klassicheskaya_mekhanika (1156884), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ускорением называется вектор, равный производнойскорости по времени или второй производной радиуса-вектора по времени:Рис. 1.5. Путь, пройденныйматериальной точкойМатематически не составляет труда провести обратные преобразования, т. е. по известной зависимости скорости тела от временипутем интегрирования получить зависимость радиуса-вектора от времени, или по известной зависимости ускорения тела от времениполучить зависимость скорости от времени. Отметим, что при интегрировании все величины определены с точностью до постоянной,найти которую можно из дополнительных условий, например начальных.Интегрированием можно найти и путь, пройденный телом в результате движения.
Путь — физическая величина, равная длинетраектории и определяемая площадью под графиком зависимостимодуля скорости от времени \и(1)\ (рис. 1.5). Для вычисления путиматематически надо найти предел, т. е.,=|1/,)|Л.(1.3)В качестве примера рассмотрим прямолинейное движение телас постоянным ускорением. Постоянство ускорения при равноускоренном движении вдоль оси ОХ математически записывается в видесоотношения-= а.
Тогда скорость материальной точки и еекоордината равны:Рис. 1.6. График пути, пройденного материальной точкой при равноускоренном прямолинейном движении:а — ускорение тела и начальная скорость направлены в одну сторону; б — ускорениенаправлено в сторону, противоположную начальной скоростиа?2образований получаем формулу для пути 51 = ч0( + - , аналогичнуюзависимости координаты от времени, что и должно иметь место припрямолинейном движении тела в одну сторону.Если ускорение направлено в сторону, противоположную начальной скорости, то координата и скорость материальной точки изменяются по формулам:x = x0+V0^-^!-•, и = и0-а( (а > 0).В этом случае в момент времени /0 = — тело останавливаетсяаи далее движется в противоположную сторону.
При этом путь, пройденный телом, определяется разными формулами, в зависимостиот того, было ли возвратное движение.Если возвратного движения не было (тело двигалось в одну сторону), то 5 = и01 - — (для / < /о = — )•= о1с = — + и0(+ х0,(1.4)оо2где и0 и х0 — постоянные интегрирования (скорость и координататела в начальный момент времени ( = 0).
Интегрирование привелок хорошо известным из школьного курса физики кинематическимформулам.Если ускорение тела и начальная скорость о0 направлены в однусторону вдоль оси ОХ, то путь 5", пройденный телом при равноускоренном движении, равен площади трапеции — произведению полусуммы оснований на высоту (рис. 1.6, а). После несложных пре= а( + иа; х202аЕсли возвратное движение было, т.е. для времени ( > (0- — ,аV2пройденный путь равен сумме площадей 5 = ^ + 82, где 5{= — -2апуть, пройденный телом до остановки; 82 =путь, прой-денный телом после остановки, при его движении в другую сторону(рис. 1.6, б).
Учитывая, что (0 = —, получаем окончательное выражеа, .'•'•" •••'..' ' : '.'•'.'.. : '21ние для пути 8 = —у„/. Этот же результат можно получить2асразу, используя формулу (1.4). Так как в данном случаепри.^р_апри= |у Л =0и$ 8т 2аЬ = х(2т) =атоВремя полета можно найти, приравнивая координату у нулюв уравнении (1.8) — оно оказывается равным 2-е, т.е. время движениятела вверх равно времени движения тела вниз (это условие выполняется, только если не учитывать сопротивление воздуха). Дальностьполета Ь получим, подставляя в уравнение (1.6) I = 2т, так как времяподъема равно времени падения:= ^- + — - V ^ .0Движение тела, брошенного под углом к горизонту. При рассмотрении движения тела, брошенного под углом а к горизонтус начальной скоростью УО вблизи поверхности Земли, можно считатьего ускорение постоянным как по величине, так и по направлению.В системе отсчета, связанной с Землей, тело вдоль горизонтальнойоси ОХ движется равномерно, а вдоль вертикальной оси ОУ— равноускоренно с ускорением свободного падения §.
Пусть в начальныймомент времени тело находилось в начале координат, тогда:х0 = О, V0x = 6>0 сова, ах = 0; у0 = 0, и0у = г;0 8та, ау = -§.Из полученного выражения, в частности, следует, что при фиксированной начальной скорости наибольшая дальность полета достигается при броске под углом 45°.Уравнение траектории движения тела, брошенного под угломк горизонту, можно получить, исключив из системы уравнений (1.6),(1.8) время ^. В результате получим уравнение параболы (рис. 1.7)у=2Уп сов2 аПериодические колебания. К периодическому движению относится важный класс задач, связанных с колебательным движениемматериальной точки.
Периодическим движением материальнойточки называется движение, при котором тело через определенныеравные интервалы времени А/ после любого момента времени проходит одно и то же положение и имеет одну и ту же скорость:С учетом начальных условий кинематические уравнения (1.4),выражающие закон движения, в проекциях на оси имеют вид:гл,. = 1>0 соз а;(1.5)х{1) = УО ? СО8 а;(1.6)(1.7)(1.8)Поскольку в точке наибольшего подъема вертикальная составляющая скорости равна нулю, то, приравнивая иу = О в уравнении (1.7),ь>08шсх .найдем время подъема (движения тела вверх) т = —IВысоту наибольшего подъема Нтзх найдем, подставляя времяподъема / = т в уравнение (1.8):• 122Минимальное значение интервала А г1 называется периодом колебаний Т. Величина, обратная периоду, называется циклической час1тотоит = — .' ТВ СИ частота измеряется в герцах(1 Гц = 1/с). Частота численно равна числу колебаний за 1 с. Используют такжекруговую частоту со = 2п/ , размерностькоторой рад/с.Колебания называются гармоническими, если координата тела в некоторойсистеме отсчета ХОУ меняется по законусинуса или косинуса:х(() =(1.9)Величина А, равная максимальномуотклонению тела от положения равнове-Рис.
1.7. Параболическаятраектория движения тела,брошенного под углом кгоризонту23сия, называется амплитудой колебаний. Величина (со/ + ср) называется фазой колебаний, а ее значение ср в начальный момент времени 1 = 0 — начальной фазой.Скорость и ускорение тела в процессе гармонических колебанийтакже меняются по гармоническому закону:) = — =Аы соз (со/ + ш);а/Ка({) = — =-Лсо 8т( со/ + ф).При рассмотрении движения тела по окружности радиуса /?удобным параметром описания положения точки М является уголФ (рис. 1.8), связанный с декартовыми координатами точки х и у соотношениямиСледствием такого описания является введение двух новых величин: угловой скорости со и углового ускорения е.
Рассмотренныеранее скорость V и ускорение а носят название линейных. Угловаяскорость и угловое ускорение как физические величины вводятсяпо аналогии с линейными величинами:6—с/и _ а фЛ ~~а^(1.10)Угловая скорость связана с периодом обращения Т соотношением со = —. Отметим, что угловые величины ф, со и е являются векторными: направление вектора ф можно определить правилом буравчика: если расположить острие буравчика с правовинтовой резьбой вдоль осивращения и вращать его вместе с радиумсом-вектором точки, то поступательноедвижение буравчика определит направление вектора ф.Скорость тела V в любой момент времени направлена по касательной и связана с угловой скоростью соотношениему=[й-Л].Рис.
1.8. Уголовые координаты точки24а„=^п,2§ 2. Кинематика движения тела по окружностисо =движения, так и за счет изменения направления вектора линейнойскорости. Ускорение, возникающее благодаря изменению направления скорости, называют нормальным, или центростремительным,направлено к центру вращения и равно(1.11)При движении по окружности точкаиспытывает ускорение как за счет изменения абсолютного значения скорости(1.12).где п — единичный вектор, направленный вдоль радиуса к центрувращения.Ускорение, возникающее благодаря изменению абсолютного значения скорости, называют тангенциальным. Оно направлено по касательной к траектории движения (т.
е. по касательной к окружности)и равноаЪ(1.13)где т — единичный вектор, направленный по касательной к траектории.Тангенциальное и угловое ускорения связаны соотношением*.'в т =рБ-Д].(1.14)Полное ускорение при движении по окружности равно сумменормальной и тангенциальной составляющих:(1.15)Все приведенные рассуждения можно обобщить на случай движения тела по любой плоской кривой — при этом в формулах радиус окружности следует заменить радиусом кривизны траекториив данной точке.Классическим примером на тему движения по окружности является задача о нахождении мгновеннойлинейной скорости произвольной точки колеса, катящегося с постояннойскоростью по горизонтальной поверхности (рис. 1.9)Колесо участвует одновременнов двух движениях: поступательном с постоянной скоростью 1>0 и вращательном — вокруг оси колеса О с угловойскоростью соV= — . Равенство моК Кдулей скоростей V^ и ут следует из того,что мгновенная скорость нижней точ-Рис. 1.9.
К определению скорости точек колеса25ки колеса VВ=V0-V^=0 (иначе колесо будетпроскальзывать по поверхности качения).В точке М скорость ут вращательного движения направлена по касательной к окружности и скорость Vм может быть найденаиз ДЛ/УУР:АВМО =>^ •Ф^= 281П——,V0-=ОБ• ФVм = 2V^ 81ПвРешение этой задачи становится проще,если воспользоваться понятием мгновенРис. 1.10. К определениюной оси вращения, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
