klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 10

Положение каната на гладком горизонтальном столе при егоскольженииПример 4. При наличии сил трения скольжения полная механическая энергия сохраняться не будет, но применение закона изменения полной механической энергии позволяет решать определенныйтип задач. Рассмотрим движение тела, соскальзывающего с гладкойнаклонной плоскости высоты Н на шероховатую горизонтальнуюповерхность, и определим путь, пройденный телом по горизонтальной поверхности до остановки.Изменение полной механической энергии равно работе силы трения Ек - Ен - А. Сила трения постоянна на всем отрезке пути по горизонтальной плоскости и равна А = Р^ • / -созл= -цт#/.

Еслиза уровень отсчета потенциальной энергии выбрать горизонтальнуюплоскость, то в начальный момент времени (наверху наклоннойплоскости) полная механическая энергия тела Ен = т§Н, в конечныймомент Ек = 0. Приравнивая изменение энергии тела работе силыТТтрения, получим 0 - т%Н - -\ып§1, откуда / = —.ЦПример 5.

По горизонтальным рельсам без трения со скоростью1'о катится тележка. На передний край тележки кладут кирпич, начальная скорость которого относительно Земли равна нулю. Определим выделившееся количество теплоты.В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, под действием силы трения, возникающей между тележкой и кирпичом,тележка и кирпич будут двигаться с ускорением до тех пор, покаскорости тележки и кирпича не сравняются (обозначим эту скоростькак и). После этого движение кирпича вдоль тележки прекратится,и сила трения станет равной нулю.

Выделившееся при этом количество теплоты равно работе силы трения: (? = \АТР\. Работу силытрения можно найти из закона изменения механической энергииУ2л =Ег - Еп . -пт- = (М + пг)и„АрПри этом ЕI- = ^ о—; Е—. Скоростьи найкнИкдем из закона сохранения импульса: в начальный момент движетсятолько тележка и ее импульс равен МУО, в конечный момент тележ-59ка и кирпич движутся е одинаковой скоростью и и количество движения системы равно (М + т)и.

Тогда МV0 = (М + т)и, откудаи=(А/Ч/я)Подставляя полученные выражения в уравнение С? =- Ен - Ек, получим<1 =Расстояние, на которое сместится кирпич относительно тележки,также можно найти из закона изменения механической энергии. Дляэтого представим работу сил трения как сумму работ, совершенныхсилами трения над кирпичом А'Тр и тележкой А"р. При этом А'Тр == ц/я&Х1 (Х[ — перемещение кирпича относительно Земли в течениевремени действия силы трения). Отметим, что работа А'^ силы трения, действующей йа кирпич, положительна, так как ее направлениесовпадает с направлением скорости кирпича. Аналогично находимА'^р = -^.т§х2 &2 ~~ перемещение тележки относительно Земли в течение времени действия силы трения). Окончательно получаем- Х ) =Е*/7откуда х2-х1 =Итак, если длина тележки I, > х2 - хг =то кирпичне упадет с тележки,Пример 6.

Пуля массы т, летящая горизонтально со скоростьюV, попадает в тело массы М, подвешенное на нити длины Ь, и застревает в нем. В результате тело начинаетсовершать колебания с углом максимальногоотклонения а (рис. 1.34), который можно найти, применяя законы сохранения импульсаи энергий.Взаимодействие пули и тела представляетсобой абсолютно неупругий удар, при которомсправедлив закон сохранения количества двиггшжения.

Тогда скорость тела и (непосредственнопосле попадания пули) связана с искомой скоРис. 1.34. Отклонение ростью пули V уравнениемтела после попаданияв него пули60ти = (т + М)и.После окончания взаимодействия пулителомможно пользоваться законом сосхранения механической энергии, так какна втором этапе в системе отсутствуютнеупругие взаимодействия и силы трения, а работа внешней силы натяжениянити равна нулю (эта сила всегда перпендикулярна скорости тела). Если принятьза нуль энергию маятника в положении2(М + т)и.,,равновесия, то ^-:— = (Л/Рис.

1.35. Абсолютно упругий удар кубика с системойдвух кубиков, соединенныхпружиной= (Л/Чт)#Д1-со8а). Решая систему уравнений, находимт2V2сока = 1 -Пример 7. На горизонтальной поверхности покоятся два одинаковых кубика, скрепленных недеформированной пружиной жесткости 1с и длины Ь. На один из кубиков налетает третий кубик той жемассы со скоростью 1>0, направленной вдоль оси пружины (рис. 1.35).Происходит абсолютно упругий удар.Для описания дальнейшего поведения системы будем считать, чтовремя соударения кубиков 7 и 2 столь мало, что кубик 2 смещаетсянезначительно, и действием на него пружины можно пренебречь. Таккак кубики 1 и 2 имеют одинаковую массу, то в результате абсолютно упругого удара они обмениваются скоростями (см. пример 1)и непосредственно после удара скорость второго кубика VI = УО> а скорость первого VI = 0.Рассмотрим теперь систему связанных кубиков 2 и 3 и запишемзаконы сохранения импульса и механической энергии, приравниваяих соответствующие значения в начальный (непосредственно послеудара) и последующий произвольный моменты времени:(1.45), или VI, ИЛИ*>= V2,(1.46)г г!Возводя уравнение (1.45) в квадрат, получим V2 + V2 = V2) - 2V2Vг.Подставим это выражение в уравнение (1.46), в результате чего онопосле преобразований принимает вид:.Тт.' • , ; • ' • - • • '= 2У2УЗ-В момент времени, когда пружина максимально растянута илисжата, скорости кубиков равны друг другу, т.

е. удлинение пружины х61тVпринимает максимальное значение при1сшшяяшлШлллллллтТогда х тах =Рис. 1.36. Движение связанных брусков •— -^ + ХпТ— Т1 —л у•^ттлтах-Пример 8. Рассмотрим связанноедвижение тел при наличии трения. В системе, приведенной на рис. 1.36, массыбрусков равны. Если система начинает движение при недеформированной пружине, будем считать энергию системы в этот момент времени равной нулю: Е„ = 0. Тогда в произвольный момент времени^СХэнергия станет равной Ек =1- 2/7112пг§х.

Если трение отсут2ствует, то Ек - Е„ = О, что дает уравнение УЬс + пит - т§х = 0, илипит = т%х1сх2= х(т§/схЕсли есть трение, то Ек - Ен = Лтр = -Р^х = -ц№ = -^т§х. Подставляя выражения для начальной и конечной энергии, получим+ 2-- т&с = -\ап§х,или= тцх -/сх2Ъх_' 2Правая часть уравнения представляет собой квадратичную функтк(\-и) „цию, достигающую максимума при х =——. При этом макси/смальная скорость:Таким образом, трение приводит к уменьшению максимальнойскорости в (1 - ц) раз. Отметим, что (1 - ц) > "О, в противном случаесистема в начальный момент времени не придет в движение.62Второй закон Ньютона в векторной форме определяет величинуи направление полного ускорения.

При движении материальнойточки по плоской криволинейной траектории, например окружности,система координат, как правило, выбирается так, что одна из осейсовпадает с нормалью, а вторая с касательной к траектории. В общемслучае ускорение имеет две проекции: касательную и нормальную.Нормальное ускорение (проекция полного ускорения на радиус ок2ружности) а„=—к = со /? возникает из-за изменения направленияднскорости со временем; касательное ускорение й т = —— возникаетА/только при изменении скорости движения по модулю.Второй закон Ньютона в проекциях на радиус и касательнуюимеет вид:?;).

Правая часть этого уравнения дос-тиг _,тигает максимума при л: =——. Тогда максимальная скорость {;тах =/сЬс2§ 12. Динамика криволинейного движенияматериальной точки'-••(1.47)(1. 48)Следует отметить, что правая часть уравнения (1.47) представляетсобой произведение массы на ускорение (а не центростремительнуюсилу, как ошибочно утверждают многие), как и должно быть в законе Ньютона.

Заставляет двигаться тело по окружности вполне конкретная сила или ее проекция на радиус (записана в левой частиуравнения (1.47)). Роль этой силы, как видно из приведенных далеепримеров, в разных случаях могут выполнять силы упругости, трения,тяжести и т. д.Пример 1. На расстоянии К от центра горизонтально расположенного, вращающегося диска находится тело массы т.

На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, под действием которых тело движется по окружности радиуса /? (рис. 1.37).При этом уравнение движения имеет вид: та = т% + Й + РТр. Про--';я-11011ятеРис. 1.37. Движение тела по окружности под действием силы трения63•«трРис. 1.38.

График зависимости силытрения между диском и телом отчастоты вращения дискаРис. 1.39. Силы, действующие намотоциклиста, в момент прохождения верхней точки мостаецируя это уравнение на радиус, получаем: тк>2К = Р^, где со2/? —центростремительное ускорение; со — угловая скорость. Так как угловая скорость связана с частотой вращения соотношением со = 2лV,то Др = 4л2у2 тМ (если тело покоится относительно диска).Кроме ток», Ргр < ц./У = \ат§. Откуда появляется ограничениена частоту вращения: если Г^ = 4л2у2тУ? < [лт§, то V < •1Пример 3.

Рассмотрим вращение в вертикальной плоскости груза, привязанного на нити длины Ь. Силы, действующие на груз в некоторый произвольный момент времени, изображены на рис. 1.40.Уравнение движения груза имеет вид: та = т§ + N , где N — натя2жение нити. Проецируя это уравнение на радиус, получим: то» /, =2= т§со&а + N, откуда натяжение нити N = т(«> Ь - т§со5а).Для вращения груза в вертикальной плоскости необходимо, чтобы нить оставалась все время натянутой, т.е. чтобы выполнялосьусловие N > 0. Если это условие выполняется, то N = т(со2/, - т#со8а) > 0, т. е.

угловая скорость должна быть больше некоторой. Выражение в правой части неравенствазависит от угла а и максимально в верхней точке траектории (приИтак, при ш > со0 =. I— фуз будет вращаться в вертикальной плос\ 1-<кости. Тогда максимальный период обращенияН#'2п\К~Следовательно, пока частота вращения не превышает критическогозначения УО, тело покоится относительно диска. С увеличением частоты вращения сила трения покоя возрастает пропорциональноквадрату частоты до значения цтп#.

При частоте вращения V > УО == —./— сила трения покоя не может удержать тело на диске. Тело2л V Ксоскальзывает с диска, при этом сила трения скольжения постояннаи не зависит от частоты Р^* №т§ (рис. 1.38).Пример 2. Мотоциклист движется со скоростью V по мосту, имеющему форму дуги окружности. Силы, действующие на мотоциклиста в момент прохождения верхней точки моста, изображены на рис.1.39. Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона):Ма = М& + N. Проецируя это уравнение на раV2диус, получим: М-—= М% - N, откуда N =К.',-— . Условия отрыва мотоцикла от поК.)верхности моста можно записать в виде: N =С00Пример 4. Груз массы т, подвешенный на невесомой спице, отклонили на угол а и отпустили без начальной скорости (рис.