Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 9

. . , k,g(x) = 0,x∈UPri sdelannyh predpoloжenih imeet mesto sleduwa teorema, vytekawaiz predyduwe.. Pustь x0 - toqka lokalьnogo minimuma v zadaqe (Z1 ) . Togda ne suwestvuetx̄ 6= 0 takogo, qtof0′ (x0 ; x̄) < 0;fi′ (x0 ; x̄) < 0, i ∈ I,g ′ (x0 )x̄ = 0.(7)(8)Зto i estь teorema o nepereseqenii approksimaci v zadaqe (Z1 ). Proizvodnapo napravleni predstavlet sobo poloжitelьno odnorodny funkcional pox̄. Otsda sleduet, qto kaжdoe iz mnoжestv, opredelemyh neravenstvami (7),estь konus. Dubovicki i Miltin nazvali{x̄ | f0′ (x0 , x̄) < 0}konusom zaprewennyh variaci v toqkex0 funkcionala f0 zadaqi, a mnoжestva{x̄ | fi′ (x0 , x̄) < 0}, i ∈ I-konusami dopustimyh variaci v toqke x0 ograniqeni tipa neravenstva fi (x)≤0.(Dl i ∈/ I kaжdy tako konus po opredeleni estь vse prostranstvo X ).Nakonec, (8) opredelet mnoжestvo dopustimyh variaci v toqke x0 po ograniqenitipa ravenstva g(x) = 0 - kasatelьnoe podprostranstvo k зtomu ograniqeni.Vse зto - approksimacii funkcionala i ograniqeni zadaqi v toqke x0 .

Itak,nepereseqenie approksimaci estь neobhodimoe uslovie pervogo pordka lokalьnogominimuma v toqke x0 . Inaqe зto uslovie nazyvat usloviem stacionarnosti.64Ono nosit vesьma obwi harakter. My uvidim, qto vaжnye klassy zadaqoptimalьnogo upravleni ukladyvats v dannu abstraktnu shemu. Takimobrazom, dl nih uslovie stacionarnosti moжet bytь vypisano.Dalee nas budet interesovatь analiz uslovi stacionarnosti, dl qego mypoluqim dvostvenny kriteri зtogo uslovi , t.e.

kriteri, sformulirovannyv terminah soprжennogo prostranstva. Dl зtogo nam ponadobits predpoloжenie o tom, qto funkcionaly fi′ (x0 , x̄) vlts ne tolьko odnorodnymi,no i vypuklymi po x̄. V зtom sluqae konusy, opredelemye neravenstvami (7),okazyvats vypuklymi i otkrytymi, i my smoжem sformulirovatь uslovienesovmestnosti sistemy (7) i (8) s pomowь teoremy Dubovickogo i Miltinao nepereseqenii koneqnogo qisla vypuklyh konusov. Takov nax plan.ϕ:2.Sublineny funkcional.Pustь X - banahovo prostranstvo. FunkcionalX → R nazyvaets sublinenym, esli(a)ϕ(λx) = λϕ(x) ∀x ∈ X, λ > 0,(b)ϕ(x + y)≤ϕ(x) + ϕ(y) ∀x, y ∈ XPervoe uslovie estь poloжitelьna odnorodnostь.

Uslovie (b) зkvivalentnovypuklosti poloжitelьno odnorodnogo funkcionala (dokaжite). Sublinenyfunkcional ϕ nazyvaets ograniqennym, esli suwestvuet konstanta C > 0taka, qto(c)ϕ(x)≤Ckxk ∀x ∈ X.V silu odnorodnosti зto uslovie зkvivalentno ograniqennosti ϕ sverhu naediniqno sfere v X .

V dalьnexem my rassmatrivaem tolьko ograniqennyesublinenye funkcionaly.Lineny funkcional l ∈ X ∗ nazyvaets opornym k sublinenomu funkcionaluϕ (v nule), esli l(x)≤ϕ(x) ∀x ∈ X. Mnoжestvo vseh opornyh k ϕ oboznaqaets∂ϕ. Pustь, dalee, ϕ - ograniqenny sublineny funkcional.Зlementarno proverets, qto mnoжestvo ∂ϕ vypuklo, ograniqeno i zamknuto.Bolee togo, nesloжno pokazatь, qto ono slabo∗ zamknuto. Kak izvestno, ograniqennoe slabo∗ zamknutoe mnoжestvo v soprжennom prostranstve estь kompakt v*-slabo topologii зtogo prostranstva.Itak, ∂ϕ - vypuklo i slabo∗ kompaktno v X ∗ .

Pravda, my ewe ne pokazali,qto ∂ϕ nepusto. My ustanovim bolee silьny fakt.65. Pustь ϕ : X → R - ograniqenny sublineny funkcional. Togda mnoжestvoego opornyh ∂ϕ nepusto i imeet mesto formulaϕ(x) = maxhx∗ , xi ∀x ∈ X∗x ∈∂ϕ(9)(priqem, dl lbogo x ∈ X maksimum v pravo qasti зto formuly dostigaets,qto, vproqem, vytekaet iz slabo∗ kompaktnosti ∂ϕ).: Eslix∗ ∈ ∂ϕ, to hx∗ , xi≤ϕ(x) ∀x, otkuda poluqaem neravenstvosup hx∗ , xi≤ϕ(x) ∀x.x∗ ∈∂ϕQtoby ustanovitь ravenstvo, dostatoqno pokazatь, qto dl lbogo x0 ∈ Xnadets x∗ ∈ ∂ϕ tako, qto hx∗ , x0 i = ϕ(x0 ). Tem samym my ustanovim nepustotu ∂ϕ i dostiжenie maksimuma v pravo qasti ravenstva (9).

V rezulьtateteorema budet dokazana.V proizvedenii X × R rassmotrim mnoжestvoA = {(x, t) | ϕ(x) < t}.Зlementarno proverets, qto зto mnoжestvo - nepusto vypukly konus. Dalee,konus A otkryt. Destvitelьno, pustь (x, t) ∈ A, t.e. ϕ(x) < t. Togda iz neravenstvϕ(x + x̄)≤ϕ(x) + ϕ(x̄)≤ϕ(x) + Ckx̄kvytekaet, qto (x + x̄, t + t̄) ∈ A, esli kx̄k i |t̄| dostatoqno maly. Itak, A- nepusto otkryty vypukly konus. Pustь x0 ∈ X, t0 = ϕ(x0 ). Toqka(x0 , t0 ) ne prinadleжit A. Sledovatelьno, nadets nenulevo funkcional(x∗ , τ ) ∈ X ∗ × R, otdelwi A ot (x0 , t0 ), priqem зtot funkcional moжnovybratь tak, qtohx∗ , xi + τ t≤hx∗ , x0 i + τ t0(10)dl vseh (x, t) ∈ A, to estь takih , qto ϕ(x) < t.Proanaliziruem uslovie (10).

Esli τ = 0, to hx∗ , x − x0 i≤0 ∀x, otkudax∗ = 0, qto protivoreqit netrivialьnosti (x∗ , τ ). Poзtomu τ 6= 0. Poloжimv (10) x = x0 . Togdaτ (t − t0 )≤0 ∀t > ϕ(x0 ) = t0 .66Sledovatelьno, τ < 0. Ne ograniqiva obwnosti, moжno sqitatь, qtoTogda (10) priobretaet vid:τ = −1.hx∗ , xi − hx∗ , x0 i≤t − t0prit > ϕ(x).

Otsda vytekaet, qto dl vseh x ∈ Xhx∗ , xi − hx∗ , x0 i≤ϕ(x) − ϕ(x0 )(11)x̃ ∈ X - proizvolьny зlement, α > 0. Poloжim x = αx̃ . Togda hx∗ , αx̃ i−hx∗ , x0 i≤ϕ( αx̃ ) − ϕ(x0 ), otkuda v silu poloжitelьno odnorodnosti poluqaemhx∗ , x̃i − αhx∗ , x0 i≤ϕ(x̃) − αϕ(x0 ). Poskolьku α > 0 moжno vztь proizvolьnomalym, to hx∗ , x̃i≤ϕ(x̃). V silu proizvolьnosti x̃ зto oznaqaet, qto x∗ ∈ ∂ϕ,i, sledovatelьno, ∂ϕ nepusto.Dalee, polaga v (11) x = 0, poluqaem:Pustьhx∗ , x0 i≥ϕ(x0 ).Poskolьku x∗ ∈mesto ravenstvo∂ϕ, to verno i obratnoe neravenstvo. Sledovatelьno, imeethx∗ , x0 i = ϕ(x0 ).

Teorema dokazana.✷67Lekci 8.2. Sublineny funkcional (prodolжenie). Pustь po-preжnemu X –banahovo prostranstvo, ϕ : X −→ R – ograniqenny sublineny funkcional.Otmetim, qto esli C > 0 takovo, qto ϕ(x)≤Ckxk ∀x ∈ X , to kx∗ k≤C∀x∗ ∈ ∂ϕ.Destvitelьno, esli x∗ ∈ ∂ϕ, to hx∗ , xi≤ϕ(x)≤Ckxk ∀x.Iz uslovi hx∗ , xi≤Ckxk ∀x vytekaet, qto |hx∗ , xi|≤Ckxk ∀x, a togdakx∗ k≤C .Iz зtogo fakta i predyduwe teoremy (sm.

formulu (9) v lekcii 7) vytekaet: Ograniqenny sublineny funkcional vlets lipxicevym i, sledovatelьno,nepreryvnym vo vsem prostranstve X .: Pustьx1 , x2 ∈ X . Togda naduts x∗1 , x∗2 ∈ ∂ϕ takie, qtoϕ(x1 ) = hx∗1 , x1 i, ϕ(x2 ) = hx∗2 , x2 i(sm. (9)).

Sledovatelьno,ϕ(x1 ) − ϕ(x2 ) = hx∗1 , x1 i − hx∗2 , x2 i.Nohx∗2 , x2 i = ϕ(x2 )≥hx∗1 , x2 i.Sledovatelьno,ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )≤hx∗1 , x1 i − hx∗1 , x2 i≤kx∗1 k · kx1 − x2 k≤Ckx1 − x2 k.Analogiqno, ϕ(x2 ) − ϕ(x1 )≤Ckx2 − x1 k.Sledovatelьno, |ϕ(x2 ) − ϕ(x1 )|≤Ckx2 − x1 k,t.e. ϕ udovletvoret uslovi Lipxica na X s konstanto68C > 0. ✷: Pokaжite, qto esli ϕ =edinstvennogo зlementa l.l – lineny funkcional v X , to ∂ϕ sostoit iz. Mnoжestvo opornyh ∂ϕ k sublinenomu funkcionalu ϕ nazyvat takжesubdifferencialom funkcionala ϕ (v nule), a ego зlementy x∗ ∈ ∂ϕ (t.e.opornye) – subgradientami funkcionala ϕ (v nule).Nam ponadobts takжe sleduwie dve teoremy o sublinenyh funkcionalahi opornyh k nim.ob opornyh suжeni sublinenogo funkcionala na podprostranstvo.

PustьΓ ⊂ X – podprostranstvo (zamknutoe), ϕ : X −→ R – sublineny funkcional,ϕΓ : Γ −→ R – ego suжenie na Γ. Togda dl lbogo lΓ ∈ ∂ϕΓ suwestvuetl ∈ ∂ϕ tako, qto l(x) = lΓ (x) ∀x ∈ Γ, t.e. suжenie l na Γ estь lΓ .: Itak, pustьlΓ (x)≤ϕ(x) ∀x ∈ Γ. Togda v proizvedenii X × R dva mnoжestvaΩ = {(x, t)| lΓ (x) = t, x ∈ Γ}, Ω0 = {(x, t)| ϕ(x) < t, x ∈ X},ne peresekats (proverьte!).Pri зtom Ω0 – otkryty nepusto vypukly konus, a Ω – podprostranstvo.Togda suwestvuet razdelwi ih funkcional, t.e.

nadets para (l, τ ) ∈X ∗ × R taka,qtol(x) + τ t < 0 ∀(x, t) ∈ Ω0(12)l(x) + τ t = 0 ∀(x, t) ∈ Ω(13)Poloжim v (12) x = 0, t = 1. Poluqim τ < 0. Ne ograniqiva obwnosti,sqitaem τ = −1. Togda (12) moжno zapisatь v vide:ϕ(x) < t =⇒ l(x) < t ∀x ∈ X ∀t ∈ R, otkuda sleduet, qto l(x)≤ϕ(x) ∀x ∈zapisatь v vide x ∈ Γ, lΓ (x) = t =⇒lΓ (x) ∀x ∈ Γ. Teorema dokazana.✷X , t.e. l ∈ ∂ϕ. Dalee, (13) moжnol(x) = t, otkuda sleduet, qto l(x) =S pomowь зto teoremy dokaжem sleduwu vaжnu teoremu.ob opornom k sublinenomu funkcionalu ot linenogo operatora. PustьA : X −→ Y – lineny operator, ϕ : Y −→ R – sublineny funkcional.Rassmotrim sublineny funkcional f (x) = ϕ(Ax).Togda∂f = A∗ ∂ϕ.69(14)l ∈ ∂ϕ, t.e.

l(x)≤ϕ(Ax) ∀x ∈ X . Togda l(x)≤ϕ(y) ∀x, y takih, qtoy = Ax, x ∈ X, y ∈ Y . V proizvedenii X × Y rassmotrim podprostranstvoΓ = {(x, y)| y = Ax}.Opredelim na proizvedenii X × Y lineny funkcional ˆl i sublinenyfunkcional ϕ̂ tak, qto ˆl(x, y) = l(x), ϕ̂(x, y) = ϕ(y) ∀(x, y) ∈ X × Y .Togda na Γ imeem: ˆl(x, y)≤ϕ̂(x, y) ∀(x, y) ∈ Γ.Soglasno predyduwe teoreme nadets para (µ, λ) ∈ X ∗ × Y ∗ taka,qto: Pustьµ(x) + λ(y)≤ϕ̂(x, y) ∀x, y,(15)µ(x) + λ(y) = ˆl(x, y) ∀x, y ∈ Γ.(16)Uslovie (15) oznaqaet, qto µ(x) + λ(y)≤ϕ(y) ∀x, y . Polaga y = 0, poluqaem:µ(x)≤0, otkuda µ = 0.

Sledovatelьno, λ(y)≤ϕ(y) ∀y , t.e. λ ∈ ∂ϕ.Togda uslovie (16) oznaqaet, qto λ(y) = l(x), esli y = Ax, x ∈ X .Sledovatelьno, l(x) = λ(Ax) ∀x ∈ X ,t.e. l = A∗ λ, λ ∈ ∂ϕ.Itak, l ∈ A∗ ∂ϕ.Obratno, pustь λ ∈ ∂ϕ, l = A∗ λ. Togda l(x) = λ(Ax)≤ϕ(Ax) = f (x) ∀x,otkuda sleduet,qto l ∈ ∂f .Takim obrazom, imeet mesto ravenstvo (14).✷3. Teoremy o soprжennyh konusah.PustьX – banahovo prostranstvo.ϕ : X −→ R – sublineny ograniqenny funkcional i pustь konusK = {x ∈ X| ϕ(x) < 0} ne pust.