С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 56

4.25). Для полностью когерентного пучка, полагая 1,— со, из (80) имеем (4.5.83) г,"' — й/,~(Ф вЂ” а,~), т. е. при наличии регулярной криви ны волнового фронта (аочьО) го -"«1. В общем случае значение г, для частично когерентных пучков определяется конкуренцией дифракционных эффектов и эффектов, связанных с фазой корреляционной функции. Зависимость положения области перетяжки пучка от фазы корреляцпопной функции можно использовать, очевидно, для определения величины а,.

зот З О ЙИФРАКЦИЯ СЛУЧАЦНЫХ ВОЛН Распределение интенсивности в области перетяжки согласно (54) равно 1(г, го) =1ои-'(го) ехр — ~~ ~~)о~, (4.5.84) 2г' где и'(г,) определяется (59): о(го) =~\+ (1 — — о)) ('(н~ 1 (4.5.85) Здесь наличие а, ~ 0 эквивалентно изменению дифракционной длины 1„ поэтому далее считаем а,=.0. Радиус пучка в области перетяжки »га'>и-1а 2)'21 а;,(г,)=-аи(го)= 1+('> у ' а — —. (4.5.86) Интенсивность в центре пучка l(0, го)=?о~1+ ( 1) ~=( 1) 1о=(, ( )~ ?о. (4.5.87) или, учитывая вид функции Грина(66а), + е> А (г) = 2 — ~ Ао(гг) ехр —, (г — га)а+1 г', с(о»м (4.5.88) сл Г Приближенные равенства в (86) и (8?) справедливы при 1,Р?.

Для случая регулярных гауссовских пучков в формулах (86) и (87)»о нужно заменить па а1)> 2. Таким образом, при фокусировке частично когерентных световых пучков интенсивность в об- 1 ласти перетяжки меныпе, чем для когерентных пучков, в Лг = 22 1 »7 = а'12»,"- раз; соответственно со столько же раз увеличивается 1 площадь пятна в перетяжке. Величина Л' равна среднему числу Г>кс. 425. Фокусировка части >ко неоднородностей в пучке. когерептпого светового пучка: Покажем теперь, что линзу и г,ло, о„=..е> тг г,— .

о,~о можно применять в качестве элемента, позволяющего измерить угловой спектр излучения. Обратимся к формуле (68), описывающей поле за линзой. Поскольку анализируемое излучение задано непосредственно перед линзой (1, = О), то согласно (68) имеем А(г) = ~ А,(г) ехр 1 гт)Н(гт — г)с)о»т (. я 308 ГЛ. 4.

СЛУЧЛИИЫЯ ВОЛНЫ В ЛИНЯИНЫХ СРПДЛХ где ( — расстояние от линзы. В фокальной плоскости линзы, т. е. при (=-(, амплитуда поля А (г) = — ехр ~ — г ) 1 А, (г,) ехр ~ — ( — ггт) с» г, (4.5.89) Ы / )й / . й 2л( ~ 2( есть фурье-образ исходного поля. Отличие от точного фурье- спектра поля св зано с фазовым множителем, стоящим перед интегралом.

В соответствии с (89) распределение интенсивности в фокусе линзы ))а) ( — ) ) ) В„) „,) 9 () — а г,— 4» 49, 49,. )4990) В координатах г и»4 (3) выражение (99) принимает вид ))а)=( — „) ))В„)г,а) 9( — ) — а '»4''зл')4991) и с точностью до постоянного множителя совпадает со спектром (4.2.27) случайного поля, причем поперечной компоненте и волнового вектора соответствует величина лй»». В связи с этим можно воспользоваться выводами 9 2. Так, например, формула (4.2.34) и рис. 4.9 показывают зависимость углового спектра (фокального размера пятна Л6 =з)») от параметров исходного пучка.

Распространение случайных волн в оптических волокнах. Задача о распространении случайных волн в оптических волокнах относится к классу задач о распространении волн в средах с регулярными неоднородностями. В общем случае такой процесс описывается уравнением д'Е е(г) дя — + Л ) (г) Š— — — Е = О. дз' сз дн Напомним, что ось 2 имеет направление распространения волны, Л) (г) — поперечный лапласиаи, е(г) — днзлектрическая проницаемость, изменяющаяся в направлении, поперечном распространени)о. Рассмотрим среду с квадратичным законом изменения диэлектрической проницаемости: е (г) = е ( ! — 49г'». (4.5.93) Параметр д определяет скорость изменения е (г) ").

Решение уравнения (92) для квазиплоских монекроматических волн ищем в виде Е (г, 2) А (2, г) Р (4,5.94) *) Лалее для краткости такую среду будем называть средой с квадрщичНОй НепйИОРОДНО4)ЬЮ. 4 з диордкция слвчанных волн где волновое число да=ма г'еа/с В квазиоптическом приближении для комплексной амплитуды А получаем (см (4.3.34)) дА 1 .1 — -1- ~ — Ь|А — ! -- йаозгаА=О дг 2й, 2 Мы рассмотрим решение уравнения (95) с помощью разложения по модам.

Решение уравнения (%) в виде разложения по модам [15, 16) имеет вид А(т, г),) АтхНт( — ) Ня ~ — ) Х т. а=е ха+ у' Х егр ~ — — + (у (1+ щ++ оа (4,5,96) Здесь Нт(В) — полиномы Эрмита, оа характеризует модовыз размер пятна: оа (2/уйа) ~ (4.5.97) Коэффициенты разложения Ат„определяются условиями па границе пря г=О: +аа Ата=, 2тг-„— ! — ! ~ Аа (Р) Нт ( — ) Нл ( — ) Х хехр( —, ~дар (4.5.98) 8(х, 5! г)= ехр ( — „' — — ) (2! з!луг) ехр (1 —,с(у ух — ! —,!. (4 5 103) (ха+за пуг) . Н~ (. ха+$а .хрйу)) з!п уг)' В результате функция (100) принимает вид К (н р) =-г — ' схр 1~9 (г, г)+~! (р, г) — р(г) гр~, (4,5.104) .Йар(г) (.! й 2 где Аа(р) = А (р, г = О), дар= п$ а(т). Подставляя А „ в (96), амплитуду А (г, г) можно представить в виде +со А (г, г) ~ К (т, Р) Аа(Р) даР.

(4.5,99) Ядро К (г, р) определяется выражением 2 . ( та+ ри К (г, р)=- — еача5 (х, с; г)5(у, тр г) ехр ( — „), (4 5,100) паа а;" 5 (х, с; г)= ~ — ~-. е ач~) Нт ( — ) Нт ~ — ). (45,101) т=о Пользуясь формулой Мелера (17] Х+)- щ((2 ) — ! — г 1 Н,„(х) Н,„(у) (1 — г') ехр ( ), (4.5. 102) 1 ! 1 )т, Ыз (2хуг — га (х'+у')1 1 — га т=а,п выражение (101) можно свернуть: 8!О ГЛ. Ф. СЛУЧАННЫЕ ВОЛНЫ В ЛННЕЯНЫХ СРЕДАХ где ~р (г, з) — — [р (з) соз йа] гз, р (з) 1 Ла зз 2 з яп пз Определям поперечную корреляционную функцию: 1- сь В (г Е ) )] К(гз, рз)К (г, р)В (р, рз)оср,орз.

(45 !05) Пусть падающи) пучок 5-коррелнрован в пространстве (см. (8)): Вха (рг рз) (Аз(рз) Аоч (рз)) =Лг) (рг) 5(рз рз). Тогда корреляционная функция (105) дается выражением (см. также [16]) /в) )з Вх (г„гз; г) = [ — 71 ехр ( — ! [ф(г,, г) — ф(г„г)])Х ()с з(п Ег 7' +аз Х ~ 7 (р) ехр !! — (г,— гз) р~ бзр. Р(з) Ла а (4.5.106) Пря 4=0 (р=1) нз (106) получаем результат (9) для однородной среды. Выражение (106) представляет собой, таким образом, обобщение теоремы Ваи Циттерта — Цернике на среды с квадратичной неоднородностью в поперечноч сечении. По существу, отличие (106) от случая однородной среды состопг з в замене РасстоЯниЯ з на неквтоРое э]х]мктивное Расстоанне ззйй Р (з) 1 = .— ип рщ Отсюда ясно, что когереитные свойства волны являются пернодической функцией расстояния з. Это обусловлено теп обстоятельствоч, что среда с квадратичной неоднородностью действуег как линза и, следовательно, на определенном расстоянии воспроизводит хараитернстики падаощего излучения (см (76)).

Если ва рассматриваемую неоднородную среду надает пространственно некогерентный пучок радиуса а с равномерным распределением интенсивности, то, пользуясь формулой (14), можно сразу, не интегрируя (106), написать выражение для степени пространственной когереитностн поля: , у (з; г) '=[27, (з)/з !, где з Лзадз7з)п йз.

Радиус корреляция равен (ср. с (16)) гз=0,!6)с ! з!п дз!(ац. (4 5.107) Изменение гз с расстоянием в однородной в неоднородной средах показано на рис 4.26. Общая формула (105) допускает анализ распространения пучков с начальным ненулевым радиусом корреляции в средах с квадратичной неоднородностью, например пучков, имеющих корреляционную функцию вида (41). Однако цля анализа распространения частично когереитннх пучков мы применим мзгод, изложенный в начале параграфа. ен 4 з.

ЛНФРАКЦия СлуЧАйныХ ВОЛН Из уравнения для корреляционной функции поля, следуя этой методике, получим уравнение вида (ср. с (4)) )д ! В' !дг й„дг д)1 + — — — (йягзрг~ Вг (г, ц; г) = О. (4.5,108) Решение уравнения (108), как н в случае однородной среды [4=0), наем в виде (42): 2кз гз Вг(г, )1; а)=15((з)ехР ~ — Ас(з) — — й(з) —,— (а(з) кг~. (45.109) а' г', Ф На границе среды (г=О) ((0)=д(0)=й(0)=1, сс(0)=ао, г,р —— г,,'+о 912 (4.5.110) (а н га — радиусы пучка и корреляции соответственно). а % т -е однородной среде, г — н среде с неедретнчнаа неоднородностью.

Подстановка (!09) в (108) после приравнивания нулю коэффициентов перед различными степенями Рсага приводит к следуюшим уравнениям: — — — — ! а' = — аз+ — — (доз)е (4.5.111). д' й' 2а 8йд В й йа (ог ефз)з Заметим, что при 4=0 постоянный член в уравнении для а выпадает и мы приходим к уравнению (44). Из (!11) для функции инн~ Ю~ получаем (ср.

с (48)) мз(п'+~ — ) = (4.5.112) Решение (1!дг с учетом условий (110) при оса=О дает ( 1 15 из = со5 зз + 1 — ~ зшз 42. (сз( 1 (4.5. Н 3) 11ифракционная длина (д определяется выражением (50). 11змеиение радиусов пучка и корреляции н процессе распространения определяется формулами (565). Таким образом, н среде с квадратичной пеод- Рис. 4,26. Зависимость радиуса корреляции первоначально й-корредированного пучка от рас. стояния: Рис. 4.27. Изменение в среде с квадратичной неоднородностью ра. януса пучка и радиуса корреляции: ОН <1;г>агам' н гл.

а. сльчдииыа волны в линвиных срвддх нородностью указанные параметры в общем случае изменяюкя периодически (рнс 4 27) Если же днфракцнонные эффекты уравновешиваются фокуснруюшей способностью среды ((х -4" г), то параметры частично когеренгного пучка остаются неизменными (и = 1). В 6. Дифракция случайных волн на трехмерных структурах. Динамическое рассеяние частично когерентного рентгеновского излучения в совершенных кристаллах Интересные дифракционные явления возникают при рассеянии электромагнитных волн на трехмерных периодических структурах.

Один из наиболее важных примеров — дифракция рентгеновского излучения на кристаллической решетке совершенного кристалла. Если излучение обладает высокой степенью пространственной и временной когерентности, фазы вторичных волн, рассеянных различными атомами кристаллической решетки, жестко связаны. Возникающие при этом когерентные взаимодействия многократно рассеянных волн приводят к разнообразным эбггйектам динамического Рассеяния, таким, как «маятниковые биения», эффект Боррмана и др. (см. (28, 57)).

Творе. тическая интерпретация этих явлений основывается на модели взаимодействия двух связанных волн в кристалле, обменивающихся энергией при последовательных актах рассеяния на атомах решетки. Эффекты динамического рассеяния могут быть положены в основу весьма точных методов из>чения кристаллов; в последние годы обсуждаются возможности нх использования для создания резонаторов рентгеновских и гамма-лазеров. Несовершенства, дефекты нристаллической структуры смазывают эффекты многократного рассеяния; в этом случае в рентгеновскоп оптике говорят о кинематическом рассеянии Естественно ожидать, что к аналогичным явлениям будет приводить и неполная когеренгиость рентгеновского излучения. Как вдияет неполная временная и пространственная когерентность рассеиваемого излучения на основные эффекты динамического рассеяния ренпеновского излучения в совершенных кристаллах? Зтот вопрос рассматривается в настоящем параграфе на.примере дифракционных явлений, описываемых в так называемом двухволновом приближении').