Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 11

Takim obrazom, paraw(·) = (x(·), u(·)) estь зlement prostranstvadefW = W11 (∆; Rn ) × L∞ (∆; Rm )s normokwk = kxkW11 + kukL∞ ,gdeRkxkW11 = |x(t0 )| + |ẋ(t)|dt,∆kukL∞ = vraimax |u(t)|.∆Uslovi (7) (ili (7′ )) i (8) (ili (8′ )), a takжe uslovie (10) predpolagatsvypolnennymi poqti vsdu (p.v.) na ∆. (Зto vsegda budet otnositьs k sootnoxenim,soderжawim izmerimye mnoжestva i izmerimye funkcii.). Kanoniqeska forma A ohvatyvaet bolee xiroki klass zadaq optimalьnogoupravleni, qem зto moжet pokazatьs na pervy vzgld: i drugie zadaqi mogutbytь predstavleny v vide zadaqi A s pomowь sootvetstvuwih zamen peremennyh.Ukaжem na odin izvestny priem. Esli v zadaqe iznaqalьno prisutstvuetintegralьny funkcional vidaJF =Zt1F (t, x, u)dt,t0to ego moжno predstavitь kak koncevo s pomowь vvedeni dopolnitelьnofazovo peremenno y :ẏ = F (t, x, u),JF = y1 − y0 ,gde y0 = y(t0 ), y1 = y(t1 ).

Зtot priem pozvolet ohvatitь zadaqi klassiqeskogovariacionnogo isqisleni.782. Formalizaci zadaqi A. Teperь my pokaжem, qto zadaqa A sootvetstvuetabstraktno postanovke ZA , dl kotoro my uжe poluqili neobhodimoe uslovielokalьnogo minimuma v dvostvenno forme.Vvedem funkcionaly:F0 (w) = æ0 (x0 , x1 ),Fi (w) = æi (x0 , x1 ),gdedefx0 = x(t0 ),(11)i = 1, ..., k,(12)defx1 = x(t1 ),F (w) = vraimax ϕ(t, w(t)).t∈∆(13)Funkcional (11) sovpadaet s funkcionalom zadaqi, i my vveli ego dl edinoobrazi.Pustь U estь mnoжestvo vseh funkci w(·) ∈ W takih, qto(x(t0 ), x(t1 )) ∈ P i suwestvuet kompakt C ⊂ Q (zaviswi ot w(·)) tako, qto(t, x(t), u(t)) ∈ C p.v.

na ∆.Togda U – otkrytoe mnoжestvo, na kotorom opredeleny funkcionaly F0 , Fi , F .Зlementarno proverets, qto F0 , Fi nepreryvno differenciruemy po Frexena U (pri sdelannyh predpoloжenih otnositelьno gladkosti). Qto жe kasaetsF , to my pokaжem, qto v proizvolьno toqke mnoжestva U зtot funkcionalimeet proizvodnu po lbomu napravleni w̄ ∈ W , i зta proizvodna predstavletsobo ograniqenny sublineny funkcional po w̄. Krome togo, F udovletvoretuslovi Lipxica v okrestnosti lbo toqki w ∈ U (suziv, esli nado, U , mymoжem sqitatь, qto F – lipxicev na U ).Nakonec, opredelim na U operator G, perevodwi proizvolьny зlementw(·) = (x(·), u(·)) ∈ U v paruG(w) = (ẋ(t) − f (t, w(t)), K(x(t0 ), x(t1 ))),(14)prinadleжawu proizvedeni L1 (∆, Rn )× Rs .

Зtot operator nepreryvno differenciruem po Frexe na U (sm. dalee).V rezulьtate kanoniqeska zadaqa A okazalasь predstavlenno v vide, sootvetstvuwemabstraktno zadaqe ZA :F0 (w) −→ min, Fi (w) ≤ 0,F (w) ≤ 0,G(w) = 0, w ∈ U79i = 1, ..., k,Vse ukazannye svostva funkcionalov F0 , Fi i operatoraskazano, legko proverts, i my zamems imi qutь pozdnee.G, kak byloA seqas my sosredotoqim naxe vnimanie na proverke svostv funkcionalaF (w) = vraimax ϕ(t, w(t)).∆3. Proizvodna po napravleni funkcionala F . Pustь w 0 (·) = (x0 (·), u0 (·))U – fiksirovanna toqka. Esli v зto toqke F (w 0 ) < 0, to ograniqenieF (w) ≤ 0 ne vlets v зto toqke aktivnym i v uslovih lokalьnogo minimuma faktiqeski ne uqastvuet.Predpoloжim teperь, qtoF (w 0 ) = 0, t.e.vraimax ϕ(t, w 0 (t)) = 0.t∈∆Togda(15)ϕ(t, w 0 (t)) ≤ 0 p.v. na ∆.Vvedem mnoжestvaMδ = {t ∈ ∆| ϕ(t, w 0 (t)) > −δ},gdeδ > 0 – parametr.Pustь w̄(·) ∈ W – proizvolьny зlement..

Funkcional F imeet v toqkeopredelets ravenstvomw0 proizvodnu po napravleni w̄, kotoraF ′ (w 0 , w̄) = lim vraimaxhϕ′w (t, w 0 (t)), w̄(t)i.δ→+0: Poloжim Mδ′ = ∆\Mδ (δ >F v toqke w 0 po napravleniverhne proizvodno imeem:F̄ ′ (w0 , w̄) = limε→+0t∈Mδ(16)0). Vyqislim verhn proizvodnu funkcionalaw̄. Poskolьku F (w 0 ) = 0, to po opredeleni11F (w 0 + εw̄) = lim vraimax ϕ(t, w 0 (t) + εw̄(t)). (17)ε→+0∆εεPo teoreme o srednemϕ(t, w 0 (t) + εw̄(t)) = ϕ(t, w 0 (t)) + ϕθw εw̄ = ϕ0 + ϕ0w εw̄ + (ϕθw − ϕ0w )εw̄,80∈gdew̄ = w̄(t),ϕ0 = ϕ(t, w 0 (t)),ϕ0w = ϕw (t, w 0(t)),ϕθw = ϕw (t, w 0(t) + θ(t)εw̄(t)),sno, qto kϕθw − ϕ0w kL∞Sledovatelьno,0 ≤ θ(t) ≤ 1.−→ 0 pri ε −→ +0.ϕ(t, w 0(t) + εw̄(t)) = ϕ0 + ϕ0w εw̄ + rε (t),gdekrε kL∞ = o(ε).Funkcional vraimax(·) vlets ograniqennym sublinenym (proverьte) i,∆znaqit, lipxicevym (v L∞ ).Togda iz (17) sleduet, qtoF̄ (w 0 , w̄) = limε→+0Dalee, pustьTogda1vraimax{ϕ0 + ϕ0w εw̄}.∆εδ > 0.

Predstavim ∆ = Mδ ∪ Mδ′ .vraimax(·) = max{vraimax(·), vraimax(·)}′∆MδMδ(suwestvenny maksimum po mnoжestvu mery nulь polagaem ravnymSledovatelьno,F̄ (w 0 , w̄) =≤poskolьkuDalee,−∞).lim max{ 1ε vraimax{ϕ0 + ϕ0w εw̄}, 1ε vraimax{ϕ0 + ϕ0w εw̄}}′ε→+0MδMδlim max{vraimax ϕ0w w̄, 1ε vraimax{−δ + ϕ0w εw̄}},′ε→+0MδMδϕ0 ≤ 0 na ∆.δ10vraimax{−δ+ϕεw̄}=vraimax{−+ ϕ0w w̄} −→ −∞wMδ′Mδ′εεpriε −→ +0 (δ >Sledovatelьno,0 fiksirovano).F̄ ′ (w 0 , w̄) ≤ vraimax ϕ0w w̄,Mδ81gdeδ > 0 proizvolьno.

Sledovatelьno,F̄ ′ (w 0 , w̄) ≤ inf vraimax ϕ0w w̄ = lim vraimax ϕ0w w̄.Mδδ>0δ→+0MδRavenstvo imeet mesto v silu monotonnosti sistemy mnoжestv0 < δ < δ1 , to Mδ1 ⊃ Mδ .Itak, my dokazali ocenku{Mδ } po δ : esliF̄ ′ (w 0 , w̄) ≤ lim vraimax ϕ0w w̄,δ→+0MδЗtim moжno bylo by i ograniqitьs, tak kak nas ustroila by i verhn ocenkaverhne proizvodno. Odnako my dokaжem, qto vyraжenie sprava estь prostoproizvodna po napravleni.Imeem (uqityva razloжenie ϕ(t, w 0 + εw)):limε→+01εF (w 0 + εw̄) =1vraimax(ϕ0 + ϕ0w εw̄) ≥ε∆ε→+01lim ε vraimax(ϕ0 + ϕ0w εw̄) ≥Mε2ε→+0lim 1ε vraimax(−ε2 + ϕ0w εw̄) =Mε2ε→+0lim vraimax ϕ0w w̄ =Mε2ε→+0lim vraimax ϕ0w w̄).Mδδ→+0= lim≥≥==Itak, my pokazali, qto11F (w 0 + εw̄) ≥ lim vraimax ϕ0w w̄ ≥ lim F (w 0 + εw̄),ε→+0Mδ→+0εδε→+0 εlimotkuda sleduet, qto suwestvuet predel1F (w 0 + εw̄),ε→+0 εlimi on raven veliqinelim vraimax ϕ0w w̄.δ→+0MδZnaqit, зta veliqina i estь proizvodna po napravleni.✷82Lekci 10.4.Mnoжestvo opornyh k prozvodno po napravleni funkcionalavraimax ϕ(t, w).

Netrudno proveritь, qto funkcionalΦ(w̄) = lim vraimax(ϕ0w w̄)Mδδ→0vlets sublinenym. Nadem∂Φ.My po-preжnemu predpolagaem, qtovraimax ϕ(t, w 0 (t)) = 0∆i, sledovatelьno, vse mnoжestvaMδ (δ > 0) imet poloжitelьnu meru.Rassmotrim snaqala sublineny funkcionalΨ(v) = vraimax v(t),t∈M(18)gde M ⊂ ∆ – izmerimoe mnoжestvo poloжitelьno mery, v(·) : ∆ −→ R1 –ograniqenna izmerima funkci.

Itak, my rassmatrivaem Ψ(v) v prostranstveL∞ (∆, R) = L∞ .: Funkcional λ(v) iz L∗∞ vlets opornym k funkcionalutolьko v tom sluqae, kogda(a)λ≥0, (t.e. v(t)≥0 p.v. =⇒ λ(v)≥0;)(b)λ sosredotoqen na M , t.e. λ(vχM ) = λ(v) ∀v ∈ L∞ ,gde χM – harakteristiqeska funkci mnoжestva M ;(c)λ(I) = 1, gde I = I(t) ≡ 1 na ∆.83Ψ(v) (18) v tom i:I.Neobhodimostь. Pustьλ(v) – oporny k Ψ(v), t.e. λ(v)≤ vraimax v(t)M∀v ∈ L∞ .(b) Pokaжem, qto λ sosredotoqen na M . Pustь v ∈ L∞ ravna nul na M ,t.e. vχM ′ = v , gde χM ′ – harakteristiqeska funkci mnoжestva M ′ = ∆\M .Togdaλ(v)≤ vraimax v = 0,Mλ(−v)≤ vraimax(−v) = 0,Motkuda sleduet, qtoλ(v) = 0.Dalee, proizvolьnu funkciv ∈ L∞ moжno predstavitь v videv = vχM + vχM ′ .Poskolьku λ(vχM ′ ) = 0, to λ(v) = λ(vχM ).(a) Pokaжem, qto λ≥0.

Pustь v≥0, v ∈ L∞ . Togda λ(−v)≤ vraimax(−v)≤0.MSledovatelьno, λ(v)≥0.(c) Pokaжem, qto λ(I)= 1. Destvitelьno,λ(I)≤ vraimax I = 1,Mλ(−I)≤ vraimax(−I) = −1.MItak λ(I)≤1, λ(I)≥1 =⇒ λ(I) = 1.II.Dostatoqnostь. Pokaжem, qto vski funkcional λ ∈ L∗∞ , obladawisvostvami (a),(b),(c), vlets opornym.Pustь λ obladaet ukazannymi svostvami, i pustь v ∈ L∞ . Poloжim vM =vχM .

Togda λ(v) = λ(vM ) v silu (b). Dalee,vM (t) ≤ vraimax vM (t) = vraimax v = Ψ(v).p.v.MMSledovatelьno, I(t)Ψ(v) − vM (t)≥0 p.v. na ∆.Poskolьku v silu (a) λ≥0, to λ(Ψ(v)I − vM )≥0, otkudaΨ(v)λ(I) − λ(vM )≥0.Noλ(vM ) = λ(v) i λ(I) = 1 (sm.(b)). Sledovatelьno, λ(v)≤Ψ(v).84Poskolьku∂Ψ.✷v ∈ L∞ – proizvolьny зlement, to otsda sleduet, qto λ ∈Pustь teperь imeets monotonna sistema {Mδ }δ>0 izmerimyh mnoжestvMδ ⊂ ∆ poloжitelьno mery. Pod monotonnostь my ponimaem svostvo:0 < δ < δ1 =⇒ Mδ ⊂ Mδ1 (sistema ubyvaet pri δ → +0).Rassmotrim funkcional v L∞ :Ψ0 (v) = lim vraimax v(t).Mδδ→+0Зto – sublineny funkcional. Nas budet interesovatь mnoжestvo opornyh∂Ψ0 .

Nardu s зtim funkcionalom rassmotrim v L∞ semestvo sublinenyhfunkcionalovΨδ (v) = vraimax v(t) (δ > 0).MδSoglasno opredelenim,Ψ0 (v) = lim Ψδ (v).δ→+0Imeet mesto:∂Ψ0 =\∂Ψδ .δ>0:I. Pustьλ∈t.e.Pustь\∂Ψδ ,δ>0λ ∈ ∂Ψδ ∀δ > 0.v ∈ L∞ . Togdaλ(v)≤ vraimax v(t) ∀δ > 0.MδSledovatelьno,λ(v)≤ inf vraimax v(t) = lim vraimax v(t) = Ψ0 (v).δ>0Itak, λ(v)≤Ψ0 (v)Sledovatelьno,Mδδ→+0∀v ∈ L∞ .λ ∈ ∂Ψ0 .85Mδ(19)Dokazano, qto\δ>0∂Ψδ ⊂ ∂Ψ0 .II.