С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 53

Расчеты корреляционной функции В, (г, )с; г) и значения г„ для ряда конкретных случаев выполнены киже. Дифракция некогереитной волны па отверстии; звездный интерферометр Майкельсона. Применим теперь полученные выше общие результаты для решения конкретных задач. Сначала рассмотрим дифракцию б-коррелированпой волиы.

Предположим, что отверстие имеет форму круга радиуса а с центром в точке О и распределение иптепсивпостп вдоль отверстия равномерное: l(Й)= (4.5.12) О, К == а. Для расчета функции В, на расстоянии г от такого источника воспользуемся формулой (9), полагая г,=О и г,=-а~О. Переходя к полярньщ координатам и обозначая угол между векторами э и й через га, имеем а 2я В„(а; г)=С!,ехр~ — ) — зэ~ ~ гЯ ~ Рйрехр ~ — 1 )сэсоз <р) э О О 2пС)ас м'м ~ ЯУ ~ — )гИ=(о .)т( — ) ° (4 5.13) о При выводе (13) использовано рекуррептиое соотношение для функции Бесселя „(х"э„(пх)) = их" („, (ох). Нормированная корреляционная функция (13) равна /у(з)/=~~Вз (з; г)/Вг(О; г)~=2 /, ( — )уу( — )~.

(4.5.14) Функция (14) представлена на рис. 4.!5. Первое нулевое значение,'у(з) ~ принимает при )газ(а=3,83, т. е. при зо = (»61) Ло, (4.5.15) где 0,=а)г — так называемый угловой радиус источника излучения. 1эадиус, зиаченпе которого удовлетворяет условию ~у(з) ~ .= — 0,88, будем счьпазь радиусом корреляции (ср. с (11)): г„— — 0,16лг(и = 0,16ХГ0„.

(4.5. 16) 4 в диФвлкция случанных воля Видно, что радиус корреляции прямо пропорционален расстоянию г от источника излучения и обратно пропорционален размеру источника. При а- со излучение остается 6-коррелировапным. Рассмотренная модель источника б-коррелированного в пространстве излучения, ограниченного круглой диафрагмой, широко используется в астрофизике для описания собственного излучения звезд. Измерения радиуса корреляции приходящего от звезд излучения согласно (!4) могут быть использованы для определения угловых размеров звезд 1или диаметров звезд, если известно расстояние г). Р Ряс.

4.16. Схема звездно. го внтерферометра Майкельсона: 3,— 3,— зегкааю о — экггв Рнс. 4.15. Степень пространственной когерентностн, т (з) ' пространственно некогерентного источника, вмеюпгего форму диска ра. днуса а. Для измерения поперечной корреляционной функции излуче. иия, приходящего от звезды, можно использовать звездный интерферометр Майкельсона 1рис. 4.16), вндиость интерференционной картины в котором в точке наблюдения Р изменяется в соответствии с зависимостью, изображенной на рис.

4.15, при изменении расстояния между зеркалами 3, и 3,. Если угловой радиус звезды 9, 10-', то~у(з)1=0 при расстоянии а=4 м19=10зсм-'). Угловой радиус Солнца, наблюдаемый с Земли, 9, 0,0047; таким образом, для волн оптического диапазона радиус корреляции 116) принимает значение г„— 0,02 мм. Практическое применение звездного интерферометра Майкельсона ограничено, однако, тем обстоятельством, что на измеряемую степень когерентности звезды сильное влияние оказывают флуктуации показателя преломления атмосферы.

Эти флуктуации приводят лишь к фазовым искажениям, которые не влияют на измерения корреляционных функций интенсивности 1сьь 6 3 гл. 5). Заметим, что корреляционная функция 114) описывается точно таким же выражением, как и поле плоской монохроматнческой волны, дифрагированное на круглом отверстии. Действительно, 10* л)2 ГЛ «СЛУЧАННЫЕ ВОЛНЫ В .ЛННЕПНЫХ СРЕДАХ для амплитуды волны, дифрагированной на круглом отверстии, имеем !11 (4.5.!7) )А(е, г))=)l'1о~ — 1»( — ))» что аналогично (14); см. также рис. 4.17.

Радиус дифрагированного когерентного пучка а(г) выражается формулой, аналогичной (!5): а (г) =*0,61Лг(а, (4.5.1 8) алло сих пор речь шла о дифракции б-коррелированного излучения с равномерным распределением интенсивности по апертуре. -~-2-. и 7 г Ю Ег Рнс. 4Д7. Картина Лифракпии полностью когерентиой волны на круглом от. верстии (а) и соответствуюгпее ей распределение интенсивности (6) 1)3] « =. »аг,'нг. о )ы )-2 с). ' "*)к "),( — ')««. ))»20) Интегрирование приводит к следующему результату (ср.

с (13)): л ! 0)а»~-' . Ао») В„(з, г) = а»С1,ехр ( — -~ — ) — 1 — ). (4.5.21) 2 2 )2«1 г)' Покажем теперь, что неравномерное распределение интенсивности, вообще говоря, изменяет вид поперечной корреляционной функции поля. В качестве примера рассмотрим распространение цилиндрически-симметричного пучка с плавным поперечным распределением интенсивности (дифракция на «мягкой» диафрагме), когда распределение интенсивности 1(й) имеет вид 1(й) =1оехр ( — 2!1»1ао); (4.5.19) здесь а — радиус пучка по уровню е-'. В этом случае вместо выражения (13) дл ) поперечной корреляционной функции имеем 1!1! 293 4 3, ДИФРАКНИЯ СЛУЧАИНЫХ ВОЛН Коррепяциоинвя функция (21) имеет гауссовский вид с радиусом корреляции по половинному уровню г„= Аг )/2/ла.

(4.5.22) Днфракция некогереитной волны на решетке. Полученные выше результаты относятся к дифракции иекогерентных волн на одном отверстии. Здесь мы обратимся к более сложному объекту — дифракционной решетке н покажем, как изме) н р ( ияются когерентные свойства дифрагирован. Ф ной волны с изменением числа штрихов ре- гги! щетки . 1(ля простоты рассмотрим одномерную решетку с шагом р, состоящую из щелей шириной и (рис. 4.18, а).

Полная ширина ре- Ю шатки а=2%р+а1 число щелей решетки для рис 4.18. днфракционная упрощения дальнейшей записи принимаем равреше~ка (а) и ее перелатая ная функция на функция (б). иым 2)У+1=А(а. Если передаточная функция по интенсивности одной щели (рис, 4.18, б) (4.5.23а) 10, х ' а!2, то пропускаиие всей дифракциоииой решетки и р(х)= ~ 1(х — пр), л — и (4.5.236) Найдем пространственную когсрентность в плоскости наблюдсния между симметрично расположенными тачками х, = — хт=з для случая, когда падающая на дифракциоиную решетку волна имеет равномерное распределение интенсивности.

Тогда подстановка (23) в (1О) дает -1-а12 В (з; г) =С1а ) р (х) егтых~*их= — а!2 л а/2 — лр = С)а ~„, е' 'ла ' ) ) (х) ег зч" ~'г(х. (4.5.241 л= — А — а/2 — лр В силу условий (23а) и а12 — Мр сл г(12 а!2 — ир )( егзаз гг а,мп Фи/2) йз ага (4.5.25) — а12 — ла где 6=6 (з)=йзр)х. Стсюда для степени пространственной когерентиости имеем з)п;Улб мп (ба1р) ~ ~ У Илзшб ИР (4.5.27) С учетом (25) после суммирования выражение для поперечной корреляцноинол функции (24) принимает вид яп %„6 пп (бс((р) зш 6 бс((р 294 ГЛ 4 ОЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ Занегич, что выражение (27) аналогично выражению для распределения амплитуды полностью когерентиой волны, дифрагирующей на решетке. Выражении (26) и (27) получены для одномерной дифракцнонной решетки.

Однако они справедливы и для двумерной решетки, если речь идет о пространственной когерентности между двумя точкамн, имеющими одинаковые координаты вдоль оси у (см. (10)). В общем случае для двумерной решетки корреляционная функция определяется произведением функций вида (26). из (27) для случая одной щели (544=1) ширннот д а следует ) мп (йза/з) ! йпт/з (4.5.28) Здесь, как н при дифракции ня круглом отверстии (см. формулы (16) н (22)), радиус корреляпни обратно пропорционален углу 44=а/з, под которым щель видна нз плоскости измерения: гк = йз/2йа яы (ййь) т. (4.5.29) Значение (29) определено по уровню у (г„; з)) =2/л.

На рис. 4.19 показана зависимость степени когерентиости (27) от з для различного числа А/4 ШтРихов решетки. !ууз'г/) 54/ Рис, 4,19 Нормированная пространственная корреляционная функция для различного числа Уз штрихов решетки. В формуле (27) второн множитель, аналогичный (28), представляет собой действие одной щели шириной 41, а первый множитель учитывает результат действия всей дифракпионной решетки.

Есчтн йге,"м 1, радиус корреляции определяется первым множителем: г, = пЫ2АЫ„Р ла/2йа, (4.5 36) так как Фьр (2У+!)Р=а+р — Л а. Таким обрааом, радиус корреляпни рассеянной на днфракнионной решетке некогерентиой волны такой же, кан в случае дифракцни некогереитной волны на шали, равной ширине днфракцнонной решетки. Влияние немонохроматичностн волны н пространственную когерентиость. Предыдущие результаты относятся к монохроматической волне. Рассмотрим 4 В. ДИЕРЛКЦИЯ СЛКЧЛННЫХ ВОЛН тенер>и как неполная временная когерентность волны может влиять на пространственную когерентность (14).

Физика зффекта включается в следующем. Как мы выяснили, анализируя теорему Ван Цнггерта — Цернике, изменение радиуса корреляции в процессе распространения связано с дифракцней пучка конечной апертуры. Естественно, что если мы имеем дело с немонохроматическим излучением, различные спектральные компоненты частотного спектра днфрагируют по.разному.

Зто приводит к отличию дифракцнонной картины от таковой для случая монохрома. тической волны. 3лесь возникает и другоз вопрос. Пусть пространственно-временная корре. ляционная функция пола источника распадается на произнедеиие пространственной и временной корреляционных функций. Сохраняется ли это свойство в любой точке пространства для практически реализуемых параметров? Итак, предполо>ким, что в плоскости а=о пространственно-временная корреляционная функпня поля распадается на произведение пространственной н временной корреляционных функции: (4.5.31! Вз(г, й; т)=В (г, й) В„(т) Применив к (3!) преобразование Фурье, получим Во(г, й; ы) =аз(ч>) В„з(г, й), (4.5.32) где функция В з(г, й) дается выражением (8), Оо(ы) — спектральная плотность. В случае стационарного поля для каждой спектральной компоненты на основе результатов 4 4 можно записать В(г, й, ы; з)=бз(о>) В (г, й; х), (4.5.33) Предположим также для простоты, что среда иедиспергнрующая (й ыссс), а поле в плоскости источника излучения 6-коррелировано в пространстве.

Тогда согласно (33) и (9) пространственно-временная корреляционная функция в среде равна -(- со и т з) ~ В(г, й, о>; а)е ситд +со +со ( я >т дт по (ы) 1 (й') еси> с(%', (4.5.34) ~ 2псг,) дтт где )= — г (й' — й) — т 1 сз Лля квазимонохроматнческого поля со средней частотой сво (Во(е) оз(ы — ч>о)) выражение (34) можно упростить; + со -'; со В (г, (г, т; з):(т ~ ~ I (й') с 'Г ( ба(с)) е™Ъ? с(зц'. (4,5.35) ймз !з г- ! 2>сз >' 296 ГЛ. а.

СЛУЧАННЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНЕННЫХ СРЕДЛХ Лля гауссовского спектра поля, т. е, временной корреляционной функции (4.4.3), последний интеграл в (35) равен -1- о -1- ао ! Г -тац'/а+1/П -/а/та б ((1) ег о(1= — т е а /1(1 е а ~- "5 (через т, обозначено времн корреляции исходного излучения). Следовательно, выражение (35) принимает вид / йя тх Г, — /а/та-!.ама/ В(г, ((, т; з)=~ — а) 3! /(к')е ' па/СЕ (4,5.35) ~ 2псз ) Отсюда следует, что при з ~О запись корреляционной функции поля в виде произведения временной и пространстненной корреляционных функций остается справедливой прн условии !/+т,'=,г(((' — К)/сз, 4та, которое в координатах гт, га (3) и прн /,=0, г,=з можно записать как эп/г ~ сга, за/з ~ ст, (4.5.37а, б) где и †разм источника.