С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 54
Описание файла
PDF-файл из архива "С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математические модели флуктуационных явлений" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 54 страницы из PDF
Подстановка в (37) вместо текущей координаты з радиуса корреляции г„ (например, выражения (15) для монохроматического поля) показывает, что условие (37а) выполняется всегда (сдат„Л 1 или ыат, ~ 1), а для выполненья условия (376) необходимо, чтобы зма/а /а=(паза) с ага (ыа/бы) йоа Тзкич образом, неполная временная когерснтность поля не влияет на пространственную когсрентность при выполнении (381. Радиус корреляции при этом пропорционален пройденному расстоянию г (11).
Оценим характерную длину /а. Пусть радиус источника излучения а= !ем, Ды/ыа — 10 а н /а = 10а ем '; тогда 1, — !бася. (лсдоззтсльно, в практических случаях временная немонохроматнчность излучения не окааывает влияния на прострапственну|о когерентиость, з произведение временной и пространсгвенной корреляционных функция дает пространственно-временную корреляционную функцию поля. В другом предельном случае, а ~ 1,, согласно (36) 1 за В(з, т; г) ехр ~ — -- — 1 4 сита 1 м радиус корреляции оценивается как гк 2 (стах) (4,5.39) т.
е. пропорционален корню квадратному нз длины г (см, также рнс. 4.20). Временная нокогерентность изменяет, тзким образом, заков роста радиуса корреляции с увсличеняеч расстояния. Естественно, что пространственная некогерен своею влияет в ~вою очередь на временную когерентность поля (см. (ЗО)). Однако пз этом вопросе здесь нс будем останавливаться, 4 В ДНФРАКЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЛН т;и' м гр-гг гр му ур н О,н гп Дифракция частично когереитной волны на одном и двух отверстиях.
До сих пор мы считали, что исходная волна 6-коррелирована в пространстве. В реальных условиях радиус корреляции случайной волны нли источника шумового излучешгя всегда имеет конечное значение. Решение задачи о дифракции частично когерентной волны дается общей формулой (7), определяющей изменение пространственной когерентности волны в процессе распространения. Мы, однако, изложим здесь другой метод, удобный для описания распространения гауссовских световых пучков, поперечная корреляционная функция которых также имеет вид гауссов- ур ской кривой. В квазиоптическом приближении гауссовская форма пучка и форма гр-г корреляционной функции в процес.
се распространения остаются неизменными; с пройденным расстоянием гр ' г г г изменяются лишь параметры этих га,в гр м ур кривых. Это связано со следующим обстоятельством. Рнс. 4.20, Эависимость радиуса Согласно общему решению (7) в коРРелЯции некогеРеатного иь лучения от расстояния г нри Этоы СЛуЧаЕ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО Рае рвали ~них временах корреля. стояния г поперечная корреляцион- ции т, [141. ная функция представляет собой Радиус источника 1 мм свертку функции В, (г', гс ) гауссовского вида (4.2.31) и функции отклика, имеющей вид экспоненты, показатель которой квадратичен по г — г' и [1 — 14'. В подобных случаях интегральное преобразование (7) сохраняет гауссовский вид функции В1 (см.
примеры расчета спектров и корреляцно;шых функций в ~~ 3 и 8 гл. 1). Для рассматриваемого гауссовского пучка дифференциальное уравнение в частных производных для корреляционных функций можно свести к уравнениям в Обыкновенных производных для функций, описывающих ширину пучка, ширину корреляционной функции и т. п. В этом разделе мы используем такой подход для рассмотрения преобразования радиуса корреляции в пучке. 8[ы установим весьма важный факт, заключающийся в том, что для реальной модели пучка с ненулевым начальным радиусом корреляции коэффициент когерептпости пучка (см. ч 8 гл. 1) сохраняется в процессе распространения, т.
е. является статистическим-инвариантом пучка. (В гл. 8 мы воспользуемся таким подходом для изучения самофокуснровки световых пучков.) 298 ГЛ. С СЛУЧАИНЫЕ ВОЛНЫ В ЛННЕИНЫХ СРЕДАХ (4.5.44) Рассмотрим сначала дифракцию частично когерентной волны па одном отверстии. Пусть амплитудный коэффициент пропуска- ния (передаточная функция) отверстия равен М (г) = ехр ( — (г)а)') (4.6.40) и падаюсцее излучение статистически изотропно в пространстве и имеет экспоненциальную корреляционную функцию. Тогда не- госредственно за отверстием поперечная корреляционная функ- ция волны равна В|а(гм гс) = (Аа (гс) А,с (с'В)) = г,' где а — радиус пучка, г,— радиус корреляции, параметр а, харак- теризует фазу корреляционной функции. В переменных К и г (3) функция (41а) имеет вид 2К" гг В~ь,(К, г)=1„ехр( — —, — —,— 1ааКг~, (4.5.416) а~ га где г,ее определяется формулой (4.2.32). Изменение корреляцион- ной функции (4!6) в процессе распространения волны описывается уравнением (4).
Его решение ищем в виде В~ь(Р, г; г) = 2И' г' =1,~(г)ехр~ — й(г) —, — й(г) —,— са(г) 1(г~. (4.5.42) а' гвэе Выражение (42) представляет собой обобщение формулы (4!6). Производные функции (42) равны — -С== 1,'(1' — )и' —, — 1)с' —, — с)а'Кг~(ехр (...), (4.5.43а) сэг„à 8пг — "; = 1,( — 12ас +1 ~ — а'14г+)сд,, + +(а)с —,+1ад —, ~ехр (...). (4.5.436) 2гг . 4 К'11 г'„ге а~ 1 ~ В (43а) штрих означает производную по г. Подставляем (43) в (4) и приравниваем нулю коэффициенты перед различными степе- нями К"'г" (т, п =О, 1, 2). В результате получаем систему уравнений 2 а' 2 й' 2 — = — — а, — = — — а, — = — — а, А ' г ': ' Сг А 8 йа' = — а'+ —,, йд.
а~г'Е, Значения функпий а (44) при г=0 следующие: 1(0) = сг(0) = и (О) = 1, а (О) = а,. (4.5.45) 4 В Днфявхцня СЛХЧЛПнЫХ ВОЛН (4.5.49) Со=~ — ) +(в', йа~,фф 2)«й (4.5.50) (в — дифракционная длина. Интегрирование уравнения (49) дает и' = ) ( — о) + 1,,'~ г'+ 2 — „" г+ 1. (4.5.51) Наконец, пользуясь соотношениями (44), находим функцию и (г) = — ( (4.5.52) Запишем функцию (42) с учетом полученных результатов (46), (51) и (52) и перейдем к переменным г, и г, (3): Вь(г„г,; г) = =1,и '-'ехр ( — „) — ',—,- +,=- — 1-4 (ио) (г, — гй))~.
(4.5.53) ) Г «1 + «1 (г, — гв)о . а 1 Отсюда нетрудно найти распределение интенсивности пучка (г,=го=К) 1(й, г) =1,и-'ехр [ — —,) =1,и-'ехр ( — — ( (4.5.54) ( )о)'= ' ( "(г)) и степень когерентности (в = г, — г,) во ) «ввв ',у(в; г) ~ =ехр ~ — —,) =ехр( — —,1. (4.5.55) (а«о)' й Из (54) и (55) следует, что радиус пучка а(г) и радиус корреляции «„(г) изменяются по одному и тому же закону: и(г) =ии, «в(г) =«„и. (4.5.56а) Из (44) легко видеть, что 1(г) = д (г) = )в(г). (4.5.46) Подставляя первое уравнение системы (44) в последнее, получаем уравнение для функции 1: (4.5.47) С помощью замены 1=и-в приходим к уравнению иви" 8 (4.5.48) (ва«офф)о Это уравнение имеет интеграл (и ) и в+Со (Йа«офф) в где постоянная интегрирования 300 ГЛ а.
СЛУЧАННЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНЕННЫХ СРЕДАХ Следовательно, коэффициент когерентности пучка (см. й 8 гл. 1) С = Г„(г)/О (г) = Го/а (4.5.56б) есть постоянная величина, определяемая начальным значением (статистический инвариант пучка). Согласно (51) в случае расходящихся пучков (а )0) радиусы пучка и корреляции монотонно увеличиваются с расстоянием. Интересно, что при ар=О (рис. 4.21) и а а-иго в дальней зоне частично когерент- ного пучка (на расстояниях г, ббльших ~/рр дифракционной длины 1, (50)) радиус пучка определяется начальным радиусом кор- 04 реляции: а (г) — 2 ф' 2 г//его, (4.5.57а) а радиус корреляции определяется первоначальным значением радиуса пучка: Рис.
4.ац Зависимость радиуса коррелннии аи- га(г) = 2 ф' 2 г/на = )х 2 )ьг/па, (4.5.57б) фрагированной на круглов отверстии частично т р. так же, как при б-коррелированной когеРеитиой волны от Ра' исходной волне (см. (22)). В ближней зоне пучка (г«",'1,) при сг =0 как радиус пуч- О аельта-яоррелярованная исходная волна; т1 О = ка, так и радиус корреляции согласно — (55), (50) не меняются. с (р~ >,~рь и =р; 4~'о=,<о)~р..<и ' В случае дифракции сходящегося пуч- ка (ар(0) радиусы пучка и корреляции сначала уменьшаются с расстоянием, достигая минимума при г=го= — — ~( — '/ + 1 '1, (4.5.5О) а затем увеличиваются. На расстоянии г = г, значение функции и (51) равно и'(г„)-Иф 1',+1~ (4.5.59) Дифракционной длиной для частично когерентного пучка является величина 1„=йаг,фе/2): 2 (50). На расстоянии г= 1„радиусы пучка и корреляции увеличиваются в 1/2 раз (присев О).