klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 9

В данном случае за нулевую конфигурацию целесообразнопринять недеформированную пружину, тогда потенциальная энергияупруго деформированного тела равна работе, совершаемой силойупругости при переходе тела в недеформированное состояние.При выборе направления оси ОХ в соответствии с рис. 1.29 силаупругости Гупр = -кх, где х — деформация пружины, а потенциальнаяэнергия деформированной пружины02кх•—.(1.34)Л конс , лдиссвнеш ^ •'-чшеш :ИЛИА КОНСвнешлдисс^внеш •Рис. 1.29.

К расчету потенциальной энергии пружины53Если закрепить на свободном конце пружины груз массы т и, деформировав пружину на расстояние х0, освободить ее, то пружинас грузом будет совершать колебательной движение, при которомполная механическая энергия системы груз — пружина сохраняется.Из закона сохранения можно найти скорость груза при любой деформации пружины — надо приравнять начальную энергию системыэнергии в рассматриваемый момент времени:Ьс02 _ 1сх2г2 ~ 2и (г) = -уМ3т [^ = -У —г1'2Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли. Вблизиповерхности Земли поле тяжести однородно и сила, действующаяна тело, постоянна.

Если материальная точка, находящаяся на высоте А, переместится на нулевой уровень А = 0 (рис. 1.30), то сила тяжести совершит работу А = т§Н. Поэтому на высоте А материальнаяточка обладает потенциальной энергией V = т§Н.В общем случае сила притяжения зависит от расстояния х до центра Земли и равна /* = у—г-^(М3 — масса Земли). Если считать2хза нулевую конфигурацию состояние системы, при котором телоудалено от Земли на бесконечное расстояние (рис. 1.31), то••Агя =(1.35)Из формулы (1.35) следует, что потенциальная энергия тела, поднятого на высоту А от поверхности Земли, равна(1.36)ту1*и (г)Так как а>90°-, соз а (15 = -<&.

Таким образом,гае А, - радиус Земли. С другой стороны, ранее было получено, чтои(г) = т§И. Для случая А « К3 выражение можно (1.36) преобразовать к виду:™ ^.. М3тпК3Л(здесь учтено, что у—1- = %). Появление в правой части выражения^з(1.37) постоянного слагаемого -т§К3 связано с тем, что при выводеформул (1.35) и известного соотношения II = т§И взяты разныенулевые уровни энергии: в первом случае потенциальная энергияотсчитывается от бесконечности, во втором случае — от поверхностиЗемли.Итак, если тело массы т движется со скоростью V в поле силытяжести Земли, то его полная механическая энергия может быть выражена каку2ГуМ3тг(1.38)§ 11.

Применение законов сохранения энергиии импульсаОРис. 1.30. К расчету потенциальнойэнергии силы тяжести для случая,когда тело находится на близкомрасстоянии от поверхности Земли.Конфигурация системы «материальная точка — Земля», условно принятаяза нулевую, — тело лежит на Земле54Рис. 1.31. К расчету потенциальнойэнергии силы тяжести в общем случае. Конфигурация системы «материальная точка — Земля», условнопринятая за нулевую, — тело находится на бесконечном расстоянииот ЗемлиЗаконы сохранения полной механической энергии и импульсанаходят широкое применение при изучении широкого круга явлений.Пример 1 {абсолютно упругий центральный удар). Рассмотримабсолютно упругий удар двух стальных шаров, скользящих по гладкойгоризонтальной поверхности навстречу друг другу, и определим скорости шаров после столкновения.

При центральном ударе шароввекторы их скоростей у, и И2 лежат на прямой, соединяющей ихЦентры. Проведем ось ОХ параллельно векторам 0{ и у2 и обозначим55(1.39)Горка может скользить по плоскости без трения, не отрываясь от нее.В данной задаче возможно применение законов сохранения энергиии количества движения, так как в системе отсутствуют силы трения,действие сил тяжести компенсируется действием сил реакции опоры.Для нахождения конечных значений скорости тела V и горки и запишем законы сохранения количества движения и полной механическойэнергии системы до и после взаимодействия:(1.43)тV = тV + Ми;(1.40)тVчерез и>! и ш2 проекции скоростей первого и второго шара после соударения (так как удар центральный, векторы м>, и й>2 параллельныоси ОХ).

При абсолютно упругом ударе сохраняется импульс и полная механическая энергия системы (при движении по гладкой горизонтальной поверхности работа внешних сил, т. е. силы тяжестии силы реакции опоры, равна нулю). Из законов сохранения следует,чтот2ш2;2222Перепишем систему уравнений в виде/И1(У, - И>,) = П12(Ш2 - V2)и, разделив первое уравнение на второе, получим(1.41)Уравнение (1.41) совместно с уравнением (1.39) образуют системулинейных уравнений с двумя неизвестными, решая которую, получим:2т2У2 + VI-т2)т\+т22т^1 +V2(т2 -т{)юг.т, + т2(1.42)Если т{ = т2 = т, то ш{ = V2кш2 = Vъ т.е.

после центрального абсолютно упругого столкновения шаров одинаковой массы они обмениваются скоростями. В частности, если один из шаров покоился,то после удара остановится другой шар, а первый начнет двигатьсяс его скоростью.При решении системы уравнений (1.42) одно из них было поделено на другое. Из математики известно, что это может привестик потере корней. В принципе, правильнее было решать квадратноеуравнение и исследовать полученные корни. Вряд ли можно ожидатьналичие двух решений в задаче об абсолютно упругом ударе двухшаров, но, несколько видоизменив условия задачи, можно столкнуться с той же системой уравнений, причем потеря корней приведетк потере одного из решений.Видоизмененная задача формулируется следующим образом:на пути тела массы т, скользящего по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью Ц) находится незакрепленная горка высотыН и массы М. Передний склон горки плавно переходит в плоскость.56211Ми(1.44)Отметим, что полученная система уравнений отличается от системы уравнений (1.39), (1.40) только равенством нулю начальнойскорости одного из тел (горки).

Выразив и из (1.43) и подставивв уравнение (1.44), получим квадратное уравнение относительноскорости V. (М + ТИ)УО - 2т^^^ + V^(т - М) = 0, имеющее два реше-т, (у,2 - и>12) = т2(ш2 - У22);VI + ш1 = ш2 + V-}.^ния: VI - V^, V2= ——% Им соответствуют два значения скоростиМ +т2тV0 Первое решение соответствует случаю,горки: и\ = 0, и2 =М +ткогда тело преодолевает горку, второе решение — не преодолеваети скатывается вниз.Какой из случаев реализуется, зависит от высоты горки.

Если телоне может преодолеть горку, то, поднявшись на какую-то высоту у,оно остановится, а затем начнет сползать вниз. В момент остановкитела на горке скорости тела и горки будут одинаковы и равны и. Тогда, приравнивая импульс системы (т.е. горки и тела) в начальныймомент времени и в момент, когда тело останавливается, получаем:тV^ = (т + М)и.Аналогично из закона сохранения полной механической энергиисистемы, записанного для того же момента времени, получим2МиИз системы уравнений можно исключить скорость и и выразитьвысоту у, на которую может подняться тело: у=— -- . Для того2§ М + т_. 2д *"чтобы тело перевалило через горку, необходимо, чтобы Н< —2§ М--+ т ,откуда следует, что тело перевалит через горку при УО > \2§Н\ 1+— .'1М)57Отличие этой задачи от задачи об упругом ударе шаров состоит в том, что теломожет перекатиться через горку, а шарыне могут пролетать друг через друга.Пример 2 {абсолютно упругий нецентральный удар).

Рассмотрим абсолютноРис. 1.32. Векторы скоро- упругий нецентральный удар: по гладкойстей при абсолютно упру- горизонтальной поверхности движется шар,гом нецентральном ударе который налетает на покоящейся шар тапри столкновении движу- кой же массы т. Если скорости шаровщегося и покоящегося до и после удара соответственно равны: щ,шаров на гладкой гори- С2 = О, й>[, м>2, то из законов сохранениязонтальной поверхности импульса и энергии получаемтш2;тV^тш'После сокращения на т уравнения примут вид: у, = щ + й>2 ; VI == ш\ + ш2.

Из полученной системы уравнений следует, что векторыVI, й>[, Ш2 образуют треугольник (рис. 1.32) с углом между векторамиш\ и Ш2 , равным 90° (второе уравнение представляет собой записьтеоремы Пифагора). Таким образом, угол разлета шаров всегда составляет 90° и не зависит от начальной скорости первого шара.Пример 3. Канат длины /, лежит на гладком горизонтальномстоле. В начальный момент времени канат удерживается так, что егополовина свешивается со стола.

Затем канат отпускают, и он поддействием силы тяжести начинает соскальзывать со стола.Если пренебречь работой сил трения, то механическая энергияканата в процессе его движения сохраняется. Поскольку канат нельзя считать материальной точкой, его потенциальная энергия определяется положением его центра тяжести. Выберем за уровень отсчета энергии поверхность стола (нулевой уровень).

Так как в рассматриваемых положениях центр тяжести лежит ниже нулевогоуровня, потенциальная энергия каната отрицательна. При этом конечная энергия Ек = -М%— —— , начальная энергия Ен = -М%—.282Приравнивая значения полной механической энергии в двух положениях каната (рис. 1.33), найдем скорость: -М§— = -М%—-\ -- — ,откудаV=2Заметим, что решение этой задачи методами кинематики связанос' серьезными трудностями, так как движение каната происходитс переменным ускорением.5800уЦТРис. 1.33.