovo prostranstvoY , x0 ∈ U – dopustima toqka, t.e.