klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 6

Описание файла

Файл "klassicheskaya_mekhanika" внутри архива находится в папке "Вырезка из книги". PDF-файл из архива "Вырезка из книги", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "классическая механика" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 6 страницы из PDF

Хотя аналитически решить такую системудифференциальных уравнений получается далеко не всегда, Ньютону удалось сделать это для планет Солнечной системы и чрезвычайно точно описать их движение.§ 6. Силы в механикеВ механике изучаются явления и процессы, протекающие на макромасштабном уровне (от молекулярных взаимодействий до движения небесных тел), обусловленные действием сил электромагнитнойи гравитационной природы.

Проявление сил электромагнитной природы многообразно. К ним относятся силы упругости и силы трения,возникающие за счет электрического взаимодействия зарядов, входящих в состав атомов и молекул. Путь, по которому можно от характеристик атомов и молекул перейти к характеристикам сил, обусловленных взаимодействием этих молекул, достаточно сложени непродуктивен. В механике принято ограничиваться феноменологическим описанием сил, позволяющим для многих случаев взаимодействия тел иметь количественное описание сил в простом виде.Силы упругости. Электромагнитную природу имеют силы упругости, определяемые взаимным расположением тел и возникающиепри их деформации.

В первом приближении следует различать упругую и пластическую деформации. Пластическая деформация является необратимой — она не исчезает при снятии нагрузки, т.е. припрекращении действия силы, вызывающей деформацию. Упругаядеформация обратима, и для нее справедливо утверждение: в пределах упругой деформации изменение длины тела А/пропорционально приложенной силеР=Ш,(1.20)впервые сформулированное английским естествоиспытателем, ученым-энциклопедистом Робертом Гуком (1635—1703) и известное какзакон Гука.Коэффициент к, называемый жесткостью (стержня, пружины),зависит от размеров тела и упругих свойств материала.

В случаедеформации однородного стержня длиной /0 и постоянного поперечного сечения площадью 51 закон Гука можно записать в виде:36А/1 Р/огде Е — коэффициент пропорциональности, введенный английскимфизиком Томасом Юнгом (1773—1829) и носящий его имя (модульЮнга).Частным случаем^сил упругости являются силы натяжения нитиТ и силы реакции N опоры. В этом случае жесткость к велика, деформации столь незначительны, что ими обычно пренебрегают,а силы Т и N считают постоянными. При этом сила натяжениянити направлена вдоль нити, а сила реакции опоры приложена к телусо стороны опоры и направлена перпендикулярно поверхности соприкасающихся тел.Силы упругости зависят только от положения тел Гупр = Р(г). Такие силы носят название консервативных сил.

К консервативнымсилам относятся также силы тяготения.Силы трения. Силы, значение которых зависит от скорости,относятся к неконсервативным (их еще называют диссипативными). К ним относятся силы трения, возникающие при контакте тели направленные против скорости относительного движения телпо касательной к их поверхностям. Тело может контактировать какс другими твердыми телами, так и с жидкой (или газообразной) средой.Если взаимодействуют поверхности двух твердых тел, то возникает сила сухого трения. В этом случае силой трения называетсякасательная составляющая силы реакции поверхности, на которойнаходится тело. Силы сухого трения разделяют на силы трения покояи силы трения скольжения.Если к телу приложить постепенно возрастающую силу Р, то покаэта сила не достигнет определенной величины Р™,тело остаетсятрв покое. С точки зрения второго законаНьютона это означает, что на тело, кромесилы Р, действует равная ей по величинеи противоположно направленная силатрения покоя Др= -Р.

Когда сила Р'трдостигает некоторой определенной величины Р™, называемой силой трениятрскольжения, тело начнет двигаться. Таким образом, сила трения покоя в зависимости от внешнего воздействия можетизменяться в интервале 0 < Р^ < \^N(рис. 1.16).Опыт показывает, что модуль силы Рис. 1.16. Зависимость силытрения скольжения пропорционален силе трения от внешнего воздейнормального давления N опоры на телоствия37(или тела на опору, поскольку по третьему закону Ньютона эти силыравны по величине) и практически не зависит от скорости тела:/^ к =цУУ,(1.21)где безразмерный коэффициент пропорциональности ц называетсякоэффициентом трения скольжения.

Коэффициент трения скольжения зависит от материалов, из которых изготовлены контактирующие тела.При движении тел в жидкостях или газах возникает сила вязкоготрения, которая в простейшей модели вязкого трения при малыхскоростях движения V равна ГВ тр = ру и направлена против скорости(Р — коэффициент вязкого трения — размерная величина, зависящая от формы тела и свойств жидкости).

При больших скоростяхлинейная зависимость может перейти в квадратичную: Р = -Ь'о2п,где п — единичный вектор, направленный вдоль скорости; Ь' — коэффициент вязкого трения в области квадратичной зависимости.В вязкой среде сила трения покоя отсутствует.Сила тяжести. Сила тяжести — частный случай сил тяготения — имеет гравитационную природу. Эта сила, действующая на телосо стороны Земли вблизи ее поверхности, равна произведению массы тела т на ускорение свободного падения §:/=Подробнее силы тяжести рассмотрены в § 19.§ 7.

Примеры решения задачРешение задач динамики следует начинать с определения всех тел,с которыми взаимодействует рассматриваемое тело. При этом могутвзаимодействовать как тела, находящиеся в непосредственном контакте, так и тела, удаленные друг от друга. Первому типу взаимодействия соответствуют упругие силы и силы трения, второму типу —сила тяготения.Затем решение задачи необходимо вести в следующей последовательности:1) указать все силы, действующие в системе;2) выбрать систему координат;3) записать уравнения движения, используя второй закон Ньютона в векторной форме;4) перейти к уравнениям в проекциях на оси выбранной системыкоординат или на направление движения;5) записать дополнительные уравнения, которые могут выражать:38• уравнения кинематических связей (соотношения, связывающиемежду собой ускорения тел системы);• геометрические соотношения;• особые свойства заданных в системе сил;• другие специальные условия системы;6) решить полученную систему уравнений и проверить единицыизмерения величины, полученной в ответе (соответствие СИ).Неподвижный блок (машина Атвуда).

Исследуем движениегрузов массами т, и т2, закрепленных на концах нити, которая перекинута через неподвижный блок.В большинстве задач динамики, кроме особо оговоренных случаев, принято считать, что нить невесома и нерастяжима, блок невесом,трение в оси блока отсутствует, сопротивление воздуха пренебрежимо мало и нить не скользит по блоку.В этом случае силы, действующие на тела, приведены на рис. 1.17.Согласно второму закону Ньютона уравнения движения грузов имеют вид:/и, и; =/п,# + Т};тга2 = т2§+Т2.Для блока аналогичное уравнение имеет вид Т{ + Т{ + N = О, таккак масса блока равна нулю.В проекциях на направление перемещения (ось 2) система уравнений принимает вид:т.а,,; т2а2 =- Т2,{ - N= 0.

(1.22)Для решения задачи необходимы дополнительные уравнения —так называемые уравнения связей. Их можно получить исходя из следующих соображений:1) поскольку нить нерастяжима, ее длина / постоянна и равнасумме координат грузов: / = %} + %2. Дифференцируя это соотношение,находим связь между скоростями и ускорениями: ^ = -VI, а\ = -а2;2) из невесомости нитей следует, что Т\ = Т\; Т2 = Т2, что можнострого обосновать, рассматривая движение нити.Например, уравнение движения для произвольновыбранной части нити массой Ат имеет вид:Т" + Д/я# - Т"' = А/яа.Для невесомой нити А/и = 0, откуда непосредственно следует, что Т" = Т"'. Поскольку частьнити выбрана произвольно, то натяжение нитиимеет постоянное значение по всей длине;3) из невесомости блока следует, что Т\ = Т2.Следовательно, 7\ = Г,' = Т{ = Т2= Т.

Решая систему уравнений совместно с уравнениями связей,находим ускорения грузов и натяжение нитей:Рис. 1.17. Схемамашины Атвуда39т, - АИ,-К/Ят, - т7.в =_,4/И!/Я2т2 + т,/и-,Движение тела по наклонной плоскости. Следует рассмотреть два случая движеРис. 1.18.

Движение тела ния тела по наклонной плоскости — внизпо наклонной плоскости и вверх, так как сила трения определяетсянаправлением движения тела:1. Тело движется вниз. Система отсчета и силы, действующие на тело, указаны на рис. -1.18.Согласно второму закону Ньютона имеем: т§ + N + Д.р = та , чтов проекциях на оси координат приводит к системе уравненийТр- та; N - т§со$а = 0;'кроме того, сила трения скольжения Р^Решив систему уравнений, найдем ускорениеа = #(8та - цса8а).(1-23)Из полученного выражения следует, ч?о ускорение может бытьотрицательным, но это не означает, что тело может начать двигаться вверх.

В этом случае тело будет двигаться вниз, а затем остановится.2. Тело движется вверх. На тело действуют те же силы, чтои в первом случае, но сила трения теперь направлена вниз (силатрения скольжения всегда направлена против скорости).Согласно второму закону Ньютона уравнение сил в проекцияхна оси координат имеет вид/п#8та +РТР = та;N - «г^соза = 0;кроме того, Рту = цЖИз системы уравнений найдем ускорение тела при движении вверха = #(8та + цсоза).Отметим, что ускорение при движении тела вверх больше, чемпри движении вниз.

Из-за этого и время 'скольжения вверх по наклонной плоскости будет меньше времени соскальзывания вниз.Зависимость силы трения от угла наклона. Построим зависимость силы трения, действующей на брусок, от угла наклона плоскости, на которой он находится (рис. 1.19).При малых значениях угла наклона а ^ ас брусок покоится, следовательно, а = О и ли^ + Ж + Др = 0.Проецируя это уравнение на оси координат, получимР~ = 0;40N - т§со$а = 0.Из первого уравнения найдем силу трения покоя Р^ = ли#8та,из второго — силу реакции опоры N = т§со$ а. Сила трения покояограничена величиной Р^р < цЖ, или т^кша < ц/и#со8а, откуда1§а < ц.Последнее неравенство определяет условие равновесия тела на наклонной плоскости ос ^ а0, где а0 = агс1§ц. Итак, при а < а0 ^р =При а > а0 тело под действием тех же трех сил будет двигаться понаклонной доске, и в силу второго закона Ньютона= та.

При этом сила трения скольжения /^ = цЖ=Объединив найденные значения силы трения для покоя и движения, получим окончательный ответ в видеА~при а<а 0 ;при а>а 0 .График зависимости'-Ртр(а) для ц < 1 приведен на рис. 1.19.Связанное движение брусков. Рассмотрим брусок массы т, лежащий на гладкой горизонтальной плоскости. На бруске находитсякубик массы т}. Найдем минимальную по величине силу Рй, которуюнадо приложить к кубику в горизонтальном направлении, чтобы онначал скользить по бруску.Силы, действующие в системе, изображены на рис. 1.20, на котором/',/" — силы трения, действующие между бруском и кубиком(по третьему закону Ньютона/' = -/" ).

Уравнения движения кубика и бруска, согласно второму закону Ньютона, в проекциях на направление движения имеют вид Р -/" = т}а; /' = та.Решая полученную систему уравнений, найдем ускорение тел прирдвижении без проскальзывания: а =. Для сообщения такогот+ттРускорения на брусок должна действовать сила /' = та =•тр«оя/2'• «.Рис. 1.19. График Зависимостисилы трения, действующей набрусок, от угла наклона плоскости, на которой он находитсяРис.

Свежие статьи
Популярно сейчас