С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Источником теплового излучения, как и рассмотренного в гл. 3 теплового шума, является хаотическое движение заряженных микрочастиц (электронов, ионов), Однако, в отличие от теплового шума в квазистационарных цепях, здесь речь будет идти не о случайном токе или напряжении, а о случайном электромагнитном поле (50, 5)]. Порядок изложения материала в этом параграфе во многом аналогичен принятому в 2 4 гл. 3. Мы начинаем с термодинамических соображений, которые позволяют вывести общие заключения, касающиеся спектральной плотности теплового излучения.
Рассматривая условия термодинамического равновесия в системе нагретое тело — излучение, мы приходим к установленяю фундаментального закона теплового излучения — закона Кирхгофа. Помимо общей, «оптическойэ, записи закона Кирхгофа, ниже введена также и полученная впервые Рытовым специальная фор- ЗВВ ГЛ.
4 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ЛННЕИНЫХ СРЕДАХ мулировка закона Кирхгофа, относящаяся к еолноводным системам,— так называемая «волноводная форма» закона Кирхгофа 150, 511. Главный результат термодинамического рассмотрения заключается в том, что спектральная плотность теплового излу. чения произвольного нагретого тела выражается через универсальную функцию — спектральную плотность излучения абсолютно черного тела. Вычисление последней и является ключевой проблемой физики теплового излучения. Таким образом, общая структура теории теплового излучения аналогична структуре теории теплового шума в квазистационарных цепях. Следует вместе с тем еще раз подчеркнуть различия в описании этих процессов.
Если тепловой шум описывается в терминах случайных токов и напряжений, т. е. в терминах теории случайных процессов, то в тепловом излучении мы имеем дело с генерацией случайных электромагнитных полей Е(г, (), Н (г, () распределенными источниками. Поэтому здесь дело не ограничивается только определением спектральной плотности теплового излучения. В излагаемую ниже теорию входит также спектральная плотность излучения в единице объема (объемная спектральная плотность) и(ы); естественно, что надо располагать и данными о пространственно-временных корреляционных функциях теплового излучения.
Закон Кирхгофа. В теории теплового излучения нагретое тело характеризуется его испускательной способностью 7(в, 6), равной интенсивности теплового излучения, испускаемого с единицы поверхности в частотном интервале а, ы+г(ы и телесном угле 6, д+Аб. Введем также поглощательную способность А(ы, д), определяемую как отношение энергии, поглощенной единичной площадкой тела в интервалах ы, в+Йю и д, 6+Щ к энергии падающего на тело излучения. В теории теплового излучения особое место занимает тепловое излучение так называемого абсолютно черного тела, для которого Аа(ы, б) ~1. (4.9.1) Нетрудно убедиться, что отношение излучательной способности произвольного тела к его поглощательной способности 7(ы, д)!А(ы, 6) оказывается универсальной функцией частоты и температуры,— это и составляет содержание закона Кирхгофа.
Речь идет, таким образом, о соотношении, совершенно аналогичном по структуре отношению спектральной плотности теплового шума к действительной части полного сопротивления, выведенному в ~ 4 гл. 3. Рассуждения, используемые для вывода закона Кирхгофа, во многом аналогичны рассуждениям гл. 3. Рассмотрим замкнутую полость, стенки которой представляют собой абсолютно черное тело, находящееся при температуре Т. (Я) 1 р.
«) Длв простоты считаем, что трансформапнп волн не пронсходнт; общий случай рассмотрен в [1!]. Ф» тепловое излуче)ч(те 337 Полость заполнена равновесным иэотроппь~м «черным» излуче- нием с объемной спектральной плотностью 'це(о»). Пусть теперь площадка да черного тела заменена площадкой произвольного тела, находящегося при той же температуре. Условия теплового равновесия при этом не изменяются, и можно записать баланс энергии: ( (ы, 6) с(«ос(6 г(а=си,(п») А (о», 6) соз 6 с(о»Нд «Ь, (4.9.2) где () — угол, отсчитываемый от нормали к рассматриваемой площадке.
Таким образом, ((о», д)(А (пт, д) =сиа(в) сов б, (4.9.3) и задача сводится к определению объемной спектральной плот- ности «черного» излучения ие(о»). Однако, прежде чем переходить к опреде. Л»' д» лению ие(щ), запишем еще одну формулировку закона Кирхгофа, занимающую «промежуточное» место между оптической формулировкой (3) и ее аналогом для квазистационарных цепей. лр,4а Р, Речь идет о формулировке, пригодной для описания тепловых шумов в вол. Рнс 439. Схема располоме- новодных системах — линиях передачи, ннв я»луч»тела М в волноводе, радиоволноводах и т. и. Здесь мы выведем выражение для спектральной плотности теплового излучения, посылаемого в п-ю моду волио- вода нагретым телом; подробный вывод см. в 111]. Будем характеризовать взаимодеяствие исследуемого тела М с и-й модой волновода коэффициентами поглощения А„-'-, отраже- ния ]г„- и прозрачности О„«); знаки «:1-» относятся к волнам, падающим на рассматриваемое тело соответственно слева и справа (рис.
4.39). Из закона сохранения энергии имеем А„'+ Я,"+ 0; = 1, А„+ К„+ Оа = 1. (4.9А) Пусть с обоих концов волновод перекрыт согласованными нагруз- ками, представляющими собой абсолютно черные тела с темпе- ратурой Т. Обозначим через (ш (о»)) среднюю энергию моды, излучаемой черным телом.
Тогда мощность излучения в интер- вале частот о», о»+ А«о равна 2п ( 1 (4.9.5) Предположим, что Р-„— спектральные плотности мощности, излу- чаемые вправо и влево телом на п-й волне. ззв гл. «. слхчлнныв волны в лннаиных сгадхх Записывая выражение, описывающее баланс потоков энергии, можно написать (рис. 4.39) — (ш (а»)) = Рви+ з — „(ш (ы)) (()й+ )7,), 2л ( ( )) '»" +йя ( (4.9.6) Умножая соотношения (4) на (ш(в)(2п) и вычитая из (6), получим Р;.=,-'< ( ))(А;+();- К), 1 Р-.„=,-„( (М) (А„-+ 0„.— 0-„). Если значения коэффициентов В„не зависят от направления падения волны (О„'=)7,, выполняется принцип взаимности), то из последних соотношений получаем Рюь = з —, (ш (»»)) А„", Рй» = з — (ш (а»)) Ал (4.9.7) 1 1 Отсюда следует, что мощность, излучаемая телом М в волноводе на и-й волне направо (налево), определяется коэффициентом поглощения п-й волны, падающей справа (слева).
Лля абсолютно черного тела (А„— = 1) приходим, естественно, к выражению (6). Тепловое излучение абсолютно черного тела. Обратимся теперь к определению объемной спектральной плотности излучения и»(»») абсолютно черного тела. Поскольку объемная спектральная плотность м»(ы) не зависит от формы полости, рассмотрим для простоты полость в виде прямоугольного «ящика» со сторонами длиной 7.. В таком «ящике» поле излучения можно разложить по плоским волнам или модам (в тройной ряд Фурье): 2 Е(г, С) = Е. »» ~х~~,5' ем»А» егь»с — »и (4 9 8) т=! Здесь еа„— единичный вектор поляризации моды с волновым вектором )«. Векторы ею и е»» взаимно перпендикулярны и в силу поперечности электромагнитного поля перпендикулярны также вектору )«, т.
е. еюе», =О, е» («=О. Для проекций рассматриваемых векторов имеет место соотношение е»„ею ~ + ер„, е»»г + И И,И -» = бц. (4.9.9) А~ — амплитуда моды, соответствующая данному набору векторов е» и )«. Вектор (« имеет координаты )« = ((2л)(.) и„, (2л/(.) и„, (2п(7.) и»), $9. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЯ где л„, пу, и,— целые числа. Волновое чибло й удовлетворяет соотношению й = 99(с, й = (2л! Е) (и „'+ и „''+ и ,')Н9.
(4.9. 10) В формуле (8) суммирование по К означает суммирование по набору чисел п„п, и и,. Поле излучения черного тела изотропно и полностью не поляризовано; учитывая соотношения (1.8.5), (1.8.55) и (1.8.59), для корреляций амплитуд поля можно написать (АмАкт)=~А9~96ю бм,. Декартова компонента комплексного поля (2) равна Е,(г () Е-9,9 'Т~ ~', е~ А~ ег(ег — ко 9 ~п=! Устремим размеры полости к бесконечности (Е- со), при этом суммирование в (8) можно заменить интегрированием: +Со 1-9~Ч,'( ) (2 )-9 ~ ( ) (зь Подставляя в преобразованное указанным образом выражение (11) соотношение (9), имеем .~-со Вц (з, т) = (2Л)-9 ~ ~ Ак ' (бц — Ц(9й-9) е' <мт — Ем Рй. (4.9.
12) Пользуясь (12), рассчитаем сначала объемную плотность энергии: 1 и„=„— Е~ = аа(»)Ь, (4.9.13) где чтено равенство электрической и магнитной энергий. () бъемная плотность энергии электромагнитного излучения в свободном пространстве с учетом изотропии поля равна О,= — ~~ Ви(0, 0)=~, ~ (ш(й))г(ае, (4.9.14) ;= — 1 СО Для пространственно-временной корреляционной функции поля получим выражение Вн (а, т) =(Е (г, () Еу(г+з, 1+т)) = =Е-9 ~ ~', еь,.сеь„~; Ак, „,!9е'<" — "'>. (4,9 11) З4О Гл.
ь случкиные волны В линеиных сявлхх где (ю(й)) =! А(й) ~о/4п (4.9.15) — средняя энергия моды. Перейдем в выражении (14) от декартовых координат о(ок = ик Ы„йк, к сферическим координатам Рйк=йос(яз!пдс(бич~ и проинтегрируем. Тогда получим У, = — „, ~ й' (гв (й)) И. о Пользуясь дисперснонным соотношением (10), последнее соотношение можно представить в виде (уо=г р(м) (ю(м)) ( а (4.9.16) Здесь р(в) оР/косо есть число мод в единице объема и в единичном частотном интервале. Из сравнения (16) с (13) следует, что объемная спектральная плотность излучения абсолютно черного тела равна ио (о)) = (оР(посо) (ги (о)) ) . (4.9.!7) В классической области даоса кТ, (ю) кТ, и для объемной спектральной плотности черного излучения получаем ЯЯ и, = — кТ. посо (4.9.
18) Формула (18) в теории теплового излучения выражает закон Рэлея — Джинса. Расходимость полной энергии теплового излучения в (18), как известно, устраняется за счет перехода от закона равнораспределения классической статистики к распределению Планка (4.9. 18а) (ю) = Щ(оммг 1] Когереитные свойства излучения абсолютно черного тела. Вернемся к выражению (12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
