С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 58

Эта задача представляет интерес как в статистической оптике, так и в статистической теории антенн (11, 18 — 23, 45$ Можно выделить весьма важный частный случай, когда т=1 И, СЛЕдОВатЕЛЬНО, М(Г)=ЕЯФН~; таКОй СЛуЧайНЫй ЭКраН НаЗЫВа. ется фазовым. Модель рассеивающего объекта как случайного фазового экрана является — довольно распространенной как в радиофи- вике, так и в оптике. Она успешно испольл зуется для изучения распространения волн в 0 неоднородной ионосфере и межзвездной плазРце 4 ЗР фояуецрця МЕ, тУРбУЛЕНтНЫХ СРЕДаХ.

яа светового пучка цц Случайный фазовый экран достаточно подяращаюшцяся мято робно изучен и теоретически 142, 43, 461 Поэтому ниже мы ограничимся рассмотрением лишь одного примера, заимствованного из оптики. Речь пойдет о модели так называемого квазитеплового источника света, реализующейся при рассеянии когерентной световой волны (например, от лазера) на вращающемся матовом диске 120 — 22]. Такой источник часто используется в экспери. ментах по статистической оптике, он детально изучался экспериментально, так что здесь возможно подробное сравнение теории и эксперимента.

Случайный фазовый экран. Пусть на движущийся фазовый экран нормально падает лазерный пучок с гауссовским профилем (мода ТЕМея), предварительно прошедший через линзу (рис. 4.32). В плоскости экрана комплексную амплитуду пучка можно представить в виде 221 » 7 днФРАкцня ВОлны нА случАйном зкРАна Непосредственно за случайным фазовым экраном имеем А (г, Г) = А, (г) е'Фн — "О = Аа ехр ~ — —, — юаг»+ )Ф (г — У()~, (4.7.3) а' где ч — скорость движения экрана (экран с «замороженными» неоднородностями).

Случайный процесс Ф(г) считаем статистически изотропным, дисперсия процесса Ф« =ОФ, а коэффициент корреляции у,»(з) =Ф(г) Ф(г-(-з)~о», (4.7А) Поскольку флуктуации Ф(г) связаны с изменением толщины экрана й(г): Ф(г) = — й(г), 2л Ьл А то дисперсия «2л Ал ~» ОФ=~ ~ ] о), и) =Й«. (4.7.6) Х вЂ” длина волны излучения, Ьп — разность показателей преломления материала экрана и окружающей среды. Изменение дифрагнрованного поля на расстоянии ( От случайного экрана до плоскости наблюдения дается выражением типа (4.6.66): +сю А (г, (; )) = $ Аа (г») е'Р<" -"О Н (г — г,) Ргм (4.7.6) Н(г — г,)= — ехр — (- (г — г,) ].

Временная корреляционная функция рассеянного поля при этом записывается следующим образом: В(г, 6 т) = '(А(г, 6 )) А*(г, (; (+т)) = +СО = ~ ~ А, (г,) Аа" (г«) Н (г — г») Н* (г — г«) х х (ехр ([Ф (г, — У() — Ф (га — ч ((+т))]) 6»г, 6«г». (4.7.7) Под интегралом в (7) фигурирует структурная функция, представляющая собой двумерную характеристическую функцию процесса Ф(г).

Если статистика поля Ф(г) гауссовская, то СФ (г, — г«) = (ехр ( [Ф (г«) — Ф (г»)]) = ех р ( — ОФ [1 — у,р (㻠— г,) Ц (4.7.8) и выражение (7) записывается как В(г, (; т)= +О» ~ ~ А,(г,) А,", (г») Н (г — г,) Н" (г — г,) С<р (㻠— 㫠— мг) п»г, «(аг». (4.7.9) 11 С. А. А«ааааа а АР. зтт гл. с слгчлиныа волны в линкиных сгвдлх Воспользовавшись выражением для функции Грина (6), представим (9) в виде В(г, 1; т)= +СО ! .а„ 12Щ Д вЂ” ~ А (и) Сф (ц — тт) ехр ~ — г -г (2г — и) п(г(ги, (4.7.10) 27 +СО А (и) = ~ А, (и,) А,* (и, + и) ехр (( -' ппг( г(гиг.

Здесь произведена замена переменных г,=ц„п =г,— г,. Учиты- вая (2), для функции А(п) имеем лаг „! лг А(п)= — А ехр ~( — -- — 1 ц ~~, о ( гоэ тт ш =~2а-г+ 2и+ ") аг~ Вследствие этого корреляционная функция (10) приводится к виду В(г, 1; т)= +со = ~ — ! — Ао ! С,о(п — тт)ехр ! —; — 1 — гц д и. (4.7.12) ~ го~глаг о Г аг . ло 12л~ ) 2 ! ~~г ! ) Рассмотрим частный случай, когда коэффициент корреляции у,э(э) имеет гауссовскую форму: у ь (э) = е хр ( — (э/го) г), где го — радиус корреляции фазовых флуктуаций, Тогда функ- ция (8) равна С,э(э) = ехР ( — айаг!1 — ехР ( — (а)го)г)!).

(4.7.13) Однако для произвольных значений фазовых флуктуаций ин- тегрирование (12) для функции С,о(э) (13) не удается выполнить. Наглядные аналитические результаты можно получить в предель- ных случаях сильных (о)р>)!) и слабых флуктуаций (о" 4*1) При больших значениях офг функция С,ь(а) очень быстро убы- вает от единицы до ехр( — щ,) прн изменении э от нуля до з»го. Самое быстрое изменение Сф(а) происходит при а(г„и поэтому можно использовать приближение ехр ( — (а~го) ) ! — (э/го), а Сф (э) заменить приближенным выражением (см.

1211) Сф(э) =ехР ( — о3)+!! — ехР ',— оаг)) ехР ( — оэ(э~го)г). (4.7.14) Используя (!4), интеграл (12) легко вычислить: В(г, (; т)==)оо,(г, 1)+Ве(г, В т), (4.7.15) э т диФРАкция ЕОлны нА случАйнОм экРАне где = 2 ( 2 ) А1Ехр 1 сгФ ( 2! ) 1, (4.7.16) ВФ(г, 1; т) =,, —,(1 — ехр( — аФ))х («ааи»!2!)а Х А,' ехР ~ — (()согн»/!)х+ (отт)а+ — ахйагоатгт) (1+ панга)-х~. (4.7.17) Здесь введено обозначение О =ОФгса. а»» (4.7.18) Функция 1„, (16) описывает распределение интенсивности нерас.

сеянной части пучка, дифрагирующего на собственной апертуре Очевидно, что при аФ>) 1 значение )р,„мало. Выражение (17) соответствует рассеянной части пучка. Первое слагаемое экспоненты ответственно за распределение интенсивности в поперечном сечении пучка, второе слагаемое — за временную когерентность поля и последнее — за допплеровское сме. щение частоты, которое равно нулю, когда направление наблюдения (вектор г) перпендикулярно скорости т. Ширина рассеянного пучка в плоскости наблюдения о =- — (1+панга)нх. 2! (4.7,19) «ао» В реализуелтых на практике условиях оп»)) 1, так как спх» = = ОФ(ГЭ)са), П»=ьса И ОЬ)1'). ПОЭТОМУ В РЕаЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ ширина рассеянного пучка ар —— 20!)йа — — 20 4»)! «ага (4.7.20) не зависит от первоначального значения, а определяется статистическими хаРактеРистиками слУчайного экРана (сгь и г,) и Расстоянием ! От экрана до плоскости наблюдения.

Напротив, при условии опг~ 1 время корреляции излучения т„= 2пг!О (4.7.21) не зависит от характеристик случайного экрана. Согласно (11) параметр гэ и, следовательно, время корреляции т„ зависят от радиуса а и угловой расходимости (величины а) падающего пучка и расстояния !. На рис. 4.33 показано время корреляции для различных ширин пучка а, При ах=1)йа)»'2 и а=О время корреляции достигает максимального значения сам ! гм тын»а» = («') (4.7.22) ') В типичных услоаичх . 1О' си ', Ап 0,3 — 0,3, ог,»ы1 — 1О мхи и, согласно 13), оо,-— 3 — 30. 11 ГЛ.

Е. СЛУЧАИНЬГЕ ВОЛНЫ В ЛИНЕПНЫХ СРЕДАХ Если падающий световой пучок рассеивается вращающимся матовым стеклом, то скорость и=!И, (4.7.23) где 1! — угловая скорость вращения матового диска, )7 — расстояние от оси вращения до центра пучка на диске. В этом случае ° 3 имеются дополнительные возможности изменения времени корреляции за счет изменения значений 11 и )7. Следует отметить, что стати- 4 стика рассеянной волны становится гауссовской, когда ширина исходного пучка а гораздо больше радиуса корреляции г, неоднороднс отей рассеивающего экрана [11, Я 21, 22). г Теперь обратимся к случаю слабых флуктуаций фазы (нр м, 1); здесь можно воспользоваться следующим приближением для функзг Г Чггггг ции (18): рис, 4.33 Зависимость времени Ср мм 1 — оф+оевехр ) (ггга) ). норреляиии рассеянного излучения (4.7.24) от скорости вращения магоаого диска ири различных фокусных Соотношение (24) можно получить расстояниях линзы [24! из выражения (14), если в экспо- л ~з,о см; гг в,о см; зг з,з гм Рвднус нентах, в которых отсутствует пасветового пучнв нв линзе во в«ех случаях одннанов.

раметр з, считать а!Р(1, а при на- личии з положить аф=1, т. е. в (18) принять о'=г,'. Прн таких предположениях можно использовать формулы (15) — (17) и (!9), в которых, однако, нужно учесть новое значение о'=г,". При этом время корреляции рассеянного излучения, определенное из (17), тн = — [!+нагих)ггз - 2ги)п 2 (4.7.25) совпадает с результатом (21) для сильных флуктуаций. Радиус же рассеянного пучка согласно (19) а =( -)[ги-з+г„г)ггз ~-— (4.7.25) и меньше, чем в случае сильных флуктуаций (20). Дифрагированное поле во фраунгоферовой зоне; решение по методу Рэлея. Рассмотрим обший случай днфракпни регулярной волны на плоском экране со случайным комплексным пропуска- 325 5 7 ДИФРАКЦНЯ ВОЛНЫ НА СЛУЧАПНОМ ЭКРАНВ нием (1). В методе Рэлея днфрагированное поле разлагается на плоские волны.

Разложение произвольного поля по плоским вол- нам дается формулой (1.8.4): Е(Й, 1) = ~ ~ Ж(о7, к) е'нм — "я~7(о77(ой, (4.7.27) где Ж(о7, к) — амплитуда волны с частотой со и волновым вектором й. Ограничимся рассмотрением монохроматических полей, тогда Ж(о7, 1с) =Ж(1с) 6(о7 — о7о) 6(й — оо(с). (4.7.28) Появление в (28) функции 6 (й — о7(с) связано с дисперсионным соотношением Й = о7!с. Амплитуды волн, которые не удовлетворяют этому соотношению, равны нулю 111)А В этом случае Е(14, () =Е(14)е""', где + СО Е (11) = ~ Ж (1с) 6 (й — о7о/с) е- 7~ я 7(ой. Представим К)4 в виде 17 й = Й7г + й„х+ Й„77 = й,г + хг, й' = К+ хо. (4.7.29) Интегрируя (29) по 7(й„ получаем Ш Е(г, г)=Е(14)= ~ Ж(х)е '1""- ""' — '"*')7(ох.

(4.7.30) Е(г, г=0)=А,(г)= ~ Ж(х)е-' 7(ох, — 07 откуда +со Ж (х) = — о ') Ао (г) е'»" 7(ог. Следовательно, Е(г, г) =--., ~ ~ А,(г,)е — '(оп — 71РУЫ вЂ” »' 1,(о.,( 7 со Ахо,) (4.7.31) Разложение (30) состоит из суперпозиции волн двух типов. До тех пор, пока й'~х', это плоские бегущие волны. Значениям й' с'х' соответствуют неоднородные волны, затухающие в направлении г.