klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 8

Слагаемое уотн —с1(в правой части уравнения Мещерского называется реактивной силойи представляет собой дополнительную силу, действующую на ракетусо стороны истекающих газов.В отсутствии внешних сил уравнение Мещерского принимает вид:(1.29)сНПри постоянной скорости истечения газов относительно ракетыможно проинтегрировать уравнение (1.29) и установить связь междумассой выброшенных газов МТ и приобретенной вследствие этогоскоростью ракеты. Максимальная скорость, которой может достичьракета начальной массы М0 выбросив газы массой М„ определяетсяформулой Циолковского:причемувозможен переход из одной формы движения в другую, например теплового движения в механическое, как это имеет местов двигателе внутреннего сгорания.

Общей мерой различных формдвижений материи в физике является энергия,Изменить параметры движения тела можно, лишь прикладываяк нему внешние силы — при этом тело, например, будет менять своюскорость или положение, энергия тела так же будет изменяться. Дляколичественного описания обмена энергией между телами в механике используется физическая величина, получившая название работысилы.Элементарная работа. Сначала рассмотрим элементарную работу А/4, (рис. 1.24). Элементарной работой Д/4„ совершаемой силой/) при элементарном перемещении материальной точки А5",-, называется величина Д/4, = Д^Д5, сока,, где а, — угол между направле1ниями силы Р{ и перемещения Д5 ,-. Полная работа на произвольномучастке 1—2 равна сумме элементарных работ: А = ^&А! .

Единицей1=11 (работы в СИ является джоуль (1 Дж = 1 Н-1 м). Работа, произведенная в единицу времени, называется мощностью IV. Единица мощ).1сНа языке бесконечно малых величин элементарная работа равнаскалярному произведению векторов силы Р и элементарного перемещения а5:ности в СИватт (1 Вт =с1А = (Р • с18) = Р • а§ • соза =Работа может быть как положительной, так и отрицательной. Знакработы определяется знаком косинуса (при а < — ЛА~> 0; при а > —А4<0).Полная работа на участке 1 — 2 вычисляется путем интегрирования:Ап =111где Р^ — проекция силы на направление перемещения..Лп-м0-мг-(1.30)§ 9. Механическая работа и кинетическая энергияМеханическое движение является лишь одной из форм движения.Имеются и другие формы (например, тепловое, электромагнитное),48Рис.

1.24. К вычислению элементарной работы силы;49/ = дГ^Так как по определению мощность рК—,выражение для мощности имеет вид= (Р-д)= /||р|со8а, или IV = Р^их + руиу н ,^г.Найдем работу силы тяжести по перемещению тела массы т из точки 7 в точку 2 по траектории, показанной на рис. 1.25. Направимось ОУ по вертикали, тогда Рх = 0; Ру = т§;Р^ = 0, и работа, совершаемая силой тяжестиприперемещениитела:Л12=„и ...в,^,,-,,^,, -у2), т.е. работа силы тяРис. 1.25. Работа силы жести не зависит от формы траектории, а затяжестивисит только от начального и конечного положений тела. Независимость работы от траектории перемещения характерна для сил, зависящих только от координат (но не от скоростей) — силы тяжести, силы упругости.

Такиесилы называются консервативными, или потенциальными.Работа потенциальных (консервативных) сил по любому замкнутому контуру равна нулю А$ = ^Р^5 = 0. Работа неконсервативныхсил (например, сил трения) по замкнутому контуру не равна нулю.Например, при движении материальной точки вдоль окружностирадиуса К. по горизонтальной поверхности с коэффициентом тренияц работа силы трения не равна нулю:Физическую величину Ек = т^— называют кинетической энергиейматериальной точки, а выражение (1.31) составляет содержание теоремы о кинетической энергии материальной точки: в инерциальной системе отсчета приращение кинетической энергии материальной точки равно работе действующих на нее сил &ЕК = А.При этом учитываются все силы, действующие на точку, каквнешние, так и внутренние.Рассмотрим систему из N материальных точек, на каждую из которых действуют внешние силы Р,.

Тогда для каждой точки можнозаписать: &Е[ = А(. Суммируя левые и правые части уравнений, получимПри объединении материальных точек в систему могут появитьсявнутренние силы. Поэтому в общем случае суммарную работу можно представить в виде суммы работы внешних сил Атеш и работывнутренних сил /4внутр, и установить, что в инерциальной системеотсчета изменение кинетической энергии системы материальныхточек АЕравно работе всех сил, действующих на материальные точки системыЬЕ = Атеш + Ашт.(1.32)А=Кинетическая энергия. Выразим работу силы Р через изменениекинематических характеристик тела, движущейся под действием этойсилы (см.

рис. 1.24). Для этого уравнение движения материальнойточки та - ^(второй закон Ньютона) умножим скалярно на а8и получим (та-а"§) = (Р -а" 8). Правая часть полученного уравненияпредставляет собой элементарную работу аА.Левую часть можно представить в виде: (та-а"5) = \( т-а"д //?^-- =агИнтегрируя преобразованное уравнение аА = аполучим(1.31)50§ 10. Закон сохранения механической энергииПотенциальная энергия взаимодействия.

В уравнении (1.32)в работе внешних сил и в работе внутренних сил учитываются какконсервативные, так и диссипативные силы:Ар—Л КОНС,/<ДИСС, ^КОНС,^Ш-1 — лвнеш тл в н е ш ^-<^ В нт ^-^/1"1V --Работа внутренних консервативных сил^4 нутр не зависит от формы траектории — онаопределяется взаимным расположением материальных точек системы в начальном и конечном состояниях, т. е. ее величина связана только с конфигурацией системы, следовательно,работу Лдн^р можно считать характеристикойсистемы.Пусть система состоит, например, из четырехматериальных точек, которые могут образовывать различные конфигурации, занимая опреКво'•оРис. 1.26. Конфигурации системы, состоящей из четырех материальных точек51/деленные положения (рис.

1.26). Выберемпроизвольно конфигурацию, например конфигурацию 3, и назовем ее нулевой. Пустьи=лв данный момент времени система образуетконфигурацию 1. Тогда работа, совершаемаяконсервативными внутренними силами припереходе системы материальных точекиз рассматриваемой конфигурации в конфигурацию, принятую за нулевую (т. е.Рис. 1.27. К вопросу за- в конфигурацию 3), называется потенцивисимости потенциаль- альной энергией системы в конфигураной энергии от конфи- ции 1.гурации, условно приВеличина потенциальной энергии зависитнятой за нулевуюот того, какая конфигурация условно принята за нулевую. Если за нулевую принять конфигурацию 3, то в конфигурации / система будет обладать потенциальной энергией 17 = А13, равной работе консервативных сил припереходе системы из конфигурации / в конфигурацию 3.

Если жеза нулевую принять конфигурацию 2, то потенциальная энергия будет равна 17' = Ап (рис. 1.27).Вследствие консервативности сил, действующих в системе, работа вдоль пути 1—2 равна работе вдоль пути 1—3—2: Аи = А13 + А32или II' = V + А32. Таким образом, потенциальная энергия определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной.

Этанеоднозначность не влияет на физические процессы, так как их течение зависит не от абсолютного значения самой потенциальнойэнергии, а лишь от ее изменения при переходе из начальной конфигурации в конечную.Закон сохранения механической энергии. Пусть система переходит из состояния 1 в состояние 2, а энергию состояния О положимравной нулю (рис.

1.28). Тогда работа внутренних консервативных сил Ап = Ат = Аю ++ А02 = VI - и2, где 17} = Л ш + С и 17г == А20 + С, С — постоянная. Таким образом,А12 =1/1- 17-1, т.е. работа внутренних консервативных сил равна убыли потенциальнойэнергии системы Аи = -Д{/.Введем полученное для работы внутренРис. 1.28. К вопросу о них консервативных сил выражение в форсвязи работы консерва- мулу (1.33):тивных внутренних силпо переводу системыматериальных точек изсостояния 1 в состояние, 2 с приращениемпотенциальной энергии52Величина Е +17= ^называется полной механическрй энергиейсистемы материальных точек. (В общем случае полная механическаяэнергия системы материальных точек определяется выражением:Тогда окончательно можно записать, что, хдисс"г-^внеш-Далее если в системе отсутствуют неконсервативные (дйссипативные) силы, то такая система называется консервативной.

Для нееДИ^= А™ш. Если при этом еще и работа внешних сил, действующихна консервативную систему, равна нулю, то А Ж = 0 или И^= сот!,т. е. полная механическая энергия системы сохраняется.Подводя итоги, можно сформулировать закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия консервативнойсистемы тел сохраняется, если внешние силы не совершают работы над системой.Другими словами, полная механическая энергия системы тел сохраняется, если работа внешних сил равна нулю и в системе отсутствуют силы трения и неупругие взаимодействия.Закон сохранения механической энергии является следствиемзаконов Ньютона, а его формулировка лишь разъясняет, при какихусловиях выбранная величина (полная механическая энергия) сохраняется.Потенциальная энергия упругой деформации. Силы, возникающие при упругой деформации тел, например пружины, являютсяпотенциальными. По определению потенциальной энергией называется работа, совершаемая внутренними силами при переходе системыиз рассматриваемой конфигурации в конфигурацию, принятую за нулевую.