Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 10

Togda dl lbogo linenogo funkcionalaµ ∈ K ∗ suwestvut α≥0 i l ∈ ∂ϕ takie,qto µ = −αl.. Pustь: Esliimeem:µ = 0, to polagaem α = 0, a l ∈ ∂ϕ – lbo. Pustь µ 6= 0. Po uslovi∀x ϕ(x) < 0 =⇒ µ(x)≥0 ∀x.V proizvedenii(17)X × R rassmotrim konusy:Ω0 = {(x, t)| ϕ(x) < t},Ω = {(x, t)| µ(x) < 0, t = 0}.sno, qto oni nepusty, vypukly, a konus Ω0 otkryt.TKrome togo, Ω0 Ω = ∅.Destvitelьno, esli (x̂, 0) – ih obwi зlement, to ϕ(x̂)qto protivoreqit uslovi (12).70< 0 i µ(x̂) < 0,Po teoreme otdelimosti suwestvuet funkcional, otdelwiSledovatelьno, suwestvut l ∈ X ∗ i qislo τ takie,qtoΩ0 ot Ω.µ(x) < 0 =⇒ l(x)≥0 ∀x;(18)ϕ(x) < t =⇒ l(x) + τ t < 0 ∀x, t.(19)Proanaliziruem uslovie (19). Pokaжem, qto τ < 0.

Poloжim x = 0, t = 1.Togda iz (19) vytekaet, qto τ < 0. Ne ograniqiva obwnosti, sqitaem, qtoτ = −1. Togda (19) priobretaet vid:ϕ(x) < t =⇒ l(x) < t ∀x, t,otkuda l(x)≤ϕ(x) ∀x, t.e. l ∈ ∂ϕ.Kak my znaem, iz uslovi (18) sleduet, qtoTeorema dokazana.✷µ = −αl,gde α≥0.Verno i obratnoe: esli l ∈ ∂ϕ i α≥0, to µ = −αl ∈esli x ∈ K , to ϕ(x) < 0 =⇒ −αl(x)≥0 =⇒ −αl ∈ K ∗ .Takim obrazom, imeet mesto.

V uslovih predyduwe teoremynatnuty na mnoжestvo M .K ∗ . Destvitelьno,K ∗ = − con(∂ϕ), gde con M estь konus,4. Teorema o nesovmestnosti sistemy strogih sublinenyh neravenstvi linenogo ravenstva. Pustь X, Y – banahovy.Vaжnu rolь pri analize uslovi stacionarnosti v negladkih zadaqah sograniqenimi igraet sleduwa. Pustь ϕi (x) : X −→ R – sublinenye funkcionaly, i = 0, 1, ..., k , A :X −→ Y – lineny srъektivny operator. Sistema usloviϕi (x) < 0, i = 0, 1, ..., k;Ax = 0,x ∈ X,(20)nesovmestna togda i tolьko togda, kogda suwestvut qisla α0 , α1 , ..., αk ifunkcionaly x∗0 , x∗1 , ..., x∗k iz X ∗ , a takжe funkcional y ∗ ∈ Y ∗ takie, qtoα0 ≥0, α1 ≥0, ... , αk ≥0;kXαi > 0;i=071(21)(22)x∗i ∈ ∂ϕi , i = 0, 1, ..., k;kX(23)αi x∗i + y ∗ A = 0.(24)i=0:a) Neobhodimostь.

Pustь sistema (20) nesovmestna. Pustь, naprimer, konus{x|ϕ1 (x) < 0} pust. Togda ϕ1 (x)≥0 ∀x. Sledovatelьno, 0 ∈ ∂ϕ1 .Poloжim x∗1 = 0, a ostalьnye x∗i vyberem proizvolьno iz ∂ϕ∗i sootvetstvenno.Poloжim α1 = 1, a ostalьnye αi = 0. Poloжim y ∗ = 0. Togda nabor(α0 , ..., αk , x∗0 , ..., x∗k , y ∗) udovletvoret vsem uslovim (21)-(24).Ωi = {x| ϕi (x) < 0}, i = 0, 1, ..., kPoзtomu sqitaem, qto vse konusynepusty. Togda, kak my znaem,Ω∗i = − con ∂ϕi , i = 0, 1, ..., k.(25)PoloжimΩ = {x| Ax = 0}.Togda v silu usloviAX = Y imeem:Ω∗ = A∗ Y ∗(26)(po teoreme ob annultore dra linenogo srъektivnogo operatora).Poskolьku po uslovi(kTi=0Ωi )TΩ = ∅, to po teoreme Dubovickogo-Miltina o nepereseqenii konusov suwestvut li ∈kPl ∈ Ω∗ , ne vse ravnye nul, takie, qtoli + l = 0.Ω∗i , i = 0, 1, ..., ki=0−αi x∗i , αi ≥0, x∗ili =∈ ∂ϕi , i = 0, 1, ..., k ; soglasno (26),∗l = −y A, y ∈ Y (znak ”-” udoben).Soglasno (25),∗Esli∗αi = 0 ∀i, to vse li i l ravny nul, qto protivoreqit uslovinetrivialьnosti naborahodimostь dokazana.l0 , l1 , ..., lk , l.

Sledovatelьno72kPi=0αi > 0. Neob-b) Dostatoqnostь. Pustь sistema (20) sovmestna ine menee suwestvutx̂ – ee rexenie, no temα0 , ..., αk , x∗0 , ..., x∗k , y ∗,udovletvorwie uslovim (21)-(24). Togdahx∗i , x̂i≤ϕi (x̂) < 0 ∀i;PoskolьkukPi=0Ax̂ = 0.αi > 0, to otsda poluqaemkXi=0αi hx∗i , x̂i + hy ∗, Ax̂i < 0,qto protivoreqit (24).Teorema dokazana.✷5.

Negladka zadaqa s ograniqenimi ravenstva i neravenstva. Usloviestacionarnosti. Vernems k zadaqe Z1 :(∗)f0 (x) −→ min; fi (x)≤0, i = 1, ..., k; g(x) = 0, x ∈ U.My izmenim sdelannye ranee predpoloжeni v зto zadaqe, predpoloжivsleduwee. Pustь x0 – dopustima toqka.

Predpolagaets:(a) Vse funkcionaly fiotkrytom mnoжestve: U −→ R udovletvort uslovi Lipxica naU ⊂ X (X – banahovo); i = 0, ..., k ;(b) Kaжdy funkcianal fi obladaet v toqke x0 proizvodno fi′ (x0 , x̄) polbomu napravleni x̄, priqem x̄ ∈ X 7−→ fi′ (x0 , x̄) – ograniqennysublineny funkcional na vsem prostranstve X , i = 0, ..., k .(c) Operator g : U −→Frexe v toqke x0 .(d) ObrazY (Y – banahovo) nepreryvno differenciruem pog ′ (x0 )X zamknut v Y .73Po vsem punktam proizoxlo usilenie sdelannyh ranee predpoloжeni, kromeposlednego: ranee my prosto predpolagali, qto g ′ (x0 )X = Y .Zadaqu (*) s novymi predpoloжenimi budem nazyvatь zadaqe ZA . Onavlets abstraktnym analogom zadaqi optimalьnogo upravleni (zadaqi A),kotoru my rassmotrim niжe.. Pustь x0 – toqka lokalьnogo minimuma v zadaqe ZA .

Togda suwestvuetnabor mnoжitele Lagranжa α0 , ..., αk , x∗0 , ..., x∗k , y ∗ (gde αi – qisla, x∗i ∈ X ∗i y ∗ ∈ Y ∗ – funkcionaly) tako, qto vypolneny uslovi:(i) neotricatelьnosti:(ii) netrivialьnosti:αi ≥0, i = 0, ..., k ;kPi=0αi + ky ∗ k > 0;(iii) dopolnwe neжestkosti:(iv) prinadleжnosti:˙ i = 1, ..., k ;x∗i ∈ ∂fi′ (x0 , ),(v) uravnenie Зlera:kPi=0:αi fi (x0 ) = 0, i = 1, ..., k ;αi x∗i + y ∗ ◦ g ′(x0 ) = 0.(a) Pustь g ′ (x0 )X 6= Y (vyroжdenny sluqa). Poskolьku obraz g ′ (x0 )Xzamknut v Y , to po lemme o netrivialьnosti annultora nadets y ∗ ∈Y ∗ , y ∗ 6= 0 tako, qto y ∗ g ′(x0 ) = 0. Poloжim v зtom sluqae αi = 0 ∀i,a x∗i ∈ ∂fi′ (x0 , ·) vyberem proizvolьno.(b) Pustь g ′ (x0 )X = Y .

Primenem teoremu o nesovmestnosti approksimaciv zadaqe Z1 , soglasno kotoro sistema[fi′ (x0 , x̄) < 0, i ∈ I¯{0} = I;g ′(x0 )x̄ = 0nesovmestna po x̄. Dalee primenem teoremu o nesovmestnosti sistemysublinenyh neravenstv i linenogo ravenstva. Dl i ∈/ I¯ polagaemαi = 0, a x∗i ∈ ∂fi′ (x0 , ·) vyberaem proizvolьno.✷Zdesь i dalee ∂fi′ (x0 , ·) – mnoжestvo opornyh (subdifferencial) k sublinenomufunkcionalu x̄ ∈ X 7−→ fi′ (x0 , x̄).Poluqennu teoremu my primenim dl issledovani zadaqi optimalьnogoupravleni.74Lekci 9.Zadaqa optimalьnogo upravleni. Lokalьny princip maksimuma – neobhodimoe uslovie slabogo minimuma (uravnenie Зlera – Lagranжa).1. Postanovka kanoniqesko zadaqi optimalьnogo upravleni – zadaqiA.

Pustь ∆ = [t0 , t1 ] – fiksirovanny otrezok vremeni. Qerez x(t) my oboznaqaem funkci x(·) : ∆ −→ Rn , kotoru nazyvaem fazovo peremenno, ilifazo, a qerez u(·) : ∆ −→ Rm – funkci, kotoru nazyvaem upravleniem. Sfunkcie x(·) my svzyvaem znaqenix0 = x(t0 ),x1 = x(t1 ),(1)prinadleжawie Rn , i parup = (x0 , x1 ) ∈ R2n .Pustь(2)P ⊂ R2n – otkrytoe mnoжestvo, na kotorom zadany skalrnye funkciiæi (p) : P −→ R1 ,i = 0, 1, ..., k,i vektorna funkciK(p) : P −→ Rs .Vse funkcii æi i K predpolagats nepreryvno differenciruemymi na P .Dalee, pustь Q ⊂ R2n+1 – otkrytoe mnoжestvo, na kotorom zadany vektornafunkcif (t, x, u) : Q −→ Rni skalrna funkciϕ(t, x, u) : Q −→ R1 .75Predpolagaets, qtof i ϕ nepreryvny na Q vmeste so svoimi proizvodnymifx ,fu ,ϕx ,ϕupo x i u. Krome togo, dl skalrno funkcii ϕ my sdelaem sleduwee vaжnoepredpoloжenie o nevyroжdennosti ee gradienta po u:ϕ′u (t, x, u) 6= 0(3)dl vseh toqek (t, x, u) ∈ Q takih, qto ϕ(t, x, u) = 0.Rassmotrim sleduwu zadaqu optimalьnogo upravleni, kotoru budemnazyvatь kanoniqesko zadaqe A:J (x, u) = æ0 (x0 , x1 ) −→ min;æi (x0 , x1 ) ≤ 0,i = 1, ..., k;K(x0 , x1 ) = 0;(gde po opredeleni(4)(5)(6)x0 = x(t0 ), x1 = x(t1 ));ẋ = f (t, x, u),(7)ϕ(t, x, u) ≤ 0,(8)(x0 , x1 ) ∈ P,(t, x, u) ∈ Q(9)Trebuets nati fazovu peremennu x = x(t) i upravlenie u = u(t) naotrezke ∆ = [t0 , t1 ] tak, qtoby funkcional (4) poluqil minimalьnoe znaqeniei byli vypolneny vse ograniqeni (5)-(9).Paru funkci x(·), u(·) budem oboznaqatь w(·).

Takim obrazomw = w(t) : ∆ −→ Rn+m .Sootvetstvenno, dl pary koneqnomernyh vektorov x ∈ Rn , u ∈ Rm myispolьzuem oboznaqenie w = (x, u) ∈ Rn+m .Po pare funkci w(t) = (x(t), u(t)) znaqenie funkcionala J opredeletstak:J (w(·)) = æ0 (x(t0 ), x(t1 )).Analogiqno ponimats ograniqeni (5), (6). Dalee, upravlenie (7) nazyvaets differencialьno svzь i podrobnee zapisyvaets tak:ẋ(t) = f (t, x(t), u(t))76(7′ )pri kaжdom t.Uslovie (8) nazyvat potoqeqnym (ili lokalьnym) ograniqeniem tipa neravenstva i podrobnee zapisyvat tak:ϕ(t, x(t), u(t)) ≤ 0(8′ )pri kaжlom t.Otkrytye mnoжestva P i Q – зto oblasti opredeleni funkci zadaqi.Uslovi (9) podrobnee zapisyvat tak:(x(t0 ), x(t1 )) ∈ P(9′ )(t, x(t), u(t)) ∈ Q(9′′ )pri kaжdom t.Otmetim srazu, qto my budem rassmatrivatь lixь te traektorii (t, w(t)) =(t, x(t), u(t)), kotorye nahodts vnutri Q na poloжitelьnom rasstonii ot egogranicy.Poskolьku funkci w(t) my budem predpolagatь ograniqenno, to зto oznaqaet, qto suwestvuet kompakt C ∈ Q tako, qto(t, x(t), u(t)) ∈ C(10)pri kaжdom t.

(Kompakt C zavisit ot w(·))Funkcional (4) i ograniqeni (5) i (6) nazyvat koncevymi (ili terminalьnymi).Vmeste uslovi (4)-(6) (s usloviem (x0 , x1 ) ∈ P ) obrazut koncevo (iliterminalьny blok zadaqi. Potoqeqnye uslovi (7)-(9) (bez uslovi (x0 , x1 ) ∈P ) opredelt upravlemu sistemu (inogda k ne otnost lixь differencialьnu svzь (7)).. Esli zadano upravlenie u(t) i naqalьnoe usloviex0 = x(t0 ), to differencialьna svzь ẋ = f (t, x(t), u(t)) v principe pozvoletnati fazu x(t).

Faktiqeski zadaqa svodits k vyboru ”nailuqxego” upravleniu(·) vmeste s naqalьnym znaqeniem x0 . Poзtomu zadaqu nazyvat zadaqe optimalьnogoupravleni. Takie zadaqi qasto voznikat v mehanike, tehnike, estsestvoznanii.Podrobnee s ih postanovkami my poznakomims na seminarah (sm. takжe ATF).Teperь opredelim prostranstvo, v kotorom my rassmatrivaem kanoniqeskuzadaqu A. Predpolagaets, qto x(t) : ∆ −→ Rn – зlement prostranstva77W11 (∆; Rn ) absoltno nepreryvnyh funkci na otrezke ∆ so znaqenimi vRn , a u(t) : ∆ −→ Rm – зlement prostranstva L∞ (∆; Rm ) ograniqennyhizmerimyh funkci na otrezke ∆ so znaqenimi v Rm .