Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 2

Sootvetstvenno budem polagatь δu(t) =δ ẋ(t), t ∈ [t0 , t1 ]. Variaci budem nazyvatь dopustimo (v toqke x◦ (·), eslitoqka x◦ (·) + δx(·) vlets dopustimo. Pri poluqenii uslovi slabogo minimuma my budem ispolьzovatь variacii δx(·) s malo normo v prostranstveC 1 ([t0 , t1 ]; Rn ). Dopustima variaci dolжna udovletvortь uslovimδx(t0 ) = δx(t1 ) = 08(6)Esli norma kδxkC 1 mala, to uslovie (t, x◦ (t) + δx(t), u◦ (t) + δu(t)) ∈ Q vypolneno avtomatiqeski.Oboznaqim qerez C01 podprostranstvo funkci δx(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ]; R), udovletvorwihuslovim (6) Slaby minimum oznaqaet, qto J(x◦ + δx) − J(x◦ )≥0 dl vsehdostatoqno malyh po norme C 1 variaci δx ∈ C01 .4. Perva variaci funkcionala Dl kratkosti budem polagatь (x, u) =w .

Pustь u◦ = ẋ◦ , gde x◦ dopustima traektori (seqas nam vaжno lixь, qto(t, x◦ (t), u◦ (t)) ∈ Q). Pustь δx(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ], R) - mala variaci, poloжimδu = δ ẋ, δw = (δx, δu). Soglasno teoreme o srednem suwestvuet funkciθ(t), 0≤θ(t)≤1 taka, qtoδF = F (t, w ◦(t) + δw(t)) − F (t, w ◦(t)) = hFw′ (t, w ◦ (t) + θ(t)δw(t)), δw(t)i(predpolagaets, qto pri kaжdom t otrezok s koncami (t, w ◦ (t)) i (t, w ◦ (t) +θ(t)δw(t)) leжit v Q, qto obespeqivaets malostь variacii δx). Sledovatelьno,◦◦J(x + δx) − J(x ) =Zt1t0hFw′ (t, w ◦(t)), δw(t)idt + r(δx),(7)gder(δx) =Zt1t0Fwθh(Fwθ − Fw◦ ), δwi dt.= Fw′ (t, w ◦ (t) + θ(t)δw(t)), Fw0qto kFwθ − Fw0 kC → 0 pri kδwkCZdesьsno,δu = δ ẋ i kδxkC 1 → 0.Poskolьku |r(δx)|≤kFwθ= Fw′ (t, w ◦(t)).→ 0. Poslednee imeet mesto, esli− Fw◦ kC kδwkC (t1 − t0 ) i kδwkC ≤2kδxkC 1 to|r(δx)| = o(kδxk)(8)Uslovi (7) i (8) vmeste oznaqat, qto vyraжenieZt1t0hFw′ (t, w ◦ (t)), δw(t)idt=Zt1(Fx′ (t, x◦ (t), ẋ◦ (t))δx(t)+Fẋ′ (t, x◦ (t), ẋ◦ (t))δ ẋ(t))dtt0estь proizvodna Frexe funkcionala J(x) v toqke x◦ (·) (v prostranstve C 1 ).Зto vyraжenie nazyvat pervo variacie funkcionala J(x) v toqke x◦ (·).9Pervu variaci qasto oboznaqat δJ .

My budem oboznaqatь e J ′ (x◦ ; δx), aδJ sohranim dl oboznaqeni polnogo priraweni funkcionala: δJ = J(x◦ +δx) − J(x◦ ).(neobhodimoe uslovie slabogo minimuma). Esli x◦ (·) - toqka slabogo minimuma v prostexe zadaqe, to perva variaci funkcionala v зto toqke ravnanul na lbo variacii iz C01 .: Pustьx̄(·) ∈ C01 . Poloжim δx = εx̄.

Pri vseh dostatoqno malyh ε imeem:◦◦0≤J(x + εx̄) − J(x ) =gde w̄ = (x̄, ū), ūotsda poluqaemZt1t0hFw0 , εw̄idt + o(ε),= x̄˙ (sm (7) i (8)). Poskolьku ε - proizvolьnogo znaka, toZt1t0ilihFw0 , w̄i dt = 0,Zt1(Fx0 x̄ + Fẋ◦ x̄˙ ) dt = 0(9),t0gdex̄(·) ∈ C01 - proizvolьny зlement. ✷5. Uravnenie Зlera. Itak, ravenstvo nul pervo variacii na podprostranstve C01 estь neobhodimoe uslovie slabogo minimuma. Teperь nampredstoit ego proanalizirovatь i vyvesti iz nego znamenitoe ”uravnenie Зlera”- vaжnexee neobhodimoe uslovie v variacionnom isqislenii.Snaqala my podm po bolee lgkomu, no ne vpolne ”zakonnomu” puti, sostowemv integrirovanii po qastm qlenaZt1t0Fẋ◦ x̄˙ dt=Fẋ◦ x̄|tt10−Zt1t0Zt1dd( Fẋ◦ )x̄ dt = − ( Fẋ◦ )x̄ dt.dtdtt0Vtoroe ravenstvo imeet mesto v silu uslovi x̄(t0 ) = x̄(t1 ) = 0.

Pervoe imeetmesto, esli predpoloжitь, qto Fẋ◦ = Fu (t, x◦ (t), ẋ◦ (t)) differenciruema po t(okazyvaets, qto зto predpoloжenie predpoloжeniem ne vlets, a vletsqastь neobhodimogo uslovi, no dl dokazatelьstva зtogo nuжen drugo putь,10kotory my prodelaem qutь pozжe). Takim obrazom, perva variaci preobrazovalasь k viduZt1Zt1Fw◦ w̄ dt =t0t0(Fx◦ −d ◦F )x̄ dt.dt ẋ(10)Sledovatelьno,Zt1t0(Fx◦ −d ◦F )x̄ dt = 0 ∀x̄(·) ∈ C01 .dt ẋ(11)Fẋ◦Sqitaem, qtonepreryvno differenciruema po t i, sledovatelьno funkcid◦◦Fx − dt Fẋ nepreryvna po t. Togda iz (11) legko sleduet, qtoFx◦ −dFẋ = 0dt(12)(sformulirute i dokaжite samostotelьno lemmu, kotora zdesь nuжna; onanazyvaets lemmo Lagranжa; poluqite s e pomowь uravnenie Зlera). Uravnenie (12) i estь uravnenie Зlera.

Podrobnee, ono imeet vid:dFẋ (t, x(t)ẋ(t)) = Fx (t, x(t), ẋ(t))dt(13)(my zamenili x◦ (t) na x(t)). Зto – uravnenie vtorogo pordka, dl kotorogoimeets ew dva graniqnyh uslovi :x(t0 ) = a, x(t1 ) = b.(14)Itak, my primenili integrirovanie po qastm vtorogo qlena v vyraжenii dlpervo variacii i preobrazovali pervu variaci po Lagranжu k vidu (10).Teperь my primenim drugo putь, integriru po qastm pervy qlen :Zt1Fx◦ x̄ dtt0=Zt1t0d(dtZtFx◦ [τ ])dτ x̄(t)dtt0t0hFw◦ , w̄idt=Zt1(−t0=− (Fx◦ [τ ]dτ )x̄˙ (t) dtt0 t0(ravenstvo optь ispolьzuet usloviFx′ (τ, x◦ (τ ), ẋ◦ (τ )).

Takim obrazom,Zt1Zt1 ZtZtx̄(t0 ) = x̄(t1 ) = 0). Zdesь Fx◦ [τ ] =Fx◦ [t]dτ + Fẋ◦ [τ ])ū(t) dt, gde ū = x̄˙ .t011Зto - preobrazovanie pervo variacii po Dbua - Remonu. Okonqatelьno, mypoluqaem :Zt1Zt(−t0t0Fx◦ dτ + Fẋ◦ )ū(t) dt = 0 ∀ū(t) ∈ C0gdeC0 = {ū(t) ∈ C([t0 , t1 ], R) |Zt1ū(t) dt = 0}t0– podprostranstvo v C([t0 , t1 ], R).Rt1Zdesь uslovie ū(t) dt = 0 vytekaet iz uslovit0(15)x̄˙ = ū, x̄(t0 ) = x̄(t1 ) = 0.Dl zaverxeni vyvoda uravneni Зlera nam ponadobits sleduwa(Dbua - Remon). Pustьlbof (t) - nepreryvna funkci na [t0 , t1 ]. Pustь dlū(·) ∈ C[t0 , t1 ] iz uslovi0. Togda f (t) = const.Rt1u(t) dt = 0 sleduet usloviet0Rt1f (t)ū(t) dt =t0Abstraktnym analogom lemmy Dbua-Remona vlets sleduwa(o zavisimosti dvuh linenyh funkcionalov).

Pustь X - linenoe prostranstvo,l : X → R i m : X → R - dva linenyh funkcionala. Esli m(x) = 0 dlvseh x ∈ X takih, qto l(x) = 0, to suwestvuet λ ∈ R takoe, qto m = λl.: Esli l = 0, to i m = 0 i togda λ - lboe. Pustь l 6= 0 i pustь x1 takov,qto l(x1 ) = 1. Dl proizvolьnogo x ∈ X poloжim x0 = x − l(x)x1 . Togdal(x0 ) = 0 i, sledovatelьno m(x0 ) = 0, otkuda m(x) = l(x)m(x1 ). Takimobrazom, λ = m(x1 ). ✷Lemma Dbua-Remona oqevidnym obrazom vytekaet iz зto lemmy.12Lekci 2.Zaverxim teperь vyvod uravneni Зlera. Vernems k uslovi (15). V silulemmy Dbua-Remona iz зtogo uslovi vytekaet, qto−ZtFx0 dτ + Fẋ0 = const.(16)t0Fx0 = Fx (t, x0 (t), ẋ0 (t)) nepreryvna po t. Sledovatelьno, funkciFẋ0 = Fẋ (t, x0 (t), ẋ0 (t)) nepreryvno differenciruema po t (!).

Zametim, qtoFunkciзtot fakt my poluqili, analiziru ravenstvo nul pervo variacii, t.e. kaksledstvie iz neobhodimogo uslovi slabogo minimuma (hot ẋ0 vsego lixьnepreryvna, i, sledovatelьno, Fẋ0 a priori takжe vsego lixь nepreryvna).Differenciru uslovie (16) po t my prihodim k uravneni Зlera. Temsamym vyvod uravneni Зlera zaverxen.6. Prostranstva funkci.

My proveli vse rassmotreni v prostranstvenepreryvno differenciruemyh funkci. Odnako imets zadaqi, v kotoryhrexenie realizuets na ”lomanyh зkstremalh”, t.e. na funkcih s kusoqnonepreryvno proizvodno.V variacionnom isqislenii rassmatrivat prostexu zadaqu v klasseKC 1 kusoqno gladkih funkci (s kusoqno nepreryvno proizvodno u = ẋ) ipoluqat uslovi minimuma, v tom qisle i uravnenie Зlera, v зtom, boleexirokom klasse.Odnako moжno poti dalьxe, rassmatriva zadaqu v klasse absoltno nepreryvnyh funkci x(·).Napomnim, qto absoltno nepreryvnye funkcii poqti vsdu (p.v.) imetproizvodnu i harakterizuts tem svostvom, qto oni ravny integralu ot13svoe proizvodno:x(t) = x(t0 ) +Ztẋ(τ )dτ.t0Ih proizvodna u = ẋ vlets proizvolьno funkcie iz L1 , t.e.

izmerimo i summiruemo s pervo stepenь. Mnoжestvo vseh absoltno nepreryvnyh funkci x(t) : [t0 , t1 ] → R oboznaqaets W11 [t0 , t1 ] (perva proizvodnasummiruema s pervo stepenь).Зtot klass funkci x(t) printo rassmatrivatь v optimalьnom upravlenii,i v зtom жe klasse okazyvaets udobno rassmatrivatь zadaqi variacionnogoisqisleni i poluqatь sootvetstvuwie uslovi minimuma. Napomnim, qtokxkW11 = |x(t0 )| + kẋkL1(gdekukL1 =Rt1t0(17)|u(t)|dt estь norma v prostranstve funkci, summiruemyh spervo stepenь). Prostranstvo W11 , snabжennoe normo (17), vlets banahovym.Vse жe nam pridets neskolьko suzitь klass absoltno nepreryvnyh funkci.Delo v tom, qto po nekotorym soobraжenim sleduet ograniqitь proizvodnuu = ẋ.

My budem sqitatь, qto u = ẋ vlets proizvolьno funkcie izklassa L∞ [t0 , t1 ] ograniqennyh izmerimyh funkci u(t) : [t0 , t1 ] → R.Norma v зtom prostranstve opredelets kakkukL∞ = vraimax |u(t)|.t∈[t0 ,t1 ]Napomnim, qto takoe vraimax (suwestvenny maksimum, ilimo funkcii ϕ(t) : [t0 , t1 ] → R. On opredelets tak:(18)ess sup) izmeri-vraimax ϕ(t) = inf sup ϕ(t),M t∈M[t0 ,t1 ]gde infimum berets po vsem izmerimym mnoжestvam M polno mery Lebegav [t0 , t1 ], t.e. takim, qto mes M = t1 − t0 .

Prostranstvo L∞ s normo(18) vlets banahovym. Mnoжestvo absoltno nepreryvnyh funkci x(t) ssuwestvenno ograniqenno proizvodno, t.e. udovletvorwih uslovi ẋ(·) =1u(·) ∈ L∞ , oboznaqaets W∞[t0 , t1 ]. Зto - prostranstvo s normo1 = |x(t0 )| + kẋkL .kxkW∞∞141Prostranstvo W∞, snabжennoe зto normo, takжe vlets banahovym.Vska funkci x(t) iz зtogo prostranstva udovletvoret uslovi Lipxica na[t0 , t1 ] i naoborot, vska funkci, udovletvorwa uslovi Lipxica, estь1зlement prostranstva W∞(t.e. ona absoltno nepreryvna i ee proizvodna,opredelenna p.v., vlets ograniqenno izmerimo funkcie). Takim obra1zom, W∞estь klass vseh lipxicevyh funkci.1Rassmatriva zadaqu dl x(·) ∈ W∞sleduet opredelitь slaby minimum1kak lokalьny minimum v prostranstve W∞.

Uravnenie Зlera estь neobhodimoe uslovie slabogo minimuma v зtom klasse. Dokazatelьstva praktiqeski nements (poprobute ih provesti). Pri зtom ustanavlivaets, qto funkciψ(t) = Fẋ (t, x◦ (t), ẋ◦ (t))absoltnonepreryvnai,sledovatelьno,lipxiceva(ibo0ψ̇(t) = Fx (t, x (t), ẋ (t)) prinadleжit L∞ ).