С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 57
Описание файла
PDF-файл из архива "С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математические модели флуктуационных явлений" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 57 страницы из PDF
Как и при рассмотрении в 4 5 оптических дифракцнонных задач, здесь возможна обратная постановка задачи †эффек динамического рассеяния могут быть положены в основу методов измерения пространственных и временных норреляцнонных функций рентгеновсного излучения. В общем виде распространение электромагнитных волн в неоднородных средах описывается уравнением (4.3,3). Поляризации (4.3.2) для случая нзогропной среды Р (г, () = ~ Н (Г, г) Е (( — Г, г) г(Г' ') Зффекты только временнон некогерентности рассматривались в [58). 313 4 а. ХНФРАкт(ия ИА тРпхмпРных стРуктуРАх прн этом волновое уравнение имеет вид д'Е д'Р сэ ЬЕ = — -1-4л— д(э дН (4.6.1) (о — оператор Лапласа).
Для периодически неоднородных сред восприимчивость Н (г) можно разложить в ряд Фурье [28, 57): — Пг г ш г Н(г) ~нье ", кь о х~Н(г)е " дзг. (4.6.2а, б) л г Здесь о — объем элементарной ячейки кристалла, суммирование производится по венторам обратной решетки йю В двухволновом приближении решение уравнения (1) отыскиваем ввиде (см.
также [25 — 27!) Е(г, ()= А„(г, () ехр ( — (йчг+ив()+Аь (г, 1) ехр [ — (()ге+!с„) г+(ьАД, (4.6.3) где Аз(г, () и АА(г, () — амплитуды падающей и рассеянной волн, юг — средняя частота спектра волны Эффентивное динамическое рассеяние имеет место, если приближенно удовлетворяется условие брэгговского отражения: (йг+йь) А[.
Пользуясь методом медленно мениюшнхся амплитуд, в первом порядке по малому параметру р (р 2=4пн к1) получаем (ср, с (4.3.29)) йу~йэра- —,, д( ) Аа-ХеАс+ХААА. г 21 Г ы„д 1 йх [(йг+ "л) )г+- —,— д 1 АА =ХА г(г+(Хо+28) Ал, г г дг! (4.6.4) 2г~ д д )д[ й„д, д,, д„г=е о — Мп З вЂ” +сена — + — — [ 4г="ХгАо+ХААА 2г . д д 1 д1 й, дх ' да с д(7 ч- ми а — Ух созб — + — — — 1 АА=ХАА,+(Х,-(-28) А„ (4.6.5) (верхний знак относится к геометрии Лауэ, нижний — Брэгга). В рассматриваемом приближении вффекты дифракпионного расплывания не учитываются (предполагается, что толщина кристалла а ~1 (4.5.50)) Система (5) эквивалентна одному уравиевию второго порядка и, так же как волновое уравнение, описывает эффекты интерфереипионного смешения, обусловленные переотражениями от кристаллических плосностей. Отметим, что эти эффекты существенно двучерны: и нспользюнон приближении проходя~пи(! и рассеянный пучки не претерпевают изменении по координате ортогональирй где 28=1 — Дрг (йг+1сх)'-бРэгговскаа РасстРойка.
ПРн выводе (4) длЯ полЯ- рнзапии Р и пальзовано разложение (4.3.8). Экспериментально наблюдение эффектов динамического рассеяния реализуется либо в схеме Лаут, либо в схеме Брэгга; лля определенности рассмот. рнм симметричную геометрию (рнс. 4 28): излучение падает на входную грань кристалла х=О, при этом в схеме Лауэ йь ! х, в схеме Брэгга й* г, В системе координат, изображенной на рис.
4.28, >равнения (4) нхиэот вид 3Р4 Гл. а, случаяныя ВОлны В линейных сркддх плоскости, в которой лекат векторы йе и йа. Векторные ке эффекты связанные с поляризацией падающего излучения и анизотропией восприимчивости, малы в обычных кристаллах и становятся заметными лишь в сильно анизотропных кристаллах (пример для оптического диапазона — холестерические жидкие кристаллы) (26, 30). (гшхшхсеагю' (хвшш)шла лагах кгуст ш Ю Рис, 4.28. Геометрия динамического рассеяния: а) схема Лакэ', б) схема Брэгга. Решение уравнений (5) в квадратурах может быть найдено методом Фурье (см.
4 3 гл. 3) или методом Римана. Приведем выражение для полной энергии, рассеянной кристаллом под брэгговским углом *): Муа (х) = — ) ') мх г(( Ваа (х, х', 6 Р, х), где корреляционная функция рассеянного излучения Ваа (х, х', 6 Р, х) — — (Аа (х, (, з) Аае(х', Р, х)). Предположим, что корреляционная функция падающего па кристалл излу. чения имеет гауссовскую форму, т е. йт ( (х+х')а сохи 0 (х — х')эсоьх Ь аасхмаое 4п„"- (с (Г+Р) — (х+х') ип 0)а (с (à — Р) (х х') ап 0)а (2темас)' (~ с.)' (йе х ,а гшэ + — (хе — х' ) созе 0 — — ((с( — х ап 0)а — (ср — х' з!п 0)а)~.
(4,6,6) В ст Корреляционная функция в (6) записана в наиболее общем виде, для ограниченного в пространстве и времени волнового пакета, испытывающего одновременно регулярную н случайную пространствепно-вреиенную модуляцию В (6) ае — шнрвиа пучка, Я вЂ” радиус кривизны волпового фронта, г,— радиус корреляции, т„— время корреляции, т,„е — длительность импульса, à — обратный ") Все зависимости амплитуд от ч гохраигпотся.
318 ГЛ 4. СЛЗЧЛННЫВ ВОЛНЫ В ЛИННННЫХ СВВДЛХ Аналогичные решения можно записать для остальных корреляпвонных функций. Лля анализа рассеяния частично когерентного нз.чучання поступим так же, как и выше (см. й 3) при переходе от волнового уравнения к параболн~ескому в задачах днфракцин оптических воли. Отыщем решение (12) в виде (15), считая хозффициенты С (рй, р ~ к') функциями, медленно меняющимися па РасстоЯнивх поРЯдка Еекс, ЗДесь малый паРаметР Р поРЯдка Е,к,/ге( пРеД- полагается также, что корреляционные функции быстро спадают при й-ьоо Рис.
4.31. Изменение нормированной функции рассеянной волны с толщиной криста.чла при различных значениях х/Е,к,: Л; 3) 4; З1 З; 41 со. (Е «!ватке)з О,б. (переход в область тени при движении точки поперек пучка). Подставляя ука. ванное представление амплитуд С в (14), приходим к параболическим урав- нениям (---;~ = ,д де( 21- — —,) С =й, дй дсе / (4.6 16) г! 1 Г (1-еке) Г йекс сов б) 2 (Екке) х (х — х')е соке б ( /' (х — х')' сгме 0 1 ехр —,, (4.6.17) Е,к,г,' (! — (з/Еекс)е) / ( гео (1+(х/Еекс)е)) Определим здесь радиус корреляции как 4-сь д (х — х') (х-х')з! Влл ~з гй (х) = 2 ')д(х — ') длл ' которые даюг расплывание волнового пучка с ростом ь в поперечном сечении, С учеточ граничных условий (6).
упрощающихся для анализируемого монохроматнческого излучения, согласно (16) получаем, например (рис. 4.3!), 2Влл (х, х — х') улл = Вез (О, О) О З. ДНФРАКЦНЯ НА ТРЕХМЕРНЫХ СТРУКТУРАХ З(9 Из (17) можно получить довольно гроцоздкое выражение для г„(а), которос в пределе гч-еО (некогерентнос исходное излучение) дает гя (2) (з~эхс) <8 б (4 6.18) Угловая зависимость в (!8) интерпретируется следующим образом. При О 0 имеется вырождение (Аз=О), которое исключает перемсшивание пучков, поэтому г„ыО. Отметим, что при Еэяс-ь0 формула (18) неприменима, так как она получена в предположении 1,„, ~ га Формулу (!8) можно рассматривать как аналог теоремы Ван Циттерта— Цернике для светового пучка, испытыва<ощего динамическое рассеяние в трех- мерном кристалле; как и в (4.5.11), радиус корреляции увеличивается с прон- денным расстоянием.
Однако физика увеличения пространственной когерентно- сти здесь иная: при динамическом рассеянии радиус корреляции увсличивасгся за счет иитерференциониого сложения воли нри многократных переотражениях от атомных плоскостей; радиус апертуры в (18), в отличие от (4.5.!1), вообще ие входит (напомним, что в уравнениях (5) поперечный лапласиан опущен; пучки считаются широкиии. а(7-эхе ~ 1). Как уже отмечалось, векторный характер дииамнческого рассеяния стано- вится существенным, когда анизотропию ХА нельзя считать малой. Такой при- мер в рентгеновском диапазоне отсутствует; в видимом н ближнем ИК.диана. вонах указанная ситуация реализуется при наклонном падении волнового пучка на холестерический жидкий кристалл (ХЖК). Если ось ХЖК направ- лена вдоль оси х, егв диэлектРическая проницаемость равна )аз+6 О 0 а ~ 0 аа-1-6 соз (2дх) — 6 мп (24х) ~, (4.6.19) 0 — 6 з(п (2ох) еэ — 6 соь(2дх)/ гдето — обратны''.
шаг спирали, го — — (е, +е, )/2, 6 (е! — а )/2 (ец и ех — соот- ветственно продольная и поперечная компояенты диэлектрической проницаемо- сти) (ЗО). Прн О(п)4 и точном выполнении условия Вульфа — Брэгга 2хах„х , < '2 !< мп О/с д распространение светового пучка в ХЖК описывается уравнен- иямии (5), где роль Аэ н Аэ играют амплитуды эллиптнчески поляризованных компонент проходящей и рассеянной волн; Ао ь = А<О Ь! а!П О 1 !А<О,.! (4.6.20) (осн т)( ' ! направлены перпендикулярно у в йэ, ь), Решение уравнений для <о, л! этих амплитуд, помимо уже проанализированного эффекта увеличения радиуса корреляции г„(х), дает также изменение степени поляризации проходящего и рассеянного пучков (26).
Определяя интегральную степень поляризации в функции а, как в (26), находим, например, для проходящего пучха Ра =(1 — <) (г))7(3+<7 (г)), (4.6.21) О( ) -~1+ ~ 5) 1 '- ~ —,'*,, + .,' "!й —,' ~. Рассеиваюн<илгя цод брюс овским у|лом и! юк при юом оьазыиаетсн полностью по.<ир ивова н ным вйв Гл. «СЛУЧЛННЫВ ВОЛНЫ В ЛННВННЫХ СРВДЛХ й 7. Днфракция регулярной волны на случайном экране Здесь мы рассмотрим задачу, по постановке противоположную задачам ~ 5, в котором изучалась дифракция случайной волны. Проанализируем задачу о дифракции когерентного светового пучка на плоском экране со случайным пропусканием М(г).
В общем случае функция М(г) является комплексной: Л4 (Г) Гп (Г) Еяфа) (4.7.1) ге А,(г) = А,ехр ~ — --, — (агц~, (4.7.2) где а в радиус пучка на экране, квэффицнент а характеризует расходпмпсть пучка, значения а и а определяются фокусным расстоянием линзы и расстоянием от линзы до экрана. где гп(г) — амплитудный коэффициент пропускания, Ф(г) — фаза. Изменение т(г) связано с изменением прозрачности экрана, а изменение фазы Ф(г) — с изменением толщины или коэффициента преломления экрана.