С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 50

В самом деле, 276 ГЛ «СЛУЧАПНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНЕИНЫХ СРЕДАХ дА ! дА . ! д'А — + — — — «-,— -О, дг и д«2В д«« (4.3.2!) где параметр г«= —, = — (ил) характеризует дисперсию группод«А д д«А«да« вой скорости. К уравнению (2!) можно прийти и более наглядным путем. 'В отличие от решения (!4) уравнения (12), решение (!9) зависит как от г, так и от ! — 2)ш А(г, ! — г7и), т.

е. при учете дисперсии среды во втором приближении форма квазимонохроматической волны не сохраняется. Перейдем к системе координат ь=-г, «! =! — Е(и, (4.3.22) связанной с распространяющейся волной, и будем полагать, что зависимость амплитуды А от переменной «! является более быстрой (происходит переход через границу волнового пакета), нежели от переменной ь: А = А(ь, «)). (4.3.23) Тогда, сохраняя в (!9) члены одного порядка, приходим к параболическому уравнению: дА . ! д'А —, — ! — А« —., =-О. д', 2 дч« (4.3.24) Уравнения (24) и (21), в отличие от (!9), приближенны в смысле учета как пространственных, так н временных производных.

Подставляя (15) в (2!), найдем, что во втором приближении дисперсионные свойства среды аппроксимируются квадратичной зависимостью + ) ( ) дА«+2д' (4.3.25) Напомним, что уравнение (21) относится, к изотропной среде. Для аинзотропной среды это уравнение принимает вид [е[йеИ(!7А+зд — «'-2 к"д!)=О. (4.3.26) Здесь а = д)«/дь« — лучевой вектор (вектор направления потока энергии), !з!= !/и, а=да(д«В. Вектор [е[ке)! коллннеарен вектору В; следовательно, уравнения (26) и (2!) характеризуют престранственные изменения комплексной амплитуды А вдоль лучевых векторов. 'Пусть первые производные имеют порядок р (!« - !), тогда второй сомножитель согласно (12) с точностью до р' равен нулю.

Отсюда следует, что выражение (20) имеет по крайней мере порядок р'. Поэтому уравнение (19) с точностью до р' можно записать как Э з мигов медленно мшшюшпхся хмплитэд Изложенным выше способом можно получить уравнения и в более высоком приближении. Однако с увеличением точности получаемое уравнение для комплексной амплитуды А усложняется. Волновые пучки; учет днфракции; однородные и неоднородные среды. Здесь решение (3) следует искать в виде Е = еА (х, р, г) е' ""' — ы>. (4.3.27) В первом приближении изменение комплексной амплитуды А вдоль всех координат имеет одинаковый порядок, при этом поле (27) можно записать как Е(г, !) =еА (г)е'( ' — ь ~, (4.3.28) Подставляя (28) в точное уравнение (3) н учитывая (7)„ получаем [е[йе[[тА =О, или зтА =О. (4.3.29) Общим решением (29) является (ср.

с (14)) А = А,([зг[), (4.3.30) т. е. амплитуда Л представляет со ой определяемую граничными условиями функпию координат в плоскости, перпендикулярной лучевому вектору з. Уравнение (29) н его решение (30) сиответствуют приближению геометрической оптики. Прн распространении в среде волновых пучков вида (4.!.!) с узким угловым спектром изменения комплексной амплитуды поперек пучка происходят быстрее, чем вдоль, поскольку происходит переход в обласзь тени [2[. Ьыстрые изменения волны вдоль направления распространения учитываются экспоненпиальным множителем в (4.!.1). Подставим выражение (4.!.!) в уравнение (3) н учтем условие медленности изменения комплексной амплитуды: Получим следующее приближенное уравнение: нА .

1 аг йй —,+! - — АьА=О, (4.3.3! а) Ф У' где й ь = — + — — поперечный лапласиан. В более общем дхэ да' случае уравнение (31а) следует записать как зо'7 А + г' й — йз А = О, 2Ф~ «.3.31б) где з, = з/з — единичный вектор. Параболические уравнения (31) учитывают дифракциопные эффекты в так называемом квазиоптнческом приближении. Для 278 ГЛ. а.

СЛУЧАПНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНГПНЪ|Х СРЕДАХ выявления существа использованного приближения возьмем А в виде А а — ачг В соответствии с (3)а) имеем 2/го|7, + а)л + |)о' = О. В то же время согласно точному уравнению (3) ()со+а!) =(аоо, или 2йо|)а+|)а+а)ог+|)а О. (4.3.32) (4.3.33) Из (33) и (32) следует, что в квазиоптическом приближении сферическая поверхность заменяется параболоидом.

Аппроксимация поверхности волновых векторов (ЗЗ) параболондом, ось которого совпадает с направлением среднего волнового вектора йо, очевидно, оправдана лишь для относительно узких угловых спектров ((г/Фо ~ !). Параболическое уравнение (3(а), обобщенное на неоднородные и нелинейные среды, используется для описания распространения волн в случайных средах (!)! и нелинейного взаимодействия квазиплоских пучков (8 — )О) (см. также гл. 8). Будем счнтать пеоднородностн среды круппомасштабнымн: характерный ма.штаб нзленсння воспрннмчнвостн среды 1н,„до значительно превосходит длину волны Л (1ааоля )) Л).

В этом слузае рен|енне волнового уравнення (3) можно искать в квазноптнческола приближении Описанная процедура упрощения лает 12йоУА — АЛА — й„'г (г) А =О. (4 3.34) где й, — волновое число, связанное с постоявнон частью днэлектрнческон проннцаемостн, в(г) — флунтуацнонная чвсть днэлектрнческой проницаемости: в (г) = 4пЙ (г). Мы не имеем здесь возможности подробнее остановиться на условиях перехоца от (3) к (34). Заметим только, что уравнение (34) не учитывает надичня волн, рассеянных неоднородностямн среды в обратном направлении. Общее уравнение для случайных волн.

Выше получены приближенные уравнения, описывающие распространение в линейной среде волн, случайно модулированных только во времени или только в пространстве. Хотя на практике обычно приходится иметь дело со случайными волнами, модулированными одновременно в пространстве и времени, раздельное рассмотрение эффектов частичной пространственной и временной когерентности очень В неоднородных средах линейная воспрннмчнвость среды Н явно завнснт от координаты г (см.

(2]). Пусть нзотропная неднспергнрующан среда обладает слабыми случайными неоднородностямн: н(г)=н+Й(г), где (((Й(г]) ]1' и ч!. й 3. МЕТОД МЕДЛЕННО МЕНЯКЪШИХСЯ АМПЛИТУД часто вполне оправдано. Как будет видно из дальнейшего анализа, это связано с существенным различием в темпе проявления эффектов, связанных с временной и пространственной модуляциями. Вместе с теы для целого ряда задач оказывается необходимым одновременный учет обоих видов модуляций. Уравнение в этом случае можно записать, пользуясь уравнениями (31) и (2!) (или (24)). Полагая, что производные в них одного порядка, имеем эв(ЧА+ — ~ А) — ( — д —,+(- — Л(А=О, (4.3.35) ! д ! .! РА .! 2йэ Общее уравнение (35) записано в квазиоптическом приближении и во втором приближении теории дисперсии.

Пространственно-временнаи аналогия. Н исходное уравнение (3) пространственная координата г и время Г входят несимметрично; по времени, кроме дифференцирования, производится интегрирование в выражении (2) для поляризации вследствие частотной дисперсии. Линейное волновое уравнение принимает симметричный вид, если среда обладает одновременно и пространственной дисперсией: при этом линейная поляризация среды записывается в виде Р (г, () = ) ги' ) г(зг' Н (Г, г') Е (( — (', г — г'), (4.8.86) Однако прн приближенном описании распространении воли, модулированных только в пространстве, и волн, л~одулированных только во времени, удается выделить важные частные случаи, которые описываются сходнымн уравнениями.

Действительно, в квазиоптическоч приблия енин распространение пространственно-модулированных волн подчиняется параболическому урнвнению (3!а). Урав1гениеьг такого же типа во втором приближеаии теории дисперсии описывается распрсчтраненне волн, модулированных во времени (см. (2!) и (26)). Дпспсрсиопному расплыванию волнового пакета можно уподобить дифракционное рас щиреннс пучка.

Сказанное означает, по результаты ре~ггення временных задач могут быть а определенной мере перенесены на пространственные зада |и и наоборот Пространственно-временная аналогия распрогтраняется на нелинейные волновые задачи (3, 8, 9) (см. также й ! гл. 8), и ее можно обобщить на распространение волн в неоднородных и нестациояарных средах. Ценность аналогии состоиг в том, что ояа позволяет предсказать качественную картину поведения малулнрованной волны, если известны результаты, относящиеся к волне- аналогу Вместе с тем следует себе ясно представлять ограниченность этой пространственно-временной аналогии Так, в случае распространения модулированных волн в линейных средах возможно отличие временных задач от пространственных, и причины этого заключаются в следующем.