С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 55

Если исходный радиус корреляции г„- со, то величина 1„стремится к величине дифракцнонной длины для полностью когерентного пучка (1,— йае/2). Другой характерной длиной, которая Возникает в рассматриваемой задаче, является длина продольной корреляции 1н Для ее опенки воспользуемся пространственно-временной аналогией, О~меченной в й 3, и формулой (4.4.!2). Аналогом времени корре- э а дифракция слкчанных волн 301 ляпин т„ является радиус поперечной корреляции г„ а аналогом дисперсионного параметра д-' — волновое число й. В соответствии с этим искомая длина продольной корреляции равна 1а = )гга12.

(4.5.60) Значения полей в поперечных сечениях пучка, продольное расстояние между которыми превосходит масштаб (60), не коррелированы между собой. Ясно, что при г„ = и длина 1~ - 1,. Перейдем теперь к анализу дифракции частично когерентной волны на двух отвергтиах (рис. 4.22). Фактически мы вернемся к интерферометру Юнга (рис. 4.1), при рассмотрении которого в й 2 было введено понятие пространственной когерентности и обоснован метод измерения поперечной корреляционной функ- г 6 ции поля.

Теперь мы располагаем теоретическими основами для более строгого расчета ин- Ч терференционной картины при га и дифракции световой волны на двух отверстиях, В схеме, изображенной на Рис. 4 22. Уироагеииаа схема аифракрис. 4.22, частичная когерент- така'Ра. ность волны возникает вследствие распространения излучения от некогерентного источника до линзы Л„расположенной перед экраном 1) с отверстиями Р, н Ра За экраном располагается вторая линза Л, (на рис.

4.22 не показана), в фокальной плоскости которой наблюдается интерференция от двух оаверстий. Изменение расстояния в между отверстиями Р, и Ра приводит к изменению распределения интенсивности в интерференционной картине (см. рис. 4.23). Рассчитаем это распределение интенсивности. Согласно формуле (13) комплексная степень когерентности между точками Р, и Р, экрана Я равна ,(, Е), ~в,Р 2.1,(а) и щ (4.5.61) где в=(газ(Е, фа=а(га' — г1У2Е, а — радиус источника излучения, Š— расстояние от источника до линзы Л„гг — расстояние от Р1 до оси пучка. Для симметрично расположенных относительно оси точек Р, и Р, фаза ара= О, Последнее условие считаем выполненным.

Будем также предполагать, что радиусы отверстий одинаковы и гораздо меньше радиуса корреляции г„(16) излучения в плоскости экрана. Тогда распределения интенсивностей Дм и Рю от каждого отверстия даются формулой Эйри (17) для дифракции полностью когерегпной волны на круглом отверстии. Если точка наблюдения Р служит фокусом для лучей, днфрагированиых под углом ~р к нор- зоа гл. е слхчхвные волны в лиигпиых сегдхх мали экрана Я, то согласно (17) с точностью до нормировочного множителя имеем 1~0(Р) Рм (Р) = ( — '), и = lго<р, (4 5.62) И где р=г)),, 7,— фокусное расстояние линзы Л,, г — расстояние от сси до точки Р, о — радиус отверстий Р, и Р,.

Разность фаз для лучей, дифрагироваииых к точке Р от двух отверстий, равна (см. рис 4.22) б='лР,И =йзз(п~р=Ыр=йип, Е=()Иао. (4.5.63) Подставляя (61) — (63) в выражение (4.2.6), для распределения интенсивности в фокальиой плоскости линзы Л, получаем 1(з, <р)=2~ — ') (1+~ ~соз(ф(п) — Еио)~, (4.5.64) где Кривые, рассчитанные по формуле (64), приведены иа рис.

4.23, где представлеиы и фотографии иитерфереициоииых картин для различных расстояний з между отверстиями Р, и Р,. Пунктирные кривые рис. 4.23 соответствуют огиба1ощим Езпах(з т)=2( ) (1 .~:-/ ' ф ° М (г) = ех р (1 — г-'). (4.5.65) Здесь 7" — фокусное расстояние линзы. Для собирающих линз 7") О, для рассеивающих лииз ~(0. Пусть источник излучения находится па расстоянии 1, от линзы Л (плоскость г О, см. рнс. 4.24). Комплексная амплитуда Заметим, что при значении фазы ф=п (рис. 4.23, Г, Д) иитеисивиость в центре интерференционной картпиы имеет отиосичельиый минимум.

Дифракция в фокусе линзы. Рассмотрим примсшпельио к случайной волне классическую задачу оптики о фокусировке светового пучка. Естес1всиио ожидать, что неполная когерептиость пучка будет ухудшать возможность концентрации энергии в фокусе. Тонкая линза, через которую проходит падающая волна, задерживает ее фазовый фронт иа величину, пропорциональную толщине линзы, в каждой точке, т. е. тонкая линза изменяет фазу падающей волны, трансформируя ее волновой фронт. Передаточиая функция сферической линзы (131 0 0 Дивейнпнн СЛНЧДНИЫХ ВОЛН >г) ге) излучения источника А (г, г= 0) = А,(г). Процесс распространения волны от источника до линзы описывается параболическим урав- нением (1). Амплитуда волны непосредственно перед линзой дается выражением -1- ю А, (г) = ~ А„(г,) И) (г — г,) с(вг), (4.6.66) Рнс.

0,23. Интерференция двух )Д> З-О.б СМ; т>З) >-ОяззЗЗ Р-О )б) з о.з сы:,т)з),:=о,зб) р=о >В> з 1 см. >у)з) =0.145: Ч О а) Наблюдаемые ентерференцнонные ннтенснвностн; з — расстоянне между кая Р, н Рз — 0,14 см. средняя данна частично когерентпых световых пучков 111: 17'1 з 1,2 см; 7)з)1 0,015; О л 1Л) З 1,7 СМ:17)З)' 0,123; Е Л. )Н) з 2'З см, 7)з);=О,ОЗ51 зР=О «артнны.

б) теоретнческне кривые раснредеаення отверстнямн экрана О, диаметр отверстий в точволвы Х 570 нм. По сея абсцисс отяонсано значенне и. ГЛ. Е СЛУЧАИНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИИЕПНЫХ СРЕДАХ ГДЕ Н„(г — г„) — „ехр~ — 1 — (г — г„)' (4.5.66а) — функция Грина уравнения (1). Непосредственно после линзы амплитуда волны с учетом передаточной функции М(г) (65) равна Аа(г) =М(г) А,(г).

(4.5.67) За линзой црецесс распространения волны описывается опять д Рис. 4.24. Прокожкение частично когерентного светового пучка через линзу (качестзенная картина!. уравнением (1) На некотором расстоянии (, от линзы для амплитуды волны имеем А(г) = ~ А,(га) Н,(г — г,) с('»я.

(4.5.68) Подстановка в (68) выражений (67) и (66) дает значение комплексной амплитуды А (г) через ее исходное значение А,(г): А(г)= ~ Ае(г,)Н(г, гт)гР»,. (4.5.69) Здесь Н(г, г,) — функция Грина„характеризукнцая весь процесс распространения: +с Н(г, г,)= ~ Н,(г — г,)М(г,)Н,(г,— гт)гР»з. (4;5.?О) Выражение (70) можно преобразовать к виду Н(г, г,) = + со Аз — ехр — 1-- — -т- — ')с ~ ехр — т — дгс+Й(тг (Р» = = (п(,(~с?')-'ехр ( — 1 2 (; — +,'-) — ю' (т'(, (4.5.71) гда (4.5.?2) $ З ДИФРАКЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЛН В оптичеоки сопряженных плоскостях (д=О) выражение (71) дает б-функцию! Н(г, г,)=( — — ) ехр~ — 1 — (;! + !()~ б(Ь).

(4.5.73) В геометрической оптике условие д = О известно как формула линзы ! ! 1 — +-= —. !.! (4.5.74) Подставляя (73) в (69), получаем СО 1! 1 .!!гЗ! г . А А(г)=~ — — !ехр! — !' — --) ~ А,(г!)ехр! — !' — г!~ х (4.5.75) В, (г„г,) = =() — ) Вха! — — г,„— —,— г!)ехр ! ', ' — (г! — г!)~.

(4.5.76) Отсюда следует, что, помимо изменения масштаба когерентности пучка, при прохождении им линзы происходит изменение фазы корреляционной функции. ,г(ля степени когерентности в оптически сопряженных плоскостях из (76) имеем 17(з) = уо(1!У11!),. В силу этого изменение радиуса корреляции при прохождении ч~рез линзу Определяется соотношением !! гк гь ! (4.5.77) Если исходный пучок находится на двойном фокусном расстоянии 1,== 21, то расстояние (э = 2~ и радиус корреляции пучка остлется неизменным: г„ = г„. Следует, однако, подчеркнуть, что Видно, что в оптически сопряженных плоскостях комплексные амплитуды световых пучков связаны довольно простым соотношением.

Значение амплитуды меняется в 1!11э раз„поперечный пространственный размер пучка изменяется в 1,11! раз, Кроме того, изображение перевернуто относительно первоначального. При выводе соотношения (75) мы нигде не использовали когерентные свойства пучков, поэтому оно справедливо как для полностью, так и для частично когереитных световых пучков, Пользуясь (75), нетрудно получить свя:ь между корреляционными функциями в оптически сопряжеиныз плоскостях: зов гл ~ слюыпныв волны в линапных сгвдлх фаза корреляционной функции в этом случае изменяется: появляется дополнительный множитель схр 1 (г,' — г() (см. (76)).

1. ь рассмотрим еще один пример фокдспроаки сферической линзой часппшно когеренгпного светового пучка, Пусть пучок задан непосредственно перед линзой (1, 0), причем его поперечная корреляционная функция В~а(г„г,) дается выражением (41а). Найдем минимальные размеры сфокусированного пучка и соответствующую интенсивность. Для такой постановки решение задачи фактически содержится в предыдущем разделе. Здесь только надо учесть изменение фазы корреляционной функции, вносимое линзой.

Сразу же после линзы, в соответствии с (41а) и (65), В(г,, гг) =Вха(гм г,) ехр 1' — (г', — г1)~. (4.5.78) 21 Из (78) н (41а) видно, что для использования результатов, следующих за формулой (4! а), нужно произвести замену а, -+. а„— й1(. (4.5.79) Наиболее интересными являются результаты при а,(й((, когда существует расстояние г,-~О, при котором радиусы корреляции и пучка минимальны. В соответствии с (58) расстояние до области перетяжки го=(-~- — ~')((1 — ~') + 1;Я (4.5.80) Дифракциоппая длина 1,, частично когерептного пучка определяется (50).

В геометрооптическом приближении (й- х, 1,-« -+.ос), как и следовало ожидать, (4.5.81) Дифракция приводит к отличию значения г, от 1. При а,=О расстояние до перетяжки го = 1/11+ И.)') (4.5.82) меньше, чем фокусное расстояние линзы (рис.