Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 12

Ustanovim protivopoloжnoe vklqenie. Pustь λ ∈ ∂Ψ0 .Зto oznaqaet, qto dl proizvolьnogo v ∈ L∞ spravedlivo neravenstvoλ(v)≤Ψ0 (v).No iz opredeleniΨ0 i Ψδ sleduet neravenstvoΨ0 (v)≤Ψδ (v) (δ > 0).Takim obrazom, pri lbomδ>0λ(v)≤Ψδ (v) ∀v.Sledovatelьno,λ ∈ ∂Ψδotkudaλ∈∀δ > 0,\∂Ψδ .δ>0Takim obrazom, my pokazali, qto∂Ψ0 ⊂\∂Ψδ .δ>0Znaqit, imeet mesto ravenstvo зtih dvuh mnoжestv.✷TQto sobo predstavlet mnoжestvo∂Ψδ .? Ono sostoit iz funkcionalovδ>0λ ∈ L∗∞ , udovletvorwih sleduwim trem uslovim:(i)(ii)(iii)λ(vχMδ ) = λ(v) dl lbo v ∈ L∞ i dl lbogo δ > 0;λ≥0, t.e. λ(v)≥0 ∀v≥0;λ(I) = 1, gde I = I(t) ≡ 1 na ∆.Зta harakteristika mnoжestvaTδ>0∂Ψδ vytekaet iz poluqennyh vyxe harakteristikmnoжestv ∂Ψδ pri δ > 0.Otsda i iz posledne lemmy (sm.

(19)) vytekaet86: Mnoжestvo ∂Ψ0 estь mnoжestvo vseh funkcionalovλ ∈ L∗∞ , udovletvorwih uslovim (i),(ii),(iii).. Uslovie (i) oznaqaet, qto λ sosredotoqen na kaжdom iz mnoжestv Mδ (δ > 0).TZametim, qto зto vovse ne oznaqaet, qto λ sosredotoqen naMδ (!).δ>0TNaprimer, M =Mδ moжet imetь nulevu meru, i togda funkcionalδ>0L∗∞ ,λ̃ ∈sosredotoqenny na M ( t.e. tako, qto λ̃(vχM ) = λ̃(v) ∀v ), estьprosto nulevo funkcional ( ibo vχM = 0 p.v.). V to жe vrem, funkcionalλ, udovletvorwi uslovi (iii), nulevym ne vlets.Funkcionaly λ ∈ L∗∞ , sosredotoqennye na ubyvawe sisteme mnoжestv{Mδ } izmerimyh, imewih poloжitelьnu meru i takih, qto ih pereseqenieimeet nenulevu meru, nost nazvanie singulrnyh. Estь zameqatelьna teoremaIosidy-Hьitta, utverжdawa, qto vski funkcional λ ∈ L∗∞ moжet bytьpredstavlen v vide summyλ = λa + λs ,gde λs ∈ L∗∞ – singulrny, at.e.

tako, qtoλa ∈ L∗∞ – absoltno nepreryvny funkcional,λa (v) =Zf (t)v(t)dt,∆gdef (·) ∈ L1 – funkci, opredelwa зtot funkcional.Teorema Iosidy-Hьitta igraet vaжnu rolь v optimalьnom upravlenii( pri issledovanii zadaq so smexannymi ograniqenimi na x i u obwegoharaktera). No v зtom kurse ona ne ponadobits.: Qemu ravna norma neotricatelьnogo funkcionala λuslovi: λ(I) = 1?∈ L∗∞ , udovletvorwegoNakonec, obratims k funkcionaluΦ(w̄) = lim vraimax(ϕ0w w̄) = Ψ0 (ϕ0w w̄),δ→0Mδopredelennomu v prostranstve W .Vvedem lineny operatorA : W −→ L∞ (∆, R),perevodwiw̄ ∈ W v зlement v̄ = ϕ0w w̄ ∈ L∞ .87TogdaΦ(w̄) = Ψ0 (Aw̄).Soglasno poluqenno ranee formule imeem:∂Φ = A∗ ∂Ψ0 .Otsda i iz posledne teoremy, harakterizuwe: Pustь∂Ψ0 , vytekaet sleduwaF (w 0 ) = vraimax ϕ(t, w 0 (t)) = 0, i, sledovatelьno, mnoжestva∆Mδ = {t | ϕ(t, w 0(t)) > −δ}imet poloжitelьnu meru pri lbomTogda funkcionalδ > 0.Φ(w̄) = lim vraimax ϕ0w w̄δ→+0(predstavlwi sobo proizvodnuMδF ′ (w 0 ; w̄) funkcionalaF (w) = vraimax ϕ(t, w(t))v toqke w 0 po napravleni w̄ ∈ W ) imeet subdifferencial ∂Φ, sostowi izvseh funkcionalov l ∈ W ∗ , imewih predstavlenie l(w̄) = λ(ϕ0w w̄), gde λ ∈L∗∞ (∆; R) – funkcional iz ∂Ψ0 , t.e.

funkcional, harakterizuemy svostvami(i),(ii),(iii).Otmetim, qto funkcionalF (w) = vraimax ϕ(t, w(t))∆udovletvoret uslovi Lipxica po w v okrestnosti toqki w 0 . Destvitelьno,funkci ϕ(t, w) nepreryvna i obladaet nepreryvno proizvodno po w na Q.Sledovatelьno, ϕ(t, w) udovletvoret uslovi Lipxica po w na kaжdom ograniqennom mnoжestve v Q. Funkcional v ∈ L∞ 7→ vraimax v(t) vlets ograniqen∆nym sublinenym i, sledovatelьno, lipxicevym vo vsem prostranstve L∞ (skonstanto 1).

Sledovatelьno, dl lbogo ograniqennogo mnoжestva M ⊂ Qimeem:|F (w1 ) − F (w2)| ≤ kϕ(t, w1) − ϕ(t, w2 )kL∞ ≤ Lkw1 − w2 kL∞ ,88gde w1 i w2 takovy, qto (t, wi (t)) ∈ M p.v. na ∆,Lipxica funkcii ϕ na M .Itak, na lbo ograniqenno okrestnosti toqkii = 1, 2, a L – konstantaw 0 v U imeet mesto ocenka|F (w1 ) − F (w2)| ≤ Lkw1 − w2 kL∞ .Poskolьku kwkL∞ ocenivaets sverhu normo kwk v W , to зto oznaqaet lipxicevostь F na ograniqenno okrestnosti toqki w 0 v U .

Suziv, esli nado, U doзto okrestnosti, my moжem sqitatь, qto F udovletvoret uslovi Lipxicana U . ( Interesusь uslovimi lokalьnogo minimuma v toqke w 0 , my moжemsqitatь, qto Q – ograniqeno).5. Svostva funkcionalovFi i operatora G Dalee, funkcionalyFi = æi (x(t0 ), x(t1 ))nepreryvno differenciruemy po Frexe v toqkeзto toqke estь lineny funkcionalw 0; ih proizvodna Frexe vFi′ (w 0 ) : w̄ ∈ W 7→ hæ′i (p0 ), p̄i,p0 = (x0 (t0 ), x0 (t1 )) (dokaжite).To жe verno i dl koneqnomernogo operatora w(·) 7→ K(x(t0 ), x(t1 )).

Egoproizvodna Frexe v toqke w 0 estь lineny operatorgdep̄ = (x̄(t0 ), x̄(t1 )),w̄(·) ∈ W 7→ K ′ (p0 )p̄ ∈ Rs ,gdep̄ = (x̄(t0 ), x̄(t1 )). Nakonec, beskoneqnomerny operatorw(·) = (x(·), u(·)) 7→ (ẋ(·) − f (·, w(·))) ∈ L1 (∆, Rn )takжe nepreryvno differenciruem po Frexe v toqke w 0 , ego proizvodna Frexev зto toqke estь lineny operatorw̄(·) ∈ W 7→ x̄˙ (·) − fw′ (·, w 0(·))w̄(·) ∈ L1 (∆, Rn ).Pokaжem зto.OboznaqimG1 (w(·)) = ẋ(·) − f (t, w(·));89G1 : U −→ L1 (∆, Rn ).Poskolьkuẋ0 = f (t, w 0 ), to G1 (w 0 ) = 0, i togdaG1 (w 0 + δw) − G1 (w 0 ) = G1 (w 0 + δw) = ẋ0 + δ ẋ − f (t, w 0 + δw) == δ ẋ − (f (t, w 0 + δw) − f (t, w 0)) = δ ẋ − fw′ (t, w 0 )δw + rf δw,gde krf kL∞ −→ 0 pri kδwk −→ 0 (po teoreme o srednem, primenemo pokomponentno).Sledovatelьno, lineny operatorG′1 (w0 )δw = δ ẋ − fw′ (t, w 0)δw,otobraжawi W v L1 (∆, Rn ), estь proizvodna Frexe operatora G1 v toqkew 0 .

Nepreryvnostь proizvodno Frexe operatora G1 v toqke w 0 vytekaet iznepreryvnosti proizvodno fw′ (t, w) na Q. ✷Sledovatelьno, operator G takжe nepreryvno differenciruem po Frexev toqke w 0 , i ego proizvodna Frexe v зto toqke estь lineny operator,perevodwi w̄ = (x̄, ū) ∈ W v paru(x̄˙ (t) − fw′ (t, w 0 (t))w̄(t);Kp′ (p0 )p̄),prinadleжawu poizvedeni prostranstvdefL1 (∆; Rn ) × Rs = Y.Oboznaqim зtu proizvodnu Frexe qerez G′ (w 0 ). Pokaжem, qto operatorG′ (w 0 ) imeet zamknuty obraz. S зto celь dokaжem sleduwee predloжenie:: PustьA(t)– matrica n × n,B(t)– matrica m × m,s ograniqennymi izmerimymi koзfficientami naTogda lineny operator∆.w̄ = (x̄, ū) ∈ W 7→ x̄˙ − Ax̄ − B ū ∈ L1 (∆, Rn )otbraжaet: Pustь(20)W na L1 (∆, Rn ).f¯(·) ∈ L1 (∆, Rn ).

Rassmotrim zadaqu Koxi dl lineno sistemyx̄˙ = Ax̄ + f¯,90x̄(t0 ) = 0,x̄(·) – ee rexenie. Togda x̄(·) ∈ W11 (∆, Rn ). Poloжim ū(·) = 0. Togdaw̄ = (x̄, ū) = (x̄, 0) ∈ W , i obraz зtogo зlementa pri otobraжenii operatorom(20) estь f¯. Sledovatelьno, operator (20) srъektiven.✷i pustь: Pustь A(t) i B(t) – te жe, qto i v poslednem predloжenii,s × 2n (postonna). Togda lineny operatork – matricaw̄ = (x̄, ū) ∈ W 7→ (x̄˙ − Ax̄ − B ū; k p̄) ∈ L1 (∆; Rn ) × Rs ,gdep̄ = (x̄(t0 ), x̄(t1 )) ∈ R2n , imeet zamknuty obraz.: Destvitelьno, operator (20) srъektiven, a operator w̄ 7→ k p̄ koneqnomeren.Togda, soglasno sledstvi iz ”lemmy o zamknutosti obraza”, operatorw̄ 7→ (x̄˙ − Ax̄ − B ū; k p̄)imeet zamknuty obraz.✷: OperatorG′ (w 0 ) imeet zamknuty obraz.Itak, dl zadaqi optimalьnogo upravleni A vse predpoloжeni, kotoryemy sdelali v abstraktno zadaqe ZA v okrestnosti toqki w 0 , okazalisь vypolneny (my predpoloжili takжe, qto F (w 0 ) = 0).Teperь my moжem vospolьzovatьs pravilom mnoжitele Lagranжa, kotoroemy poluqili v zadaqe ZA .Preжde, qem зto sdelatь, vysnim, qto sobo predstavlet funkcional y ∗ ∈∗Y , gde Y = L1 (∆, Rn ) × Rs – prostranstvo, v kotoroe destvuet operatorG′ (w 0).Lineny funkcional l nad prostranstvom L1 (∆, Rn ) imeet predstavlenie:Zl(f¯) =ψ(t)f¯(t)dt,∆gdeψ(·) ∈ L∞ (∆, Rn ) – nekotora funkci.

Зto oznaqaet, qtoL1 (∆, Rn )∗ = L∞ (∆, Rn ).Dalee, (Rs )∗= Rs . Sledovatelьno,Y ∗ = (L1 (∆, Rn ) × Rs )∗ = L∞ (∆, Rn ) × Rs .Зlementyy ∗ ∈ Y ∗ oboznaqaem kak y ∗ = (ψ, β), gde ψ(·) ∈ L∞ (∆, Rn ), β ∈ Rs .91Sledovatelьno, funkcionaldefhy ∗ , G′ (w 0)w̄i = y ∗ ◦ G′ (w 0 )w̄imeet vid:∗′0y ◦ G (w )w̄ =gdefw0=fw′ (t, w 0 ),Kp0=Z∆hψ, x̄˙ − fw0 w̄idt + hβ, Kp0 p̄i,Kp′ (p0 ).Otmetim, qtoky ∗k = kψkL∞ + |β|.92Lekci 11.Uslovie stacionarnosti v kanoniqesko zadaqe A: uravnenie ЗleraLagranжa, ili lokalьny princip maksimuma. Pustь w 0 – toqka slabogominimuma v zadaqe A.

Sqitaem, qto vse ograniqeni tipa neravenstva aktivnyv зto toqke (obwi sluqa razberem pozжe):æi (p0 ) = 0 ∀i = 1, ..., k,vraimax ϕ(t, w 0 (t)) = 0.Soglasno neobhodimomu uslovi lokalьnogo minimuma, poluqennomu ranee dlabstraktno zadaqi ZA , i primenemomu k zadaqe A, suwestvuet naborα0 , α1 , ..., αk , αϕ , λ, (ψ, β) = y ∗(1)tako, qtoαi ≥0,kXi=0kXi = 0, ..., k, αϕ ≥0,αi + αϕ + |β| + kψkL∞ > 0,λ ∈ ∂Ψ0 , ψ ∈ L∞ (∆, Rn ), β ∈ Rs ,αi æ0ip p̄ + αϕ λ(ϕ0w w̄) +i=0Z∆ψ(x̄˙ − fw0 w̄)dt + βKp0 p̄ = 0 ∀w̄ ∈ W.(2)(3)(4)(5)Zdesь i dalee ψ i β – vektor-stroki.Verhni indeks ”0” v dalьnexem opuskaem, polaga dl kratkosti:æ0ip = æip , Kp0 = Kp , ϕ0w = ϕw , fw0 = fw .Napomnim, qto uslovieλ ∈ ∂Ψ0 oznaqaet, qtoλ≥0, λ(I) = 1, λ(vχMδ ) = λ(v) ∀v ∈ L∞ , ∀δ > 0.93(6)Poskolьku λ(I) = 1, to αϕ λ(I) = αϕ .Poloжim αϕ λ = λ̃.

Togda αϕ = λ̃(I).Funkcional λ̃ obladaet svostvamiλ̃≥0, λ̃(vχMδ ) = λ̃(v) ∀v ∈ L∞ ∀δ > 0.Zamenu αϕ λ na λ̃ proizvedem i v uslovii (5). V uslovii (3) zamenimλ̃(I).Vvedem funkciXl=(7)αϕ naαi æi (p) + βK(p).l = l(p, α, β), gde α = (α0 , ..., αk ).defPustь lp = lp (p0 , α, β).TogdaUslovie (5) priobretaet vid:lp p̄ +Z∆ψ(x̄˙ − fw w̄)dt + λ̃(ϕw w̄) = 0 ∀w̄ ∈ W.Proanaliziruem зto uslovie. PoloжimTogda iz (8) sleduet, qtoZ∆: Funkcionalx̄ = 0, a ū – lboe.ψfu ūdt = λ̃(ϕu ū) ∀ū ∈ L∞ (∆, Rm ).λ̃ imeet integralьnoe predstavlenie.: Зto vytekaet iz (9). Destvitelьno, vyberemδ = δ0 > 0 tak, qto dl ϕu = ϕu (t, w 0(t)) vypolneno uslovie|ϕu |≥const > 0 na Mδ .Зto moжno sdelatь v silu predpoloжeni(x, u, t) ∈ Q, ϕ(x, u, t) = 0 ⇒ ϕn (x, u, t) 6= 0.Pustьv̄ ∈ L∞ (∆, R1 ) – proizvolьna funkci.

Poloжimū =ϕTu · v̄χMδϕu ϕTu94(8)(9)(ϕu – vektor-stroka, ϕTu – vektor-stolbec).Togda ϕu ū = v̄χMδ .Sledovatelьno, v silu (9)ψZµv̄dt ∀v̄ ∈ L∞ ,∆Itak,λ̃(v̄) =∆gdeµ(·) ∈ L∞ .Lemma dokazana.fu ϕTuχMδ v̄dt ∀v̄ ∈ L∞ (∆, R).ϕu ϕTuZλ̃(v̄) = λ̃(v̄χMδ ) = λ̃(ϕu ū) =(10)(11)✷PoloжimM0 = {t ∈ ∆ | ϕ(t, w 0(t)) = 0}.TogdaM0 =\Mδ .δ>0Obratims k uslovi (11). Iz usloviZλ≥0 vytekaet, qtoµv̄dt≥0 ∀v̄≥0, v̄ ∈ L∞ ,otkuda sleduet, qtoµ≥0.Dalee, uslovie sosredotoqennostiZµv̄χMδ dt =∆∆Poloжim v зtom usloviiPoluqimZ∆otkuda v silu usloviZ(12)λ̃ na lbom Mδ (δ > 0) oznaqaet, qtoµv̄dt ∀v̄ ∈ L∞ , ∀δ > 0.v̄ = 1.µ(1 − χMδ )dt = 0,∀δ > 0,µ≥0 vytekaet, qtoµ(1 − χMδ ) = 0 ∀δ > 0,95t.e.µχMδ = µ ∀δ > 0.SledovatelьnoµχM0 = µ.Зto uslovie moжno zapisatь v vide uslovi dopolnwe neжestkosti:µ(t)ϕ(t, w 0(t)) = 0(13)Dokazana: Dl funkcii(13).µ, udovletvorwe uslovi (11) , vypolneny uslovi (12) iUravnenie (8) priobretaet vidZlp p̄ +∆a uslovie (9) – vid:Zψ(x̄˙ − fw w̄)dt +ψfu ūdt =∆Z∆Z∆µϕw w̄dt = 0 ∀w̄ ∈ W,µϕu ūdt ∀ū ∈ L∞ (∆, Rn ),(14)(15)otkuda sleduet, qtoψfu − µϕu = 0.(16)PolagaH̄ = H − µϕ,H = ψf,uravnenie (16) zapisyvaem v vide:H̄u = 0.Iz (14) v silu (16) sleduet, qtoZlp p̄ +∆ψ(x̄˙ − fx x̄)dt +Z∆µϕx x̄dt = 0 ∀x̄ ∈ W11 .(17)(18)Poluqim otsda tak nazyvaemoe ”soprжennoe uravnenie” i ”uslovi transversalьnosti”.: Pustьk p̄ +Z∆ψ(x̄˙ − Ax̄)dt +Z∆bx̄dt = 0 ∀x̄ ∈ W11 (∆, Rn ),96(19)gde A = A(t) – matrica s ograniqennymi izmerimymi koзfficientami na∆, k ∈ R2n , ψ(·) ∈ L∞ (∆, Rn ), b(·) ∈ L∞ (∆, Rn ).