klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 20

В теории волновых процессов фундаментальной моделью является бесконечная гармоническая волна, в которой изменения состояния среды происходят по закону синуса или косинуса. Математически гармоническая волна,распространяющаяся вдоль оси ОХ, выражается зависимостьювида(1.100)Уравнение (1.100) называется уравнением бегущей волны, определяющим смещение у любой точки колеблющейся среды в зависимости от ее координаты х и времени /.Источником периодической волны является постоянное колебательное возмущение среды. Поэтому колебательное движение источника волны и порождаемая им волна должны иметь ряд общих характеристик.Основными характеристиками волнового движения являютсяследующие:• Т — период колебаний;• со — циклическая, или круговая, частота, выраженная в радианах• с — скорость распространения волны, зависящая от упругихсвойств среды;• А,— длина волны, т.

е. кратчайшее расстояние между двумя точками среды, совершающими колебания в одной и той же фазе. Длина волны равна расстоянию, на которое перемещается волновойфронт за время, равное периоду колебаний (X = сТ);» /с — волновое число, которое может быть выражено через круговую частоту и скорость распространения или длину волны (1с =• А — амплитуда волны.ИЗС использованием перечисленных характеристик уравнение бегущей волны можно записать в виде у = А§т(к>( -/сх + (р), где ср — начальная фаза колебаний.В общем случае для произвольной точки, характеризуемой радиу- ьсом-вектором г, имеет место уравнениеу (г, I) = А 8ш(ю/ - /с • г);(1.101)направление распространения волны определяется волновым вектором /с.Суперпозиция волн.

Нередки случаи, когда две или нескольковолн одновременно распространяются в одной и той же областипространства. Это явление может наблюдать каждый, бросая несколько камешков в воду и рассматривая «круги на воде» — процесс распространения поверхностных волн. Легко заметить, что волны проходят одна сквозь другую (и в этой области профиль поверхностидостаточно сложен), а затем продолжают распространяться независимо друг от друга без видимых изменений, т.

е. изменения заметнытолько в области перекрытия волновых возмущений (явление интерференции). Такая ситуация возможна только при выполнении принципа суперпозиции волн: возмущение, порождаемое двумя илинесколькими волнами, равно векторной сумме возмущений, вызываемых каждой из волн в данной точке пространства.В случае механических волн принцип суперпозиции справедлив,когда возмущения невелики и их величина соответствует областилинейной пропорциональности между возмущением и возвращающейсилой. Например, для упругих волн в твердых телах принцип суперпозиции выполняется в той области, где справедлив закон Гука.Принцип суперпозиции позволяет представить волну с произвольным негармоническим профилем в виде суммы волн с различнымиамплитудами и длинами волн.

При этом периодическая исходнаяволна частоты V представляется в виде суммы волн с целыми частотами, кратными V (для непериодической волны сумма заменяетсяинтегралом). На таком представлении основан Фурье-анализ и Фурье -сп ектроскопия.Принцип Гюйгенса. Для волнового движения справедлив принцип Гюйгенса: каждая точка среды, до которой дошло волновоевозмущение, становится источником элементарной вторичнойволны\ при этом положение волнового фронта распространяющейся волны в следующий момент времени определяется огибающейэлементарных вторичных волн.Пользуясь принципом Гюйгенса, можно обосновать многие явления: отражение и преломление волн на границе двух сред, явлениедифракции и др.Стоячие волны. Явления интерференции и дифракции присущилюбому волновому движению, в том числе волнам в упругих средах.114Интерференция волн — явление наложения волн, приводящеек неоднородному, устойчивому во времени распределению амплитудв пространстве.

Дифракция волн — явление огибания волной препятствий.Основные закономерности интерференции и дифракции волнбуДУт рассмотрены в ч. IV «Оптика». Здесь остановимся на стоячихволнах, формирование которых определяет звучание музыкальныхинструментов.Волна может интерферировать сама с собой. Для этого достаточно на пути волны создать границы, от которых волна отражается.Если в закрытой трубе с помощью поршня возбудить плоскую монохроматическую волну давлений, распространяющуюся слева направо, то волна дойдет до конца трубы, отразится и будет распространяться в противоположном направлении.

В этом случае в трубебудут распространяться две волны: одна слева направо, в положительном направлении оси ОХ, другая — справа налево, в отрицательном направлении оси ОХ. Соответственно для прямой и отра-С лЛженной волн можно записать: у} = Лсозоо { — \ = Асо&((л1-}сх);с)Результирующее возмущение, определяемое суммой двух волну = у^ +у2 =2Асо&1ассо82(я1,(1.102)является стоячей волной. Для любой точки результирующее возмущение представляет собой гармоническое колебание с частотой со,но амплитуда этих колебаний является функцией х (рис. 1.80). Амплитуда равна нулю при созАас = 0, т.е. в точках, для которыхХ где А,— длина волны; п = О, 1, 2,т ... —Х ,^ЗХ.х = ,±—+ — , ...,л_±}натуральные числа.

Амплитуда стоячей волны равна удвоенной амплитуде первичной волны при сок /ос = 1 , т. е. для точек х, определяемых условием л: = О, —,..., ± — . Точки, в которых амплитуда результирующей волны равна нулю, называют узлами, а точки, в которыхамплитуда результирующей волны максимальна, — пучностями. УзлыРис. 1.80. Стоячие волны в струнах115и пучности занимают фиксированные места, и профиль результирующей волны не перемещается вдоль оси ОХ.

Другими словами,,волна в целом «стоит на месте», и нет пространственного перенос;энергии. В пучностях при этом имеет место периодический (с удвоенной частотой) переход потенциальной энергии в кинетическую!Частицы среды обладают максимальной потенциальной энергиейв момент максимального возмущения, и максимальной кинетическойв момент времени, когда возмущение отсутствует.§ 26. Звуковые волныЗвуковые волны в газообразных, жидких и твердых телах. |Звук распространяется в воздухе как продольная волна давлений, иливолна плотности.

Диапазон частот, воспринимаемых человеческимухом, составляет 16 Гц —20 кГц. Скорость звука в воздухе зависитот температуры, давления, влажности и равна примерно 330 м/с.Громкость звука определяется амплитудой колебаний давлениявоздуха в звуковой волне, высота звука — частотой колебаний. Низкие звуки представляют собой колебания с малыми частотами, высокие звуки — колебания с большими частотами.Звуковая волна может распространяться не только в воздухе илидругих газах, но и в жидкостях и твердых телах.

При этом в твердыхтелах могут существовать не только продольные упругие волны (ихи называют звуковыми), но и упругие поперечные волны. При этомскорости распространения продольных и поперечных волн в кристаллических твердых телах отличаются друг от друга.Скорость распространения звука определяется упругими свойствами среды. В твердых телах скорость звукас= Ж(1.103)V Ргде р — плотность среды; Е — модуль Юнга — коэффициент, харак,-,А/ = 1 Р .теризующии свойства среды и входящий в закон Гука:—/ Е 8В музыкальных инструментах источником звуковых волн являются колебания струн (гитара, скрипка, фортепьяно) или столбоввоздуха (духовые инструменты, орган, барабан).

Во всех струнныхинструментах струна натягивается между двумя неподвижными опорами (фактически закрепляется в них). Когда струну возбуждаютимпульсным воздействием путем оттягивания и отпускания либоударом, в ней возбуждаются колебания практически всех частот.Большинство из них незамедлительно гасится в силу интерференционных явлений. Медленно затухают только те колебания, которыесоответствуют резонансным частотам струны, т. е. длина волны ко-116торых определенным образом связана с длиной струны.

Низшаячастота, или первая гармоника, соответствует единственной пучности стоячей волны на струне — при этом длина струны равна половине длины волны. Первому обертону, или второй гармонике, соответствует равенство длины струны двум полуволнам, третьейгармонике — трем полуволнам и т.д. Такая закономерность определена тем, что на концах струны всегда должны быть узлы стоячихволн.Биения. Биения возникают при сложении двух волн с близкими,но не совпадающими частотами.

Например, звуковые волны от двухкамертонов в некоторой точке пространства описываются выражениями:у\ = АО 8т(2л/, I + ср) ;у\=А0 8т 2п/2( + (р ,тогда результирующее возмущение определяется суммой двух волн:(Ш4)Таким образом, наложение двух волн дает волну со средней частотой-гги амплитудой, зависящей от времени. Частота изме-нения амплитуды равна"Лг/22Если частоты источников отлича-ются на 1 Гц, то частота изменения амплитуды будет равна 0,5 Гц,а период изменения амплитуды составит 2 с.

Тогда громкость звукас вдвое меньшим периодом будет обращаться в нуль, что можно зафиксировать без всяких приборов.Возникновение биений является весьма чувствительным методомсравнения частот двух волн.Эффект Доплера. При движении источника и приемника волнДруг относительно друга наблюдается изменение частоты волн, воспринимаемых наблюдателем (эффект Доплера).

Явление названов честь австрийского физика Кристиана Доплера (1803—1853). Эффект Доплера нашел широкое применение в различных областяхнауки и техники: от астрономии (для измерений скоростей движенияЗвезд) до радаров, используемых в ГИБДД.Рассмотрим поезд, который движется на прямолинейном участке пути с постоянной скоростью и и издает гудок с частотой звукауо> и определим частоту звука, воспринимаемого пассажиром, ожидающим поезд на станции.При неподвижном источнике звука П0 за время, равное периодуколебаний Т, звуковая волна распространится во все стороныНаРасстояние, равное длине волны Х0 = узв^-117При движении источника звука О соскоростью и за время, равное периодуколебаний Т, звуковая волна распространится в направлении движения источника на расстояние А/ = А,0 - иТ, а в противоположном направлении — на расстояние Г = А,0 + «Г (рис.

1.81).При этом частота колебаний, воспринимаемых неподвижным наблюдателем,А,Т(и,,звп ± и)3 ± иг;,„Если считать и « а№, то выражение длячастоты можно записать в виде:-= УпVI-и2_ иV(1.105)где верхний знак соответствует удаляющемуся источнику звука,а нижний — приближающемуся источнику.Сверхзвуковое движение. Пользуясь принципом Гюйгенса можно обосновать формирование фронта звуковой волны при сверхзвуковом движении источника звука.Как пример, рассмотрим волновой фронт, формируемый самолетом, который летит со сверхзвуковой скоростью V параллельно поверхности Земли на высоте Н. Человек, находящийся в точке Дуслышит звук через отрезок времени А Т после того, как самолетпролетит над ним — в момент, когда фронт ударной звуковой волныОС, порожденной сверхзвуковым движением самолета, его достигнет(рис.

1.82).Самолет в этот момент времени находится в точке С. Тогда АС == V&.Т. В момент времени, когда самолет находится в точке А, волновой фронт звуковой волны проходит по линии РА (при этомРА _1_ ВР). Из подобия прямоугольных треугольников АСО и РАВнаходимРис. 1.82. Формирование фронта звуковой волны при сверхзвуковом движении самолета118откудаКонтрольные вопросы"звРис. 1.81. Эффект ДоплераАО ВРН=, илиАСРАV^Т1. Применимы ли понятия амплитуды, периода и фазы для негармонического колебательного процесса?2. В чем состоит явление резонанса и как оно проявляется?3.

Что называется волновым движением и каковы его основные особенности?4. Связано ли волновое движение с переносом вещества?5. В чем различие между поперечными и продольными волнами?6. Что представляют собой звуковые волны? Переносят ли они энергию?7. Почему в жидкостях не могут распространяться поперечные звуковыеволны?8. Какие физические характеристики определяют громкость звука и еговысоту?9. При каких условиях возникают стоячие волны? Что такое узел и пучность стоячей волны?10. В чем состоит эффект Доплера?.