Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 3

Зtot fakt estь qastь neobhodimogo uslovi.01. Dl x0 (·) ∈ W∞uslovie (t, x, ẋ) ∈ Q sleduet ponimatь tak: suwestvuetkompakt C ⊂ Q tako, qto (t, x0 (t), ẋ0 (t)) ∈ C p.v. na [t0 , t1 ].V zaklqenie otmetim, qto vse rassmotreni moжno bylo by provesti dlvektor-funkci x(t) : [t0 , t1 ] → Rn ,x = (x1 , . . . , xn ) , i my by snova prixlik uravneni Зlera, vid kotorogo ne menets (lixь lemmu Dbua-Remona iee abstraktny analog prixlosь by neskolьko obobwitь). Pozжe my poluqimvse ukazannye modifikacii uravneni Зlera v znaqitelьno bolee xirokomklasse zadaq. Privedem spisok prostranstv, kotorye my budem ispolьzovatь:C 1 (∆, Rn )KC 1 (∆, Rn )1W∞(∆, Rn )W11 (∆, Rn ).C(∆, Rn )KC(∆, Rn )L∞ (∆, Rn )L1 (∆, Rn )Operator differencirovani otobraжaet kaжdoe prostranstvo sprava nasootvetstvuwee prostranstvo sleva; sverhu- vniz prostranstva rasxirts.7.

Pervye integraly uravneni Зlera.Itak, uravnenie ЗleradFẋ (t, x, ẋ) = Fx (t, x, ẋ)dtpredstavlet sobo differencialьnoe uravnenie vtorogo pordka.sluqai, kogda legko vypisyvats ego pervye integraly.15Ukaжem1.F ne zavisit ot x ∼ Fx = 0 ⇒ Fẋ (t, ẋ) = const.2.F ne zavisit ot ẋ ∼ Fẋ = 0 ⇒ Fx (t, x) = 0.3.F ne zavisit ot t (samy vaжny sluqa) - imeem integral зnergii:ẋFẋ (x, ẋ) − F (x, ẋ) = const.Destvitelьno,!ddd(ẋFẋ − F ) = ẍFẋ + ẋ Fẋ − Fx ẋ − Fẋ ẍ = ẋFẋ − Fx = 0dtdtdt(pri uslovii, qtox(·) ∈ C 2 ).8.

Зkstremali v zadaqe o brahistohrone.Zx1 √0y(0) = 0,Zadaqa imeet vid1 + y ′2dx → min,√yy(x1 ) = y1 ;x1 , y1 - fiksirovany.Predpoloжeni prostexe zadaqi ne vypolneny poskolьku podintegralьnafunkci pri y = 0 imeet osobennostь. Poloжim Q = {(x, y, z) | y > 0} i izmenim naqalьnoe uslovie y(0) = 0 na uslovie y(0) = ε, gde ε > 0 malo.Nadem зkstremali v зto zadaqe.

ZdesьF =ne zavisit ot√1 + y ′2√yx. Poзtomu uravnenie Зlera imeet pervy integraly ′ Fy′ − F = constPoskolьkuy′1·√ ,′2y1+y√y ′21 + y ′21′√y Fy′ − F = √−=−√√√ .y1 + y ′2 y1 + y ′2 yF =√y′to16Sledovatelьno,√ qy 1 + y ′2 = c;y(1 + y ′2) = c2 ;c2 − y;yy ′2 =√ 2c −ydy=± √;dxy√ydydx = ± √ 2;c −yZ √ydyx=± √ 2.c −yZamena:y = c2 sin2 t (y > 0);dy = 2c2 sin t cos tdt,x=±c sin t2c2 sin2 t cos tdt;c cos tZx = ±2c2Zsin2 tdt.Vyberem znak + (qto sootvetstvuet rastuwe funkcii). PoskolьkuZsin2 tdt =12Z111(1 − cos 2t)dt = (t − sin 2t) + c1 = (2t − sin 2t) + c1 ,224toPoloжim(x =y =x − c1 =c2(τ2− sin τ )y =c2(12− cos τ ).c2(2t − sin 2t) + c12c2(1 − cos 2t).22t = τ .

TogdaItak, зkstremalь estь cikloida.179. Silьny minimum. Uslovie Veerxtrassa. My prodolжaem rassmatrivatьprostexu zadaqu variacionnogo isqisleni (v.i.):Zt1t0F (t, x, u)dt → min,ẋ = u,x(t0 ) = a,x(t1 ) = b,(t, x, u) ∈ Q.Predpolagaets, qto F , Fx i Fu nepreryvny na otkrytom mnoжestve Q. Budemgovoritь, qto x0 (·) dostavlet silьny minimum, esli suwestvuet ε > 0 takoe,qto dl lbo dopustimo traektorii x(·), udovletvorwe uslovi|x(t) − x0 (t)|≤ε ∀t,(19)vypolneno neravenstvo:J(x)≥J(x0 ).Uslovie (19) ravnosilьno uslovikx(·) − x0 (·)kC ≤ε.Poзtomu silьny minimum estь lokalьny minimum v smysle normy prostranstvaC (v to vrem kak slaby estь minimum v smysle normy prostranstva C 1 ,1esli zadaqa rassmatrivaets v C 1 , ili v smysle normy W∞, esli zadaqa1rassmatrivaets v W∞ ).My ne skazali, v kakom prostranstve my rassmatrivaem zadaqu, opredelpontie silьnogo minimuma. Moжno sqitatь, qto zadaqa rassmatrivaets v1prostranstve x ∈ W∞(t.e.

x - lipxiceva). V variacionnom isqisleniiprinto sqitatь, qto x ∈ KC 1 , t.e. x - kusoqno gladka funkci.Nas budet interesovatь seqas poluqenie neobhodimogo uslovi dl silьnogominimuma, t.e. poluqenie uslovi Veerxtrassa. Dl prostoty dokazatelьstvmy budem sqitatь, qto funkci x0 (t), issleduema na minimum, prinadleжitklassu KC 1 , t.e. ee perva proizvodna u0 (t) = ẋ0 (t) kusoqno nepreryvna.Itak, pustь x0 ∈ KC 1 - dopustima traektori, dostavlwa silьnyminimum v KC 1 . Pustь τ ∈ (t0 , t1 ) - toqka nepreryvnosti funkcii u0 (t).V okrestnosti toqki τ my opredelim variaci Veerxtrassa, s pomowь18kotoro uslovie silьnogo minimuma budet poluqeno.

Poskolьkupustima po ograniqenim, tox0 (·) - do-(τ, x0 (τ ), u0 (τ )) ∈ Q.Pustь∆u - qislo takoe, qto(τ, x0 (τ ), u0 (τ ) + ∆u) ∈ Q(esli x, a znaqit i u - vektor, to ∆u - takжe vektor). Rassmotrim funkci,grafik kotoro izobraжen na kartinke:Ris 2.1Itak,)√1 pri t ∈ (τ − ε, τ√v = v(τ, ε, t) = − ε pri t ∈ (τ, τ + ε)0 na dopolnenii.Sleva ot τ my imeem ”stolbik” ili ”igolku”, sprava - malu (esli”kompensiruwu” variaci, podobrannu tak, qtoZt1v(τ, ε, t)dt = 0.t019ε - malo)Otmetim takжe, qto v sosredotoqena na (τ − ε, τ +ot nul lixь na Mε ).

Rassmotrim takжe funkciξ(τ, ε, t) =Zt√defε) = Mε (t.e. otliqnav(τ, ε, t̃)dt̃,t0grafik kotoro imeet vidRis 2.2Otmetim, qtoPoloжimkξkC ≤ε i ξ takжe sosredotoqena na (τ − ε, τ +√ε) = Mε .δuε (t) = v(τ, ε, t)∆u,δxε (t) = ξ(τ, ε, t)∆u.Togdaδ ẋε = δuε ,δxε (t0 ) = δxε (t1 ) = 0.sno, qto pri vseh dostatoqno malyh ε > 0 traektoridopustimo (poskolьku Q otkryto). Poskolьkukδxε kc ≤ε|∆u|,20x0 + δxε vletsi v toqkex0 imeet mesto silьny minimum, toJ(x0 + δxε ) − J(x0 )≥0dl vseh dostatoqno malyhε > 0.

Sledovatelьno,J(x0 + δxε ) − J(x0 )≥0.εε→+0lim(20)My pokaжem, qto niжni predel realizuets kak predel i raven veliqine∆F − Fu [τ ]∆u,(21)gde∆F = F (τ, x0 (τ ), ẋ0 (τ ) + ∆u) − F (τ, x0 (τ ), ẋ0 ),Fu [τ ] = Fu (τ, x0 (τ ), u0 (τ )).PoloжimE(t, x, u, ũ) = F (t, x, ũ) − F (t, x, u) − Fu (t, x, u)(ũ − u).Зtu funkci nazyvat funkcie Veerxtrassa. sno, qto∆F − Fu [τ ]∆u = E(t, x0 (t), ẋ0 (t), ẋ0 (t) + ∆u).Takim obrazom, budet pokazano, qtoE(t, x0 (t), ẋ0 (t), ẋ0 (t) + ∆u)≥0.Зto i estь uslovie Veerxtrassa v toqke τ nepreryvnosti funkcii u0 (·).

Daleepolagaem dl kratkosti δxε = δx, δuε = δu. Poloжim takжeδF = F (t, w 0 + δw) − F (t, w 0),gdeδw = (δx, δu),w 0 = (x0 , u0 ).PoskolьkuδwXMε = δw,gdeXMε - harakteristiqeska funkci mnoжestva Mε , to00J(x + δx) − J(x ) =21Zt1t0δF dt =ZMεδF dt.DaleeδF = F (t, x0 + δx, u0 + δu) − F (t, x0 , u0 )moжno predstavitь v videδF = δ̄x F + δu F,gdeδ̄x F = F (t, x◦ + δx, u◦ + δu) − F (t, x◦ , u◦ + δu)-prirawenie pox v ”sdvinuto” toqke (t, x0 , u0 + δu), aδu F = F (t, x0 , u0 + δu) − F (t, x0 , u0 )- prirawenie po u v toqke (t, x0 , u0 ). Poskolьku funkci F nepreryvno differenciruema po x, to ona udovletvoret uslovi Lipxica po x na kaжdom ograniqennom mnoжestve oblasti opredeleni.

Sledovatelьno, suwestvuetkonstanta L > 0 taka, qtokδ̄x F kL∞ ≤LkδxkC = L|∆u|ε,otkuda|ZMεδ̄x F dt|≤kδ̄x F kL∞ mesMε ≤L|∆u|ε mesMε = o(ε).Sledovatelьno,00J(x + δx) − J(x ) =ZMεδ̄x F dt +ZMεProdolжenie sm. v lekcii 3.22δu F dt =ZMεδu F dt + o(ε).(23)Lekci 3.Prodolжim vyvod uslovi Veerxtrassa. ImeemZZZδu F dt =Mεδu F dt +Mε−δu F dt(24)Mε+gdeMε− = (τ − ε, τ ),Mε+ = (τ, τ +√ε).Rassmotrim kaжdoe slagaemoe v otdelьnosti. Imeem:ZZZδu F dt =Mε−poskolьku∆F dt +Mε−Mε−(δu F − ∆F ) dt = ∆F · ε + o(ε),(25)mes Mε− = ε , a δu F − ∆F moжno perepisatь kakF (t, x0 (t), u0 (t)+∆u)−F (τ, x0 (τ ), u0 (τ )+∆u)−(F (t, x0 (t), u0 (t))−F (τ, x0 (τ ), u0 (τ ))),otkuda sno, qtosup |δu F − ∆F | → 0 pri ε → 0,Mε−poskolьku x◦ i u◦ nepreryvny v toqke τ .Dalee, pokaжem, qtoZZFu◦ δu dt + o(ε),δu F dt =Mε+gdeMε−Fu◦ = Fu (t, w ◦ (t)).Destvitelьno, po teoreme o srednem naMε+ imeem:δu F = Fuθ δu,23(26)gdeFuθ = Fu (t, x◦ , u◦ + θδu),i, sledovatelьno, naθ = θ(t),0≤θ(t)≤1Mε+ imeem:δu F = Fu◦ δu + (Fuθ − Fuθ )δu.Poskolьku naMε+ vypolneny uslovi√|δu| = ε|∆U| ⇒ sup |Fuθ − Fu◦ | → 0(ε → 0)Mε+mes Mε+ =to|ZMε+√ε,√√(Fuθ − Fu◦ ) dt|≤ sup |Fuθ − Fu◦ |( ε|∆u|) ε = o(ε).Mε+Sledovatelьno, imeet mesto ocenka (26).

Nakonec,ZZZFu◦ δu dt =Mε+Fu [τ ]δu dt+Mε+Mε+√ √(Fu◦ −Fu [τ ])δu dt = −Fu [τ ]∆u ε ε+o(ε)(27)Destvitelьno,sup |Fu◦ − Fu [τ ]| → 0 pri ε → 0,Mε+t.k.◦w (t) nepreryvna v toqke τ , sledovatelьno,|ZMε+√ √(Fu◦ − Fu [τ ])δu dt|≤ sup |Fu◦ − Fu [τ ]|(|∆u| ε) ε = o(ε).Mε+Iz formul (23) - (27) poluqaem:J(x◦ + δx) − J(x0 ) = ∆F · ε − Fu [τ ]∆u · ε + o(ε).Ostaets razdelitь naε i pereti k predelu. Togda poluqaem∆F − Fu [τ ]∆u≥0(28)Pustь teperь t∗ ∈ (t0 , t1 ) - toqka razryva funkcii u◦ (t). Togda suwestvuti koneqny u◦ (t∗ − 0) i u◦ (t∗ + 0).

Perehod v uslovii (28) k predelu priτ → t∗ − 0, poluqaemF (t∗ , x◦ (t∗ ), u◦(t∗ − 0) + ∆u) − F (t∗ , x◦ (t∗ ), u◦(t∗ − 0)) − Fu [τ ]∆u≥0,24gdeFu [τ ] = Fu (t∗ , x◦ (t∗ ),u◦ (t∗ − 0)) = Fu (t, x◦ (t∗ ),(poskolьku ψ(t) = Fu (t, w ◦ (t)) ne rvets!).Analogiqnoe uslovie imeet mesto sprava ot◦◦u◦ (t∗ + 0))t∗ :◦F (t∗ , x (t∗ ), u (t∗ + 0) + ∆u) − F (t∗ , x (t∗ ), u◦ (t∗ + 0)) − Fu [τ ]∆u≥0.Itak, dokazana. Pustь x◦ (·) dostavlet silьny minimum v prostexe zadaqe v klasse KC 1 .Togda dl lbo toqki t nepreryvnosti funkcii ẋ◦ (t) imeet mesto uslovieVeerxtrassa:dl vsehE(t, x◦ (t), ẋ◦ (t), ẋ◦ (t) + ∆u)≥0∆u takih, qto (t, x◦ (t), ẋ◦ (t) + ∆u) ∈ Q, gdeE(t, x, u, v) = F (t, x, v) − F (t, x, u) − Fu′ (t, x, u)(v − u).Otmetim geometriqeski smysl uslovi Veerxtrassa.

Rassmotrim funkci,zaviswu tolьko ot u:z = f (u)′Neravenstvo f (u0 +v)−f (u0 )−f (u0 )v≥0 (figuriruwee v uslovii Veerxtrassa)oznaqaet, qto grafik funkcii z = f (u) leжit nad kasatelьno k grafikuv toqke u0 (toqnee, ne niжe kasatelьno). Esli funkci vypukla, to зtouslovie avtomatiqeski vypolneno. Poзtomu uslovie Veerxtrassa vsegda vypolneno, esli integrant F (t, x, u) vlets vypuklo funkcie po u. Kak uжeotmeqalosь, traektori x(t), udovletvorwu uravneni ЗleradFẋ (t, x, ẋ) = Fx (t, x, ẋ),dtnazyvat зkstremalь.Odnako vesьma qasto pontie зkstremali vklqaet trebovanie, qtoby dlx(t) bylo takжe vypolneno uslovie Veerxtrassa.