klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 12

В результате получим§ 14. Динамика твердого телаМодель абсолютно твердого тела. Для системы материальныхточек введем условие: при всех взаимодействиях расстояние междуточками системы остаются неизменными. Такая система называетсяабсолютно твердым телом. Отметим, что поскольку абсолютнотвердое тело является частным случаем системы материальных точек,то все законы, выведенные для системы материальных точек, справедливы и для абсолютно твердого тела.Рассмотрим движение абсолютно твердого тела относительнокакой-либо системы отсчета. Частными случаями являются поступательное движение тела и вращательное движение тела вокруг оси.Напомним, что поступательным движением тела называется движение, при котором отрезок прямой, проведенный между двумялюбыми точками тела, в процессе движения тела остается параллельным самому себе.

Вращательным движением тела относительно оси называется движение, при котором траектории движениявсех точек тела являются концентрическими окружностями с центрами на одной прямой. Эта прямая представляет собой ось вращения.В случае плоского движения тела все точки тела движутся в параллельных друг другу плоскостях.

Плоское движение можно рассматривать как совокупность поступательного движения и вращенияотносительно неподвижной оси, перпендикулярной этим плоскостям.Часто удобно в качестве оси выбрать ось, проходящую через центрмасс тела.При поступательном движении все точки тела имеют одинаковыескорости и ускорения.

Движение тела можно описать уравнениемгде '^^^ =/ = ^&т,г? -- момент инерции тела; ^М/ -М — суммарный момент внешних сил, действующих на тело; е — угловоеускорение, одинаковое для всех точек тела.Итак, в новых обозначенияхгде т — масса тела; ацм — ускорение центра масс тела; /} — внешниесилы:Невыполнение этих условий приводит к ускоренному движениютела (соответственно, поступательному или вращательному).70П=М.(1.55)Момент инерции тела находится с помощью интегрирования.Если вещество в теле распределено непрерывно, то момент инерции/ = \г2ат.Так как ат = р(х, у, да"У, где р — плотность; аУ — элемент объема, то формула для вычисления момента инерции тела имеет вид:^=Итак, чтобы описать плоское движение абсолютно твердого тела,надо составить уравнение движения его центра масс и уравнениевращательного движения тела относительно оси, проходящей черезцентр масс,-(1.56)Если твердое тело находится в состоянии покоя, т.е.

не движетсяв выбранной системе отсчета, то все его точки имеют постоянныерадиусы-векторы г/ = соп&1 и скорость и, равную нулю. Это приводитк условиям равновесия твердого тела71Если действующие на тело силы лежат в одной плоскости (именно такие задачи рассматривались в курсе физики средней школыв разделе «Статика»), то векторное уравнение для сил сводится к двумскалярным ]Г/^.

=0; Х^> = 0 ПРИ условии, что оси х и у расположены в плоскости действия сил. Выбор точки, относительно которойрассматриваются моменты сил (уравнения моментов), обусловлентолько соображениями простоты решения задачи: условие равенстванулю суммы моментов тем проще, чем больше сил, у которых линиядействия проходит через ось вращения или параллельна ей — моменты таких сил равны нулю.§ 15. Примеры решения задач статикиПример 1.

Рассмотрим однородный куб массы т, находящийсяна горизонтальной поверхности, и определим минимальную горизонтальную силу, которую нужно приложить к верхней грани, чтобыперевернуть куб через ребро. Пусть сила Р приложена к верхнейграни в точке А (рис. 1.47). Для переворота куба наибольшее усилиепотребуется в начальный момент, когда относительно оси поворота,проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, момент силы Р минимален, момент силы тяжести т% — максимален,а момент силы реакции опоры /У равен нулю. Тогда для поворотакуба по часовой стрелке необходимо, чтобы момент силы Р былне меньше момента силы тяжести:начнет двигаться поступательно по горизонтальной поверхности.Пример 2. К гвоздю, вбитому в стену,привязана нить, намотанная на катушку(рис. 1.48).

Запишем условия равновесиякатушки (1.57) — равенство нулю суммысил, действующих на тело:(1.58)и равенство нулю суммы моментов силотносительно оси, проходящей черезточку О:Тг -= 0.(1.59)рис 1 48. Катушка на ниткеУравнение (1.58) в проекциях на осиОХ и ОУ принимает вид:ТУ - Г зта = 0; Р^ + Т соза - М§ = 0.(1.60)Из уравнений (1.59), (1.60) получаем/;р = т— < цТУ = цГ зта,Кили зта > —г-,Цлчто возможно лишь при коэффициенте трения ц > — (так как зта <лгде Ь— длина отрезка ОА; а — ребро куба; а = 45°.Так как ^зшр = а, это соотношениемоментов принимает вид:^Ра > т§—, или2Р^2.Кроме того, для переворота куба через ребро необходимо, чтобысила /'не двигала куб вдоль плоскости.

Тогдарона не должна превышать максимально возАможное значение силы трения покоя РТр,УР\действующей на куб со стороны плоскости,т.е. Р=Р^<NОРис. 1.47. Поворот куба72т, или —°— < ц.т§, отку-1да ц > — . Переворот куба горизонтальнойсилой возможен, только если и > -, иначе куб2При ц < — решений нет, т. е. равновесие невозможно.Пример 3. Внутри неподвижной полусферической чаши радиусаК находится гладкий однородный стержень длины 2Ь (К < Ь < 2К),опирающийся на край чаши (рис. 1.49). На стержень действуют трисилы: сила тяжести пг§, приложенная в середине стержня, и силы реакции чаши Л^и УУ2.

Сила ./V], действующая на нижнийконец стержня, направлена перпендикулярно поверхности чаши, т. е. по ее радиусу; сила N2, приложенная к стержнюсо стороны края чаши, направлена перпендикулярно стержню. Векторная суммаэтих сил равна нулю, что в проекцияхна оси ОХ VI ОКдает уравнения:ТУ, соза - /п#зта = 0;ТУ2 + ТУ, зта - т^соза = 0. (1.61)Рис. 1.49. Равновесие стержня, опирающегося на крайчаши73Равенство нулю суммы моментов силотносительно точки А (точка приложениясилы N1) дает третье уравнениеЬт§со&а -= 0.(1.62)Исключив из системы уравнений (1.61),(1.62) силы N1 и М2, получим соотношениеРис. 1.50. Линии действия(1.63)со82а = —сова,трех сил, лежащих в одной2Кплоскости и действующих2 К = О, откудана тело, находящееся в рав- илиновесии, пересекаются в искомый угол:одной точкеВ первую очередь к ним относится теорема Гюйгенса—Штейнера (связывающаямоменты инерции тела относительно двухпараллельных осей): если момент инерциитела относительно оси, проходящей черезцентр масс, равен ^^, то относительно любой параллельной ей оси, находящейся от неена расстоянии а", момент инерции равенУ = /о + та"2,(1.64)В\0\В'\О'Рис.

1.51. К расчетумомента инерции тонкого стержня относительно перпендикулярной стержню осигде т — масса тела.Момент инерции тонкого стержня массы т и длины Ь относительно перпендикулярной стержню оси ОО', проходящей через центрстрежня (рис. 1.51), легко найти интегрированием:СО8(Х =Существует и другой, чисто геометрический, способ решенияэтой задачи. Сначала докажем, что если на тело, находящееся в положении равновесия, действуют три силы, лежащие в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.Рассмотрим точку пересечения линий действия каких-либо двухсил, например 7У\ и УУ 2 , и составим условие равенства нулю суммымоментов всех сил относительно этой точки. Моменты сил ТУ^ и 7У~2относительно точки пересечения их продолжений равны нулю, поэтому и момент третьей силы т§ также должен быть равен нулю, т.

е.линия действия силы т§ проходит через эту же точку (точку Р).Данного подтверждения достаточно для нахождения положенияравновесия стержня.Из рис. 1.50 видно (с учетом того, что точка Улежит на той жеокружности), что проекции отрезков ВРи ВО на ось х равны, следовательно, ОРсо82а = ОСсо8а. Так как ОР= 2К, ВО = Ь, получаемуравнение со82а = —соза, совпадающее с уравнением (1.63).27?§ 16. Вычисление моментов инерцииЗнание моментов инерции необходимо для решения задач динамики твердого тела. Момент инерции тела относительно какой2либо оси можно вычислить путем интегрирования ^ = ^г а"т, илигде р = т/Ь — масса, приходящаяся на единицу длины стержня.С использованием теоремы Гюйгенса—Штейнера можно, не прибегая к интегрированию, найти моменты инерции стрежня относительно любой оси, параллельной оси ОО'. В частности, относительно оси ВВ', проходящей через конец стержня, момент инерции1}1•Гвв' = ^оо' + ™— = ~тЬ2.43Важна еще одна теорема: сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихсяв одной точке, равна удвоенному значению момента инерции телаотносительно этой точки Н:= 2Е.74(1.66)Момент инерции тела относительно точкипо определению равен Е = ^тр2, где расстояние р отсчитывается не от оси, а от фиксированной точки.

Доказательство приведеннойтеоремы элементарно. Рассмотрим материальную точку с координатами х, у, % (рис.'•52). Ее моменты инерции относительно трехосей ОХ, ОТ, Ог равен:Л = т(у2 + е); ^ = т(х2 + г2);Уг = т(х2 + у2),2/ = \р(х,у,?,)г (х,у,^)а'ха'уа'^. Прямой расчет в большинстве случаевсвязан с математическими трудностями, но для симметричных телвполне выполним. Кроме того, ряд вспомогательных приемов облегчает нахождение моментов инерции.(1.65)^оо• =а момент инерции относительно начала ко°РДинат 5 = т(х2 + у2 + г2), что непосредст-/ОРис.

1.52. К расчетумомента инерции телаотносительно фиксированной точки75венно доказывает справедливость теоремы для материальной точки.Поскольку твердое тело представимо в виде совокупности материальных точек, теорема верна и в общем случае.Эта теорема имеет два следствия. Первое следствие говорит о том,что, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей не зависит от их ориентации (поскольку ориентация осей при выводе соотношения (1.66) была взята произвольно).

Второе следствие касается плоских тел: при выборе осей такимобразом, что ось О2, перпендикулярна плоскости тела, координата2 любой точки тела равна нулю и 2 = /г. Тогда соотношение (1.66)принимает вид^= 2Уг, или ^x + ^у = ^V(1.67)у стержня и используя соотношение (1.67),Зная момент инерцииможно найти моменты инерции однородного тела, имеющего формуплоского прямоугольника со сторонами а и Ь. Выберем начало координат на пересечении диагоналей, направим ось ОТ, перпендикулярно плоскости прямоугольника, а оси ОХ и О К перпендикулярноего сторонам (рис.