klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 11

1.41).Тогда согласно второму закону Ньютона Т + т§ = та. В момент про- 'хождения положения равновесия это уравнение принимает вид:Т-т§=—.(1.49)Скорость V можно найти из закона сохранения энергии. Если отсчитывать потенциальную энергию от положения равновесия, то потенциальная энергия в начальном положении 11= т%Н = т§Ь(\ - сока),а кинетическая энергия равна нулю. В момент прохождения положе- »ния равновесия потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая ,энергия равна ^_. Следовательно,откудаЧ_ = 0, откуда можно найти необходиКРис. 1.40. Силы, действующие на груз при мую для отрыва скорость мотоцикла Vт^п =его вращении и.

вер- -которая, например, при К = 90 м равна вполнетикальной плоскости реальной величине ит{п = 30 м/с, т.е. 108 км/ч.64Подставляя последнее выражение в уравнение(1.49), получим Т- т% = 2т§(1 -сова), откуда Т=~ 2со8а).рис. 1.41. Колебания груза в вертикальной плоскости65—— т§Н = Л .«2—2трДля нахождения скорости тела в момент отрыва (точка 2) спроецируем уравнение движения тела т§ + Й + Р^=та на радиус:2- N= т V— . В момент отрыва 7У = 0, и, кроме того, Н = К(\ +К+ сока). Решая систему уравнений, найдем работу силы тренияРис. 1.42.

Силы, действующиена тело, при соскальзыванииего с вершины полусферыРис. 1.43. Движение тела по наклонной плоскости, плавно переходящеев «мертвую петлю»Таким образом, если груз просто висит (а = 0), натяжение нитиТ= пг§; при отклонении на 90° натяжение нити в момент прохождения равновесия будет втрое большим Т = Зпг& при отклонении на180° (это можно сделать, так как груз подвешен на спице) в моментпрохождения равновесия Т = 5т§.Пример 5. Небольшое тело массы т соскальзывает с вершиныполусферы радиуса К. Пренебрегая трением, определим, на какойвысоте тело оторвется от поверхности полусферы.На тело действуют сила тяжести т§ и сила реакции полусферы N(рис. 1.42).^Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:та = т§ + N.Проецируя это уравнение на радиус, получимV2т — = т§со$а - N.КИз закона сохранения энергии (в системе отсутствуют силы трения, работа силы реакции полусферы ТУ равна нулю, так как эта силаперпендикулярна скорости в любой момент времени):у2т§К = т§Ксо&а + т —.В момент отрыва сила реакции опоры N = 0.

Из системы уравне2ний находим, что в момент отрыва сова =—. Тогда высота, на которой2тело оторвется от полусферы, Н= Ксо&а. = -К.Пример 6. Рассмотрим движение тела массы т по наклоннойплоскости, плавно переходящей в круговую петлю радиуса К, и найдем работу силы трения, если начальная точка скольжения и точкаотрыва тела от поверхности петли расположены на высотах Н и Н(рис. 1.43).Работа силы трения равна разности значений механической энергии в точках 7 и 2:66§ 13. Момент импульсаВращательное движение материальной точки.

Рассмотримдвижение материальной точки по окружности радиуса К (рис. 1.44).Любое движение материальной точки, в том числе и вращательное,можно описать вторым законом Ньютона та = Р, но можно, исходяиз этого закона, получить другое описание вращательного движенияматериальной точки через угловую скорость и угловое ускорение.При этом нужно, чтобы полученное уравнение было векторным (каки закон Ньютона). Для этого надо ввести понятие векторной угловойскорости и векторного углового ускорения.Угловая скорость ю связана с линейной скоростью материальнойточки V формулой V = к>К.

По аналогии вводятся и векторные величины угловой скорости и углового ускорения:Векторная угловая скорость и направлена в соответствии с правилами векторной алгебры (вверх по оси вращения). Угловое ускорение е направлено вдоль оси вращения.Угловое ускорение I является кинематической характеристикойдвижения. С ней должна быть связана динамическая характеристика,которая может быть построена подстановкой выражения (1.50) в уравнение та = Р'. Далее правую и левую частисоотношения т [е • Л] = Р векторно умножимна радиус-вектор К и полученное соотношение т[К[1-К\] = [К.-Р] преобразуем по правилам векторной алгебры, согласно которым[Л[е-ЛЦ = е -К2-К(е.-К)=г-К2 (здесьучтено,что (ё • Л) = 0, так как векторы е и К — взаимно перпендикулярны).Рис. 1.44.

Угловое ускоТаким образом, получено уравнение, вы- рение при движенииражающее второй закон Ньютона через угло- материальной точки повое ускорение: тК2 Е = [К-Р\, которое приокружности67ль = М.нято записывать в виде, подобном традиционной записи второгозакона Ньютона:/е=М,(1.51)где /= тК — аналог массы, названный моментом инерции относительно точки О (центра вращения); М = [К-Р] — аналог силы —причины углового ускорения, названный моментом силы относительно точки О (центра вращения). В данном примере за точку О взятцентр окружности, по которой движется точка. В общем случаеза центр вращения может быть принята любая точка (см.

далее).Абсолютное значение момента силы М\ = \К • \Р -зта, где а — уголмежду направлением радиуса-вектора к и направлением силы Р.Направление вектора момента сил находится по правилу векторногопроизведения. В рассмотренном случае а = 90°.Отметим, что все новые величины можно измерить, т.е. они —величины физические, а значит, соотношение Л=М представляетсобой новый физический закон.Момент импульса материальной точки.

Возьмем импульс материальной точки р = тУ, и умножим его векторно на радиус-векторК этой материальной точки, в результате чего получим новую физическую величину21=[Л-р],(1.52)названную моментом^ импульса материальной точки относительноточки О. Итак, /= [ К - р ] — вектор, направление которого определено векторным произведением (рис.

1.45), а абсолютная величина|/| = \К\ \р\ вта, где а — угол между направлениями вектора Ки вектора р.Дифференцируя левую и правую части выражения Ь = [ К - р ]по времени, получим:^Лв^п^]=Г^-рШ-—Л- [Л ] [_ Л*11Два слагаемых в правой части могут быть преобразованы следующим образом:ЛиРис. 1.45. Моментимпульса материальной точки68В последней цепочке учтено, что — = Рт(второй закон Ньютона). Таким образом, окончательно получим—--»(1.53)/~/1-*Так как величины Ь и М измеримы, соотношение — = М пред<//ставляет собой закон изменения момента импульса: скоростьизменения момента импульса равна моменту сил, действующихна материальную точку (моменты должны быть взяты относительно одной и той же точки).Момент импульса системы материальных точек.

Рассмотримсовокупность материальных точек, для каждой из которых можетбыть найден момент импульса Ь= [ К - р ] и справедлив закон изменения момента импульса —= М. Объединим часть материальныхсНточек в систему, запишем для каждой из них закон изменения момента импульса (относительно какой-либо точки) и просуммируем.В результате получимвнеш(1.54)1сЛгде У^М,внуг — суммарный момент внутренних сил (при объединениив систему некоторые силы стали внутренними); ^М|неш —суммарный момент внешних сил (сил, действующих со стороны материальных точек, не вошедших в систему).Очевидно, что У^Л/ внуг = 0. Действительно, рассмотрим две материальные точки, принадлежащие системе и взаимодействующие другс другом силами /12 и /2, (рис. 1.46).

При этом в силу третьего закона Ньютона /2+/21= 0- Пусть радиусы-векторы точек, входящихв выражения моментов этих сил, равны соответственно ?, и гг. Моменты силы /12 и силы /2, имеют разные знаки, так как они создают вращение по и против часовой стрелки. При этом абсолютныезначения моментов сил /12 и /21 равны друг другу:\ЫП(Г2-Р2) = /2 -П.Таким образом, систему материальных точек можно характеризовать величиной момента импульса системы материальных точек Ь =У^/,..

Поскольку сумма производных равна производнойрис. 1.46. Моменты сил двух материальных точексистемы, взаимодействующих между собой, имеютРазные знаки и равны по абсолютной величине69суммы, т.е. У—Ь/ = —VЬ,, уравнение (1.54) принимает вид: — =, ЛЛ;&1= ^ М™еш и представляет собой закон изменения момента импульса системы материальных точек: в инерциальной системе отсчета скорость изменения момента импульса системы материальных точек равна сумме моментов внешних сил (относительнотой же точки), действующих на систему.Если сумма моментов внешних сил, действующих на систему,равна нулю, то суммарный момент импульса такой системы сохраняется.При вращательном движении тела вокруг оси радиусы-векторы(относительно оси вращения) всех его точек за малый промежутоквремени А? поворачиваются на один и тот же угол Аср, поэтому угловые величины (угловое перемещение, угловая скорость и угловоеускорение) имеют одинаковые значения для всех точек тела и могутслужить характеристиками вращения тела как целого.Уравнение вращательного движения абсолютно твердого тела.Чтобы от полученного ранее уравнения вращательного движенияточки перейти к уравнению вращательного движения тела, надо разбить тело на малые области, которые можно считать материальнымиточками А/и,, для каждой из них записать уравнение движения и просуммировать по всему телу.