С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 51

! Прежде всего, следует иметь в виду различие а числе измерений: временные задачи — одномерные, а пространственные задачи — трехмерные, при- 280 гл. к слнчхпиын волны в линннных срвдях чем направления, перпендикулярные направлению распространения волн, могут быть неравноправнымн. 2. Если во временных задачах во многих случаях процесс можно считать стационарным, то в пространственных задачах принципиальное значение для большинства случаев имеют конечные пространственные размеры случайных пучков (статистическая неоднородность, см. 4 8 гл.

!). 3 Наконец, следует отметить различие в виде исходных временных н пространственных хорреляцнонных функций поля. Для симметричного спектра временные корреляционные функции являются действительными. Поперечные (пространственные) корреляционные функции даже для симметричного угловаго спектра в общем случае комплексны (см 4 5). Последнее обусловлено тем, что в угловом спектре положительные н отрицательные углы физически различимы, а в частотном спектре положительные и отрицательные частоты физически идентичны.

й 4. Плоские шумовые волны в диспергирующей среде В соответствии с предыдущими результатами распространение плоских квазимонохроматических волн во втором приближении теории дисперсии можно описывать уравнениями (4.3.21), (4.3.26) или (4.3.24) в бегущей системе координат (4.3.22). Лля выяснения особенностей поведения шумовой волны в диспергирующей среде воспользуемся уравнением (4.3.21) для изотропной среды: (д 1 д .д дт~ (4.4.!) Условие на границе среды прп г=О запишем как А((, г=О)=-Ав(!).

(4 А. 2) Случайный процесс А,(() будем считать стационарным с корреляционной функцией вида Вв(т)=(А„(!) А„*((+т))=)ве ('тт г, (4,43) где т„— время корреляции. Решением уравнения (1) с условием (2) является А ((, е) = $ Ав(В) Н (( — В, г) ((6, (4.4.4) где Н вЂ” функция Грина: Н(( — В, г)=((2иггг) "ехр)( ~. (4.4.4а) Покажем сначала, что временная корреляционная функция В(т; г) (А((, г) А*((+т, г)) (4.4.5) стационарного случайного процесса при распространении в среде, 4 з плоские шнмовыа волны в диспвнгиннюшви санда 281 описываемой уравнением (1), остается неизменной.

Запишем уравнение для корреляционной функции (5). Умножим (1) на А" (Ры г) и сложим с УРавнением длЯ Аа(!т, г), Умноженным в свою очередь на А(1, г); в результате получим !д (д)' д! ) ° 2 (д! дгз)1 д + — 1д). + д! ) —,-2- д — з — дг,Д А (1, г) А* (!ы г) = О. (4.4.6) Усредним уравнение (6); вследствие стационарности процесса А (1, г) временные производные выпадут и получим дВ(т; г)/дг=0. Отсюда следует, что корреляционная функция стационарного процесса остается неизменной: В (т; г) = В (т; г = 0) = Во (т).

(4.4.5а) Полученный результат нетрудно понять, обратившись к спектру рассматриваемого процесса. Согласно (1) фурье-компоненты А„(г) амплитуды А(1, г) изменяются как *) Ам(г)=А (0)е-гопко, гр(щ, г)=( — +- -до~а)г, (4.4.7) ги 2 т. е. при распространении у функции А„(г) изменяется только фаза гр. Поскольку для исходного стационарного случайного процесса (см. (1.3.16)) (А„(0) А„" (0)) = бо (от) б (гв' — год (4.4.?а) спектральная плотность в среде 6 (оз, г) не зависит от фазового набега и 0(оз, г) =бе(оз). Переходя здесь к корреляционной функции, получим соотношение (5а).

Для нестационарного случайного процесса А,(!) соотношение (1.3,16) не выполняется и положение отличается от только что рассмотренного. Здесь мы не будем останавливаться на втой задаче, а только заметим в связи с пространственно-временной аналогией, что такая задача сходна с задачей о дифракции частично пространственно когерентной волны на отверстии, которая будет рассмотрена в 4 5. Влияние дисперсии на продольную корреляцию. Воспользовавшись решением (4), рассчитаем продольную корреляционную ") Заметим, что в силу соотношенвй Крамерса — Кроннга дисперсия скорости неразрывно связана с дисперсией поглощения.

Последнее нге прнведст, очеввдно, к нзмененню амплитуд спектральных компонент н вида коррсляцнонной функцнн. Тем не менсе пдалн от полос поглашевня нспользованпе толысо ураввення (1) оправдано, н тогда сохраняет силу (7). 282 ГЛ. 4. СЛУЧАИНЫЕ ВОЛНЫ В ЛННЕИНЫХ СРЕДАХ функцию шумовой волны в диспергирующей среде Вк (г, г+а) = кк = $ $ (А„(8,) А„'(8,)) Н (! — 9,, г) Н* (! — 8„г+5)5(95 5(9,, Учитывая (3) и используя замену переменных 5+5 г (5=! — — 9м Н =(— (4.4.8) В (11) введены характерные длины 1'„" =т,и, 1'," =-т", /2Р. (4.4.12) В первом приближении теории дисперсии (у=О, 1„"'- со) корреляционная функция (11) равна В '(5) = (кехР 5 — (5!1.")'), откуда видно, что характерная продольная длина 1„" связана с эффектом переноса временной когерентности с групповой ско- ростью и (ср.

с (3)). Во втором приближении теории дисперсии в системе коорди- нат (4.3.22), распространяющейся вместе с волной со скоростью и (что эквивалентно и-5=0 в (1)), имеем (э) =)к!1 555!к 1 В этом случае конечное значение продольной длины („"' обуслов- лено дисперсионным расплыванием флуктуационных выбросов. Более сложная картина имеет место в общем случае (и-5 ~0, Р чь 0), при этом модуль корреляционной функции (! 1) равен 1 'к ЫВ (5), = ),(! +(э!1„5 )')-5 'ехР ~ —,;;.; —,~. (4.4.13) выражение (8) можно записать в виде В,(г, г+Э) =(2П55) 5(г(г+5)1 5Л )кХ х ~~ехр( — 5 (,'+„+5--', — ' ',„~ ((,5(1,.

(4.4.9) Интегрирование в (9) нетрудно выполнить, используя формулу ехр ',— р'х' + 5)х) 5(х = — ехр ~ — ф, (4.4.10) которой мы часто будем пользоваться в дальнейшем. В результате для продольной корреляционной функции получаем (~к ) В (5)=(,(1 — М(5'!-5'ехр( —, .", „,). (4.4,11) К 4 е плоские шкмовыв волны в диспнргируюшвп среда 283 На рис. 4.10 представлены графики нормированной функции (!3) для различных отношений длин 1',и и 1'„*'.

)ув и» ур /а 1,1) а та др и/гв 8,1) йдл Р нс. 4 . ! О . Нормированная пр окольнаа я коррел яциоиная функция )В (з) ~ ! В,(я)(/В,(0) в зависнмостн от я/1'„и. Рнс. 4.П, Приведенная продольнаа длина коРРелЯцнн 1(~=1(г1(н) в завнснмостн от соотношения когерентных длин л=(!т'/Г„" Кривым соответствуют рввливиые отио. шення ногерентных длин (Г„ /~ оо,у)они) ~ Значение продольной длины корреляции а.= 1,и определенной по уровню е-' из (!3), удовлетворяет соотношению (1 Р))т! ! +(1 Л~т~)т! 1+ 1Н)п ~1+(1,Ф~)]т! = !. (4 4 14) !1аглядные вырагкепия для 1 получаются лишь в предельных случаях.

Если 1,' -1„', то после алгебраических операций полу- чаем Вп(! ) з/ (1(о/1(е))т~ Значение 1 растет с уменьшением длины 1(я> (12), т, е, с увеличением дисперсии групповой скорости (рис. 4.!1). При 1'„*'~ (1„"', преобразуя (!4), имеем 18 - 1„' ' (ехр (4 [1 — (1'н/1'„') Ц вЂ” ! !"'.

(4,4, 15б) В этом случае происходит уменьшение длины продольной корреляции, когда длина 1'„*' уменьшается. В заключение полезно сопоставить поведение в диспергирующей среде временной корреляционной функции В(т) стационарного случайного процесса и продольной корреляционной функции Ви (д). В соответствии с (7) и (7а) продольная корреляция фурье- компонент амплитуды поля равна (А (г) А'.,(ач-к); = А Я„".'тат)вы'.' ' " . гы вг) = = бр(оз) аорсы *) 6(ш' — оз). (4.4. !6) 284 гл. «. слкчаиные волны в линеиных средах Интегрируя (16) по с(ш' с(ш, в первом приближении теории дисперсии, где фаза гр= о«эти, получим + гч + го Вн(а/и)= ~ ба(оз)е™~ыйо= ~ бо(ш)е' 'ам=В(т), т. е.

здесь отношение зти играет роль времени т, а функция Вн(в) прямо выражается через В(т). Однако в случае язых из-за того, что фаза гр (ш, з) квадратично зависит от частоты со (см. (7)), имеем В,(з) = ~ б (со)ехр)Ь ~" + я з) с( Здесь простой связи между В (з) и В(т) нет. 0 прямых измерениях групповой скорости. Исследования прохождения шума через днспергирующую среду могут быть поло- жены в основу прямого «шумового» мето- 31 да измерения групповой скорости *). Групповая скорость световой волны— важный параметр вещества.

Лля ее опре- Ю деления в оптике обычно используется 2 8 два метода: 1) групповую скорость можно вычис- 2 лить, располагая результатами измерений фазовой скорости с помон.ью монохрома- 1 тического излучения; 2) прямые измерения групповой скоРис. 4лй. схема интер- рости в веществе можно осуществить на ферометра ййайкелы яз основе измерения времени запаздывания д я змерения тру азой световЫХ импульСОВ. скорости в образце 3. Нетрудно убедиться, что величину групповой скорости можно также найти из корреляционных измерений, определяя взаимную корреляцию шумовой волны на входе и выходе исследуемой диспергирующей среды.

В качестве примера рассмотрим иитерферометр Майкельсона, в одно плечо которого помещен исследуемый образец 3 (рис. 4.12). Обозначим поле в этом плече через Е,(1) Во втором плече интерферометра поле Е,(т — т) испытывает временную задержку т (т = = 2(1, — 1,)1с, где 1, — длина плеча 1 без длины образца 3). *) таким образом, речь будет идти об одном из вариантов шумовой спектроскопии вещества. Заметим, что в этой книге мы уже сталкивались с примером определения функции Грина линейной системы по результатам корреляпиоииых юш репин (ель Е й гл, 3) В й 5 гл.

б обсуждается шумовая спектроскопня двухуровневых систем. з ч. плОские шумОВые ВОлны В диспеРГиРуюшеи среде 2ВЧ Интерференционная картина описывается общим выражением (4.2.13); для ее расчета в данном случае следует принять во вни- мание дисперсию исследуемой среды. С ее учетом комплексная амплитуда Ат(1) квазимонохроматического поля Е,(1) дается вы- ражением +оо А,(1, 1)= $ А,(0)Н(1-0, 1)й0. (4.4А?) Здесь Ао(1) — амплитуда исходного поля, функции Н(1 — О, 1) оп- ределяется (4а), 1 — удвоенная длина исследуемой среды.