Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 5

g(x0 ) = 0. ZdesьgdeM = {x ∈ U | g(x) = 0},f : U → R – funkcional, po krane mere, udovletvorwi uslovi Lipx-ica.Otnositelьno g my predpoloжim seqas , qto g nepreryvno differenciruempo Frexe v okrestnosti toqki x0 . My smoжem napisatь soderжatelьnoe neobhodimoe uslovie lokalьnogo minimuma v toqke x0 , esli budem znatь kasatelьnykonus k M v toqke x0 . Зtot konus opisyvaet sleduwa(L.A.Lsternik).

Esli g ′ (x0 ) : X → Y – srъektivny operator, toT M(x0 ) estь podprostranstvo, sovpadawee s drom linenogo operatora g ′ (x0 ),t.e.T M(x0 ) = {x̄ ∈ X | g ′(x0 )x̄ = 0}.Зtu teoremu nazyvat teoremo Lsternika o kasatelьnom mnogoobrazii.Uslovie nevyroжdennosti proizvodno: g ′ (x0 )X = Y igraet v зto teoremerexawu rolь.

Ego nazyvat usloviem Lsternika v toqke x0 .Зta teorema, a takжe ee obobweni, oqenь vaжny v teorii зkstremuma, vqastnosti, v optimalьnom upravlenii. Pri vypolnennom uslovii Lsternikaneobhodimoe uslovie lokalьnogo minimuma v toqke x0 v zadaqe (1) sostoit vsleduwem:f¯′ (x0 , x̄)≥0 dl vseh x̄ takih, qto g ′ (x0 )x̄ = 0.Esli f differenciruema po Gato v toqkesleduwemu:x0 , to зto uslovie ravnosilьnohfΓ′ (x0 ), xi = 0 dl vseh x̄ takih, qto g ′ (x0 )x̄ = 0.35(Uslovie Lipxica dl f v okrestnosti x0 predpolagaets vypolnennym.)Otsda sovsem nesloжno poluqaets pravilo mnoжitele Lagranжa v zadaqe(1) (sm. dalee).My naqnem s obobweni klassiqesko teoremy Lsternika, predloжennogoA.A.Miltinym.1.

Nakryvanie s konstanto a. Pustь (X, d) – polnoe metriqeskoe prostranstvos metriko d, Y – banahovo prostranstvo, U ⊂ X – otkrytoe mnoжestvo,P : U → Y – operator.Qerez B X (x, r) budem oboznaqatь zamknuty xar v X radiusa r s centromv toqke x.: P nakryvaet na U s konstantospravedlivo vklqenie:a > 0, esli dl lbogo xara B X (x, r) ⊂ UP (B X (x, r)) ⊃ B Y (P (x), a r),gdeB Y (·, ·) – xar v prostranstve Y .Zametim: qtoby nakrytь xar radiusa ρ > 0 v Y s centrom v toqke y =P (x) (x ∈ U ), nuжno vztь xar v X B X (x, aρ ) s centrom v toqke x radiusaρ. Razumeets, on dolжen soderжatьs v U .

Togda ego obraz nakroet xaraB Y (P (x), ρ).Esli P nakryvaet s konstanto a > 0, to on nakryvaet i s lbo konstantoa′ tako, qto 0 < a′ < a. Moжno vvesti konstantu a0 , ravnu toqno verhnegrani vseh konstant a > 0, s kotorymi estь nakryvanie, no s a0 nakryvanimoжet ne bytь.2. Nakryvanie dl linenogo operatora. Teorema Banaha ob obratnomoperatore. Lemma o pravom obratnom otobraжenii. Pustь X, Y – banahovy prostranstva, A : X → Y – lineny nepreryvny operator.V silu linenosti nakryvanie s konstanto a > 0 na X dl A ravnosilьnotrebovaniA(B X (0, 1)) ⊃ B Y (0, a)(dokaжite).Esli A : X → Y nakryvaet s nekotoro konstanto a > 0, to on srъektiven(dokaжite). Okazyvaets, verno i obratnoe: esli A srъektiven, to on nakryvaet s nekotoro poloжitelьno konstanto. Зto vytekaet iz sleduwe lemmy.36o pravom obratnom operatore.

Pustь A : X → Y – ograniqenny linenyoperator, priqem AX = Y . Togda suwestvut otobraжenie T : Y → X(voobwe govor, nelinenoe i razryvnoe) i konstanta c > 0 takie, qtoA(T (y)) = y ∀y ∈ YikT (y)k≤Ckyk ∀y ∈ Y.Dl dokazatelьstva nam ponodobits teorema Banaha ob obratnom operatore,a takжe ponti faktor-prostranstva i faktor-operatora.

Napomnim ih.Banaha ob obratnom operatore. Pustь A : X → Y – ograniqenny linenysrъektivny i inъektivny operator, t.e. AX = Y , KerA = {0}. Togdaobratny operator A−1 : Y → X takжe vlets ograniqennym.Pustь L ⊂ X – zamknutoe podprostranstvo. Faktor-prostranstvo X̂ =X/L opredelets sleduwim obrazom. Зlementami X/L vlts klassysmeжnostix̂ = x + L = {x + x′ | x′ ∈ L},gde x ∈ x̂ – proizvolьny predstavitelь klassa. Norma зlementadelets tak:x̂ opre-kx̂k = inf{kxk | x ∈ x̂}(proverьte, qto зto – norma). Prostranstvo X̂ , snabжennoe зto normo,vlets banahovym.Pustь imeets lineny operator A : X → Y . Poloжim L = KerA irassmotrim faktor-prostranstvo X/KerA = X̂ .Opredelim na nem faktor-operator : X̂ → Ysleduwim obrazom:Â(x̂) = Ax,gde x ∈ x̂ – proizvolьny predstavitelь klassa.

Зto opredelenie korrektno.Destvitelьno, esli x1 ∈ x̂ i x2 ∈ x̂, to x1 − x2 ∈ KerA i, sledovatelьno,Ax1 = Ax2 . Зto otobraжenie lineno i nepreryvno, priqem, kÂk≤kAk.Krome togo, зto otobraжenie inъektivno.37: PustьA : X → Y – srъektivny operator. Togda operator : X/KerA → Ysrъektiven i inъektiven.Sledovatelьno, obratny operatorÂ−1 : Y → X/KerApo teoreme Banaha vlets ograniqennym. Pustь kÂ−1 k – norma зtogo operatora.

Poloжim C = kÂ−1 k(1 + ε), gde ε > 0 malo. Pustь y ∈ Y –proizvolьny зlement. Poloжim x̂ = Â−1 y . Togda kx̂k≤kÂ−1 kkyk. Soglasnoopredeleni kx̂k nadets x ∈ x̂ tako, qtokxk≤(1 + ε)kÂ−1 kkyk,t.e. kxk≤Ckyk. (Zdesь sleduet rassmotretь sluqai y = 0 i y 6= 0). PoloжimT y = x. Tako vybor vozmoжen dl lbogo y ∈ Y . ✷Otmetim, qto operator T opredelen ne odnoznaqno (esli A ne inъektiven),i qto C = kÂ−1 k(1 + ε), gde ε > 0 proizvolьno malo.Pustь A : X → Y – lineny operator i AX = Y .

PoloжimR = kÂ−1 k(1 + ε), ε > 0.Soglasno lemmeT (B Y (0, 1)) ⊂ B X (0, R).PoskolьkuAT = IY , gde IY : Y → Y – toжdestvennoe otobraжenie, toB Y (0, 1) ⊂ A(B X (0, R)).Otsda v silu linenosti operatoraB Y (0,Зto oznaqaet, qtoA vytekaet, qto1) ⊂ A(B X (0, 1)).RA nakryvaet s konstanto11=, ε > 0.RkÂ−1 k(1 + ε)38Toqna verhn granь зtih veliqin poε > 0 ravna1.kÂ−1 kTakim obrazom,Anakryvaet s lbo menьxe poloжitelьno konstanto. Dokazanao nakryvanii dl linenogo operatora.

Pustь A : X → Y – srъektivnylineny operator. Togda A nakryvaet s nekotoro konstanto a > 0. ( Aimenno, esli kÂ−1 k – norma operatora, obratnogo k faktor-operatoru  :X/KerA → Y , to v kaqestve a moжno vztь lboe poloжitelьnoe qislo ,1menьxee,qem).−1kÂk3. Teorema o nakryvanii. Pustь U ⊂ X - otkrytoe mnoжestvo v polnommetriqeskom prostranstve (X, d), Q : U → Y – operator, Y – banahovo.Pustь suwestvuet konstanta b > 0 taka, qtokQ(x2 ) − Q(x1 )k≤b · d(x1 , x2 )(2)dl lbyh x1 , x2 ∈ U .

Tako operator Miltin nazval stgivawim na U .Uslovie (2) estь uslovie Lipxica dl Q na U s konstanto b. Takim obrazom,stgivawi operator estь lipxicev operator. Odnako v dalьnexem nampredstoit ispolьzovatь uslovie (2) s malo konstanto b > 0, i v зtom sluqaetermin ”stgivanie” predstavlets umestnym. sno, qto stgivawi na Uoperator nepreryven na U .Sleduwa teorema prinadleжit A.A.Miltinu. Ona vlets odnim izizvestnyh obobweni teoremy Lsternika o kasatelьnom mnogoobrazii.o nakryvanii. Pustь operator P : U → Y nakryvaet na U s konstanto a >0 i nepreryven na U , a operator Q : U → Y – stgivaet na U s konstantob > 0.

Pustь a > b. Togda operator S : U → Y , opredelenny ravenstvomS(x) = P (x) + Q(x) ∀x ∈ U , nakryvaet na U s konstanto a − b.Dalee my budem polagatь S = P + Q.Miltin nazval зtu teoremu teoremo Lsternika, t.k. ee dokazatelьstvoispolьzuet tot жe iteracionny process, qto i dokazatelьstvo originalьnoteoremy Lsternika o kasatelьnom mnogoobrazii. Odnako vo izbeжanie putanicymy budem nazyvatь зtu teoremu ”teoremo o nakryvanii”.Osnovu dokazatelьstva teoremy o nakryvanii sostavlet sleduwa lemma.Pustь B X (x0 , R) ⊂ X – fiksirovanny xar v polnom metriqeskom prostranstveX .

Nakryvanie i stgivanie na B X (x0 , R) opredelim toqno tak жe, kak зtobylo sdelano dl otkrytogo mnoжestva U ⊂ X .o nakryvanii. Pustь operator P : B X (x0 , R)na B X (x0 , R) s konstanto a > 0, a operator Q39→ Y nepreryven i nakryvaet: B X (x0 , R) → Y – stgivaetna B X (x0 , R) s konstanto bvypolneno vklqenie> 0. Pustь a > b. Togda dl operatora S = P +QS(B X (x0 , R)) ⊃ B Y (S(x0 ), (a − b)R).(3)y ∈ B Y (S(x0 ), (a − b)R)(4): Pustь– proizvolьny зlement.

Pokaжem, qto suwestvuet x ∈ B X (x0 , R) tako, qtoS(x) = y . Tem samym (3) budet ustanovleno i lemma budet dokazana. Зlementx my nadem kak predel posledovatelьnostix0 , x1 , ..., xn , ... v X,obladawe prin = 1, 2, ... svostvami:(a) P (xn ) + Q(xn−1 ) = y,(b) d(xn−1 , xn )≤( ab )n−1 (1 − ab )R.Iz (b) vytekaet, qto prim≥0, p≥1d(xm , xm+p )≤d(xm , xm+1 ) + ... + d(xm+p−1 , xm+p )≤b≤a=!m!bb1−R + ... +aa!m=ba!mbR 1−aba!m+p−1!b bR 1−1 + ... +aa!p !b≤a!m!b1−R=a!p−1 R → 0 pri m → ∞.Sledovatelьno xn , fundamentalьna, a znaqit, shodits:iz (5) vytekaet, qto!n !d(x0 , xn )≤R 1 −ba=xn → x. Krome togo,< R ∀n,i sledovatelьno,b(v) xn ∈ B (x0 , 1 −aX40!n !(5)R) ⊂ B X (x0 , R).(6)Perehod k predelu v uslovih (a) i (v) i polьzusь nepreryvnostьpoluqaem:P i Q,P (x) + Q(x) = y, x ∈ B X (x0 , R).Itak, trebuets postroitь posledovatelьnostь, obladawu svostvami(a) i (b), gde x0 – naqalьny qlen posledovatelьnosti.

Pristupim k postroeni.Nadem x1 iz usloviP (x1 ) + Q(x0 ) = y,iliP (x1 ) = y − Q(x0 ),raspoloжenny vozmoжno bliжe kIz (4) vytekaet, qtox0 (polьzusь a-nakryvaniem operatora P ).k(y − Q(x0 )) − P (x0 )k≤(a − b)R.Sledovatelьno,y − Q(x0 ) ∈ B Y (P (x0 ), (a − b)R).No!bP (B X (x0 , 1 −R)) ⊃ B Y (P (x0 ), (a − b)R).aSledovatelьno, nadets!bx1 ∈ B (x0 , 1 −R)aXtako, qtoP (x1 ) = y − Q(x0 ). Pri зtom!bd(x0 , x1 )≤ 1 −R.aTakim obrazom, dl x1 uslovi (a)-(v) vypolneny.Pusь postroeny pervye n qlenov posledovatelьnostix0 , x1 , ..., xn ,udovletvorwie uslovim (a)-(v).Nadem xn+1 kak rexenie uravneniP (xn+1 ) + Q(xn ) = y.41Poskolьku po predpoloжeni indukciiP (xn ) + Q(xn−1 ) = y.to зto uravnenie moжno zapisatь v vide:P (xn+1 ) = P (xn ) + (Q(xn−1 ) − Q(xn )).Poskolьku(7)Q stgivaet s konstanto b, to(b)kQ(xn−1 ) − Q(xn )k≤b d(xn−1 , xn ) ≤(b)≤ b ( ab )n−1 (1 − ab )R = a( ab )n (1 − ab )R.Sledovatelьno,bP (xn ) + Q(xn−1 ) − Q(xn ) ∈ B (P (xn ), aaYRassmotrim xarbBn = B (xn ,aXImeem:!n!n!b= R 1 −a!n !!n+1 Sledovatelьno, v silu a-nakryvani operatora!nb+ RaIndukci zaverxena.