С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 52

Само поле Е, (1, г) имеет вид Е, (1, г) = А, (1, 1) выме-а'-а ю, (4.4 А 8) где /т и й,— волновые числа в исследуемой среде и воздухе соот- ветственно. Поле Е,(1, г) распространяется в среде без диспер- сии, поэтому Еа (1, г) = Ао(1 —,т) е™чн-т~-а,~~ Корреляция между полями Е, и Е, В (т; 1) = (Е, (1, г) Е,* (1, г)) = (А, (1, 1) А„* (1 — т)) ьячомт а 1. (4 4А9) Рассчитаем сначала значение (!9) в первом приближении тео- рии дисперсии (параметр о=О). При этом согласно (1?) ампли- туда А,(1, /) = Ао(1 — 1/и) и корреляционная функция равна В(т; 1) =(Ао(1 — //и) Ао (1 — т)) е'по'т-оп =Вл(т — 1/и) е™"-ао Ее максимальное значение имеет место при временах задержки ') т=//и. (4.4.20) Отсюда ясно, что, зная величины т и /, можно определить груп- повую скорость в диспергирующей среде (12$ Рассмотрим теперь, не изменится ли полученный результат, если дисперсию среды учесть во втором приближении (арчь О).

Подставляем в (19) выражение ()7) и Выполняем необходимые операпии: В(с 1) е~цчмч — ао ~ (Ао(0) Ао (1 т)) Н(1 0 1) й0 (4 4.21)' Для исходной корреляционной функции В,(т) вида (3) с помощью замены 9 =1 — 1/и — 0 приходим к выражению +о В(т,' 1) =(12пй/)-па/ое'<м~т — еп ~ ехр ( — ' /," ф -)-1--':-(с(т). т'„201 ) ч) Это утверждение справедливо пе только для амплитудной временной нитерферометрин, но н для интерферометрни интенсивности. Соответствующие расчеты для интер~)мрометра интенсивности, основанного иа явлении генсрапии второй -армовики, приведены в работе (Г2) 1см, также й 4 гл, 5).

гл а случАЙные ВОлНы В линеиных СРедАх Выполняя интегрирование, получим 8(т; ()=(,(1+у')-ц'ехр( —, ", +г(оэ,т — М вЂ” сс(т))~. тй(1+з ) (4.4.22) Здесь введены обозначения г — (/(яш', сс(т) = — згс1й г —, ", (4.4.23) = 2 тй(1+У) ' длина (ш' определяется (12). На рис. 4.!3 изображена интерферограмма (4.2.13), рассчитанная для корреляционной функции (22).

)! 1) -Я -у р 1 г -г -у а у г (г-бн)уг (г-4/и)/г, Щ Рве. 4.13. Интерференпнанная картина в внтерферометре, изображенном нв рнс. 4.12 112]: а~ если я=с ~первее прнблнженне тепрнн двеперевпь ширина керреляцнпннпй функ. цнн апределветев временем нпрреляцн» нехпднпй вплны: б> прн яфо нпррелнцнпннва фуннцна ушнрветен (рнеунпн ппегрпен для яэ УЗ)- йуаксим)м корреляционной функции достигается нри временах задержки, удовлетворяющих условию (20), т. е. на это условие не влияет дисперсия групповой скорости (дФО). Однако время взаимной корреляции оказывается зависящим от дисперсионных свойств исследуемой среды.

Согласно выражению (22) измеряемое время корреляции равно тн'" (г) = т„ (1 + г )" , (4.4.24) т. е. Оно зависит, вообще говоря, от дисперсии групповой скорости я=6 (и '). й 5, Дифракцня случайных волн Теперь мы перейдем к ачалнзу дифракции случайных волн. Мы будем пользоваться при этом приближенным параболическим уравнением *), выведенным в 2 3. ') Надо сказать, что в литературе (см., например, 11, 61) рассматриваемые в настоящем параграфе явления часто зяалязвруются нв основе волнового урввзсння. Однако нв этапе получения окончательных результатов прнменяют прнблнженне, приводящее к тем же формулам, которые следуют нз парабола. Ф З. ДИФРАКЦИЯ СЛУЧАПКЫХ ВОЛН В, (г„г,; г)=,А (г„г) А" (г„);, поступив так же, как в Э 4.

Заменим в (1) координату г на гг и умножим уравнение на А*(гз, а). Полученное таким образом уравнение сложим с этим же комплексно сопряженным уравнением, предварительно поменяв местами индексы 1 и 2. Выполняя статистическое усреднение, придем к уравнению для поперечной корреляпнонной функции: )д б-+г 2й(бь,г — Ль,з)( В, (г,, г;, з) =О. В новых переменных г=г,— г„ уравнение (2) имеет вид 1---+ г — б — ~ В, (г, Й; з) =- О. (4.5.4) й = г/з (г, + г,) (4.5.3) чесиого уравнения.

На основе параболнчесного уравнения зти формулы полу. чается быстрее. Применение параболического уравнения в теории частичной когерентности методнчесни оправдано также тем, что для его решения тре. буется задание лишь значения слу шйной функнин на гранино, а для решения точного волнового уравнении нужно еще задать значение производной. Дифракционное изменение радиуса корреляции прн распространении волны; теорема Ван Циттерта — Цернике. Мы начинаем рассмотрение статистических дифракционкых проблем с фундаментальной задачи о преобразовании поперечной корреляционной функции светового пучка в процессе распространения.

Мы убедимся, что поперечный радиус корреляции частично когерентного волнового пучка в процессе распространения за счет дифракции увеличивается. Это обстоятельство имеет много важных приложений в физической и прикладной оптике; часть из них рассматривается в этой главе, об использовании указанного обстоятельства в лазерной технике см. ~ 2 гл. 8. Мы рассмотрим сначала монохроматический волновой пучок со случайной поперечной структурой.

Влияние временной некогерентности на дифракциониое преобразование поперечных корреляционных функций обсуждается в конце этого параграфа (см. формулы (37), (38)). Распространение волны, обладающей неполной пространственной когерентностью, в квазиоптическом приближении описывается уравнениями (4.3.31) для комплексной амплитуды. Направим ось г вдоль направления распространения волны, тогда имеем ' — + с — Л,) А (г, г) = О. (4.5.1) Получим уравнение для поперечной корреляционной функции (4.1.3): 288 ГЛ с СЛУЧАЙЯЫе ВОЛНЫ В ЛийеЙЯЫХ СРЕДАХ Из (4) видно, что для статистически однородного процесса (ВА не зависит от  — см. (1.8.2)) поперечная корреляционная функция не зависит от г (ср.

с результатом ~~ 4 дл стационарного случайного процесса). Чтобы найти решение уравнения (4), воспользуемся фурье- преобразованием поперечной корреляционной функции В е(г, К; г). Для фурье-амплитуд функции Ве получаем простые уравнения первого порядка: ( —,— (-„- Р)В,(«, (); )-О, д 1 (4.5.5) +со ВА (а (), «) = (2Л) А ~ ВА (г сс «) е~сасч аас Даг ДЕД Решая (5), получим ВА (а, р; г) = В „(а, ()) е.'аале, (4.5.6) где В,„(а, ()) †фур-образ корреляционной функции В~ее(г, 11) на границе « — О. Произведем обратное фурье-преобразование выражения (6): -~- со Зе (г, й; г) = ~ $ В, (и, $); «)е — '<ас+ан~ Рис(ар= ~ '1 В,, (а, ()) е'аа*м — Ыас+ак е(аида)) - (2п)-' ~ ...

~ В, (г', й') ехр К (-- и(Ъ вЂ” и(г — г') — () (14 — 11')~ х Х чаи с(е)) с(аг' с(а11' Используя определение 5-функции: (2п)-' ~ ~ехр)1 — К ~(г — г') — - р1а~(чаи 5(г — г' — — ' (1), и ее свойства, для поперечной корреляционной функции окончательно получаем В, (г, 11; г)= + са С'(г) ~ ВАа(г', й') ехР ~ — ( — (г — г')(14 — 14')~Лег'е(ЕОс, (4.5.7) где С' (г) = (л/2пг)' = (А«)-'. Формула (7) в квазиоптическом при. ближеиии дает связь поперечной корреляционной функпии в произвольной плоскости с ее значением в плоскости г О (рис.

4.14). Ь Ь ДНВВАКПИЯ СЛИЧАННЫХ ВОЛН Рассмотрим прежде всего важный частный случай выражеиия (7). Заменим корреляционную функцию В~„(г', К') реального поля в плоскости и=О иа 6.фуикцию, т. е. будем считать, что поле создается 6-коррелироваииыми в проотраистве источниками: В,„(г', К') =йз/(ьс') 6(г'). (4.5.8) Функция 1(К') характеризует распределение средней иитеисиж ности поля, а коэффициеит й определяется из условия ~ В', „(г, К) ((вг =йв1 (14). Для корреляционной функции (8) формула (7) принимает вид -(- о Вь (г, ьс; г) =Секр~ — 1 — гй~ ~ 1(ьс) ехр ~1.--гь(') с(з/с(', (4.5 9) где С йьС'= (й/Хг)ь = (йй/2пг)Я.

Формула (9) выражает теорему Вам Циттерта — Цернике: поперечная корреляциоииая функция поля связана фурье-преобразованием с начальным распределением интенсивности. Возвращаясь в (9) к старым переменным г, и г, (3), получаем В, (г„г;, г) Секр(1 — (гь — г()) Х () (( ', д'( р(( — ((*,— *,(*'-ь(д,— д(е'(((з.'зя'. (45 (0( Удобство расчета с помощью выражения (9) или (!0) зависит от вида распределения интенсивности 1(ьс). Из (9) и (!О) видно, что при г 0 корреляционная функция и поля отличается от начальной (8), . ('( а радиус корреляции уже ие ра- ' (' веи нулю. В формулы (9) и (10) входит отношение й/г', позтому при й/г- со получаем одинаковый ре- у зультат независимо от того, уст- р 4! р РЕМЛЯЕМ ЛИ МЫ ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО К бескоиечиости (й-ьсо, приближе- произвольной плоскости наблюае.

иие геометрической оптики) или ния лу. полагаем г- О. Если 1(ьт) существенно уменьшается иа масштабе порядка а (а — радиус пучка), то радиус корреляции согласно (о) равен гк и/йа. (4,5.11) ЬО С. А. Акивяяв в АИ. 290 4 слгчаииые волям в лииеииых спадах Таким образом, радиус корреляции линейно нарастает с пройденным расстоянием. Речь идет, действительно, о существенно дифракциониом эффекте; ои тем больше, чем больше длина волны Х. Наглядное физическое объяснение полученного результата заключается в толп что по мере распространения фазовые фроиты элементарных воли, па которые можно разложить поле пучка, совпадают между собой на все возрастающей с ростом г площади.