klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 7

1.20. Силы, действующие в системе, при движении бруска с находящимся на нем кубиком по гладкойгоризонтальной плоскости41^ния /', не превышающей величины ^1N == цт^. Следовательно, должно выполняться неравенство/' =Р<тнг!*'< ц/я,#, откуда= Р0_ Если приложеннаяРис. 1.21. Система отсчета сила превысит значение Р , то кубик начнет0и силы, действующие наскользить по бруску.тело, при его скольженииУскоренное движение наклонной плоспо наклонной плоскостикости. Наклонная плоскость, образующаяс горизонтом угол а движется с горизонтально направленным ускорением а.

Определим значения ускорения,при котором тело будет скользить вверх по наклонной плоскости.Система отсчета и силы, действующие на тело, указаны на рис. 1.21.Второй закон Ньютона в векторной форме имеет видN= та .Пока тело не скользит, второй закон Ньютона в проекциях на осиОХ и ОТ приводит к системе уравнений /п&зша + Р^ = тасоза;N - т§со$а = такта. При этом Р^ < цЖ Выразив Р^ и N из системы уравнений и подставив в неравенство, получим т(асо&а < ц/и(а8ша+#со8а), откуда следует, что брусок неподвижен,пока а <При а > а0 == а0._брусок будет скользить вверх по на-со8а-ц8таклонной плоскости.Из выражения для критического значения ускорения а0 видно,что оно возрастает до бесконечности при выполнении соотношениясова = цата или 1§а = ц.

Это означает, что при 1§а < ц брусок ни прикаком значении ускорения а не будет двигаться вверх.Контрольные вопросы1.2.3.4.5.6.7.428. Сформулируйте второй закон Ньютона.9. Является ли первый закон Ньютона частным случаем второго зако-Но ускорение бруска вызывается силой тре-Какая система отсчета называется инерциальной?В чем состоит принцип относительности Галилея?В чем заключается физическое содержание первого закона Ньютона?В чем состоит явление инерции?Какой смысл имеет понятие силы в механике?Как измерить силу?Каким способом определяют массу?на?10.

На тело действует одна сила. Может ли при этом скорость тела равняться нулю; ускорение тела равняться нулю? Может ли тело покоиться?11. Сформулируйте третий закон Ньютона.12. Почему действие двух сил, связанных третьим законом Ньютона,не компенсируется?13. В чем состоит принцип независимости действия сил?14. Какова природа сил трения и сил упругости?15. Как определить направление силы трения покоя и силы тренияскольжения?16. Пружину жесткости 1с разрезали пополам.

Какова жесткость половины пружины?17. При каком взаимодействии приложенная к телу сила зависит от егомассы?18. Может ли знак ускорения материальной точки измениться при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую?19. Может ли движение материальной точки в одной инерциальнойсистеме отсчета быть равномерным, а в другой равноускоренным?сложим первые три уравнения системы (1.24), и с учетом третьегозакона Ньютона для взаимодействия каждой пары точек ( /12 + /21 = О,Глава 1.3Законы сохранения в механике+/31 =°' /14 +/41 =0, /23 + /32 = 0 , /42 +/24 =0, /43 +/34 =0) ПОЛу/13 +/31чим_ г , 7 , ?- /41 +/42 + /43-ЛигЭто выражение можно записать иначе:§ 8.

Закон сохранения импульсаОпираясь на модель материальной точки можно строить болеесложные модели объектов материального мира. Однако сложная модель не должна являться совокупностью простых моделей. В сложноймодели каждая ее составная часть (например, материальная точка)описывается законами Ньютона или их следствиями, а кроме того,должны быть найдены физические величины и функциональныесвязи между ними, которые бы продуктивно описывали совокупностьв целом, т. е. как единый объект. Тогда при исследовании данногокруга объектов можно было бы одновременно использовать законыдля отдельных материальных точек и законы, описывающие совокупность, как цельный объект.Система взаимодействующих материальных точек составит предмет дальнейшего рассмотрения.Импульс (количество движения) системы материальных точек.На рис.

1.22 показана система четырех материальных точек 1, 2, 3, 4и силы взаимодействия между ними /11с. Для каждой материальнойточки справедлив второй закон Ньютона, а для каждой пары точеквыполняется третий закон Ньютона. Тогда, записывая второй законНьютона в форме уравнения (1.17) для каждой материальной точки,получим систему уравнений:Далее введем суммарный импульс системы материальных точекр = р\+р2+Рз и окончательно получим уравнение, описывающеезакон изменения импульса системы материальных точек:Сумма трех импульсов материальных точек обозначена р и носитназвание импульса системы материальных точек.

Эта величинаи является характеристикой системы. Сумма сил Р представляет собой сумму внешних сил, действующих на систему материальныхточек, а уравнение (1.25) — математическое выражение теоремы (закона) об изменении импульса системы материальных точек.Итак, разбив совокупность взаимодействующих материальныхточек на систему точек, принадлежащих системе, и точки, внешниепо отношению к системе, на основе законов Ньютона с помощьюматематических операций можно получить физическую величину,характеризующую систему точек как целостный объект, а именно,импульс системы точек р и закон его изменения.Уравнение (1.25) является векторным, и в проекциях на оси декартовой системы координат имеет вид:"^=/,4+/ 2 +/13; %=/24+/23+/22 1 'Л/34Рис.

1.22. Система материальных точек441ЛС 1 - 25 )^Р = Г-'•''•.',7„Ф* _:,32= /31+/3(1.24)= /41 +/42 +/43Если рассматривать любую точку индивидуально, то все действующие на неесилы являются внешними. Выделим из совокупности четырех точек точки 1, 2, 3и объединим их в систему. При этом точка 4 становится внешней по отношениюк системе, состоящей из точек 1, 2, 3,и действует на систему внешними силами.Для получения характеристики системышг*. Л -<»Л-**•Отметим, что объединение в систему всех четырех точек приводи = 0, где' р_ + р + р + Рц - Р, из которого неподит к уравнению ——{23Лсредственно следует, что для выбранной системы материальныхточек р = соп81.Действительно, при объединении всех материальных точек в систему не остается тел, внешних по отношению к системе, а значити внешних сил.Системы, по отношению к которым действие внешних сил компенсируется, называются замкнутыми.-•' '""''' ' •;'• .'•' '•-••:.'45Теперь можно сформулировать закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы материальных точек (тел) сохраняется.Следует отметить, что закон сохранения импульса вытекает из законов Ньютона и, следовательно, справедлив только в инерциальнойсистеме отсчета.Для незамкнутых систем тел импульс системы в общем случаене сохраняется.

Однако и в этом случае может сохраняться проекцияимпульса на какое-либо направление при условии, что суммарнаяпроекция внешних сил на то же направление равна нулю.Существует и другая возможность применения закона сохраненияимпульса в незамкнутой системе. Она реализуется в случаях, когдаизменение скоростей тел системы под действием внутренних силпроисходит за короткий интервал времени (например, при выстрелах,взрывах снарядов, соударениях тел импульс системы тел до и послекратковременного внутреннего взаимодействия сохраняется и в присутствии внешних сил г , так как изменение импульса системы телАр=Р&( стремится к нулю при Д/ -» 0).Закон сохранения импульса позволяет решить многие задачи динамики, не вдаваясь в подробности взаимодействия тел, что особенно важно в тех случаях, когда трудно или невозможно аналитическивыразить силы, действующие в системе.

Примером возможностейзакона сохранения импульса в решении задач может служить рассмотрение абсолютно неупругого взаимодействия, при котором дватела массами т{ и т2, движущиеся прямолинейно (например, скользя по гладкой горизонтальной поверхности) со скоростями У, и г)2,после столкновения образуют единое тело и движутся вместе. Поскольку в этом случае внешние силы (силы тяжести и силы реакцииопоры) компенсируются, можно приравнять импульс системы телдо удара импульсу после удара: т{ у, + т2 и2= ( Щ + т2) и и найтиконечную скорость тел= ^т1г1 и продифференцируем по вре(=1мени. В результате получимРис. 1.23. Центр масс системы материальных точекили:Центр масс.

Закону об изменении импульса системы тел можнопридать форму второго закона Ньютона, рассматривая ускоренноедвижение некоторой точки системы, называемой центром масс.Центром масс системы N материальных точек /и, (1 < / < ТУ),положение которых в данной системе отсчета задано радиусами-векторами ъ, называют точку пространства, координаты которой определяются уравнением(1.26)N2у1=1(1.27)ОТ,= VI — скорость тела масгде — = #цм — скорость центра масс;Л"•сы /и,-.Дифференцируя уравнение (1.27) по времени, получим соотно_.__,,__^.гД7шение ^ = М^ = У™/^ = Ё^ (где ^=Ё/, -результирующаяЛЛ/=1Л,=1/=1всех внешних сил), представляющее собой закон движения центрамасс: в инерциальной системе отсчета произведение массы системы материальных точек на ускорение центра масс системыравно сумме действующих на систему внешних силМаш=Ри=46де д/= У /и,- — суммарная масса системы/материальных точек (рис. 1.23).Центр масс (ЦМ) — геометрическая,а не материальная точка. Она может бытьрасположена как в пределах системы материальных точек, так и вне нее.Запишем формулу (1.26) в виде МК =г(ацм = -^-)-Если система замкнута / = 0, тогда ацм = 0 и йт = сопи.

Другимисловами, внутренние силы не могут изменить скорость центра масссистемы.Реактивное движение. Реактивное движение возникает в результате отделения от тела его части, скорость которой не равна скороститела. Примером реактивного движения является полет ракеты. Реактивное движение основано на том, что газы (продукты горения) истекают направленно и обладают импульсом. При истечении газовракета приобретает такой же по величине и обратный по направлению импульс, поскольку образует вместе с газами замкнутую систему тел.

Другими словами, при реактивном движении возникает ре-47активная сила, сообщающая телу ускорение и изменяющая егоскорость.Для описания реактивного движения воспользуемся вторым законом Ньютона, который в общем случае следует записать в виде:йР(11=--^внеш> или ЛР-Ртеш^- ОсоббННОСТЬЮ реЭКТИВНОГО ДВИЖСНИЯявляется изменение со временем массы движущегося тела, поэтомуизменение импульса системы следует выразить, учитывая изменениемассы:= (т - с1т)(V + Ли) + шс!т - т V = тс!и+ (ш где (1т — изменение массы ракеты вследствие выброса газов; ш —скорость газов; V — скорость ракеты; (IV — изменение скоростиракеты.Полученное уравнение тсИ) + (ш - и)с!т =Ртеша{, записанноев виде= т-+(1т(1.28)(где г;отн - (ш - V) — скорость истечения газов относительно ракеты),представляет собой движение тела переменной массы под действиемвнешней силы Днеш (уравнение Мещерского).