klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 15

е.ускорение свободного падения тел не зависит от их массы (без учетасопротивления воздуха). Ньютон установил равенство инертной3и гравитационной масс с точностью до 10~ , в настоящее время точ12ность составляет величину, меньшую 10~ .Факт равенства инертной и гравитационной масс известен в физике как принцип эквивалентности.

Со временем этот принцип станет ключевым в общей теории относительности Эйнштейна.Ускорение свободного падения. Одно из проявлений законавсемирного тяготения — притяжение тел к Земле. Для вычисленияускорения свободного падения вблизи поверхности Земли §0 надов формуле (1.78) положить расстояние г равным земному радиусу К3и приравнять силу тяготения произведению массы тела на его ускотМ-,лрение у= т§0.

Откуда получаем ускорение свободного падения,Для тела, находящегося на высоте И над поверхностью Земли,аналогично получаем~ _ -Мз$о(1-8о)откуда видно, что ускорение свободного падения убывает с высо.В общем случае нахождения зависимости ускорения свободногопадания от расстояния г (от центра Земли до точки наблюдения)необходимо рассмотреть два случая. Для г > К3 по закону всемирного тяготения= т§,откуда^0 _ ускорение свободного падения на поверхности Земли.Для г < Л3 (тело находится в шахте) сила, действующая на телосо стороны Земли, может быть представлена как сумма двух сил:р = рл + Р2 , где /| — сила притяжения внутренним шаром радиуса г;Р2 — сила притяжения сферическим слоем (рис.

1.60). По законугдевсемирного тяготения /", = угде М, =р - масса внутрен-него шара; р — средняя плотность Земли.Сила Г2 оказывается равной нулю. Для обоснования этого утверждения следует рассмотреть материальную точку массы т внутритонкого сферического слоя и убедиться, что суммарная сила, действующая со стороны двух противоположных участков сферическогослоя, равна нулю. Качественно это можно понять, так как левыйучасток слоя больше по размеру, но находится он дальше от материальной точки.

Эти рассуждения имеют и строгое математическоеобоснование.Выберем два участка поверхности, левый и правый, с площадямиА^р и А^д такого малого размера, чтобы для их взаимодействиявыраженное через массу и радиус Земли:= У^А = 9,8 м/с2,.••.., • Дз86;•.. •:. • .,•.(1.79)I -'| (,*|рис. 1.60. К вычислению силы взаимодействия тела, находящегося в шахте,с Землей87с точкой массы т можно было использовать закон тяготения, при этом поставимусловие: обе эти поверхности сферы видны из точки т под одним и тем же телесным углом Да .

В этом случае сила взаимодействия точки массы т с левым уча„стком равна р. =, где р — плотРис. 1.61. График зависимости ускорения свободного падения от расстояния тела до центра Землиность сферы; А — толщина сферы, а су/ярД^.Лправым участком Рпо =;——. По•прсколькусилы, деиству'прющие на точку т со стороны левого и правого участков сферы, равны по величине и противоположны по направлению. Это означает, что суммарная сила взаимодействия всехучастков, т.е. сферы с материальной точкой, находящейся внутринее, равна нулю.4Итак, Р = Р\ = —пуртг. Используем это соотношение для нахождения ускорения свободного падения: т§ - -щртг, откуда § =4Атти.

Откуда можно найти необходимую для такого движениязскорость, получившую название первой космической скорости:ч\ = ^8^3 = 7,9 км/с.При полете спутника на высоте /г над поверхностью Земли егоскорость можно найти, учитывая зависимость силы тяжести от выксоты (1. 80). Тогда у^Ь =г^ и V =4/^^- =>0*з88отношения: УТ^%Т - "к»2(*з + Л)- Откуда находим угловую ско(/?3 + ")гг 2я рость (о и период обращения У =• Из полученноговыражения видно, что период минимален при И = 0 и минимальнаявеличина его равна^кГг°"Интересен геостационарный спутник, который запускаетсяв плоскости земного экватора так, чтобы все время находиться надодной и той же точкой поверхности Земли. На спутник действуетсила притяжения Земли, равная по закону всемирного тяготения3- , где г — расстояние от центра Земли до спутника, т. е. ради-,3ус его орбиты.

По второму закону Ньютона у —г-^-=лгогг, где со =г*= 2п/Т — угловая скорость вращения Земли; Т — период вращенияЗемли вокруг своей оси. Этих соотношений достаточно для нахож-дения радиуса орбиты геостационарного спутника: г =Г= — яур. Поскольку р = .А/з/—лДз, окончательно получаем § = §0—.33/?зОбъединенное решение для г < У?3 и для г>К3 графически приведено на рис. 1.61.Движение искусственных спутников Земли. Искусственнымспутником Земли называется тело, совершающее периодическоедвижение вокруг Земли по замкнутой эллиптической или круговойтраектории.

В простейшем случае движения тела с постоянной по величине скоростью V по круговой орбите вблизи поверхности Землисила тяжести т§ сообщает телу центростремительное ускорениет§=Период обращения такого спутника вокруг Земли находится из со-* 6,7%Влияние вращения Земли на вес тела. Весом тела называется сила, с которой тело, вследствие его притяжения к Земле, действует на опору или подвес.Во многих случаях вес тела равен силе тяжести, но всегда надопомнить, что вес тела — сила упругости, приложенная к подвесу,а сила тяжести — гравитационная сила, приложенная к телу.При движении тела с ускорением а, направленным противоположно ускорению свободного падения (как при разгоне космическогокорабля после его старта), вес тела становится больше силы тяжести:Р ~ М(§+а), и возникают перегрузки.

При движении тела с ускорением, направленным в ту же сторону, что и ускорение свободногопадения, вес тела будет меньше силы тяжести: Р = М{§ - а). В частности, при а = § вес тела равен нулю — возникает состояние невесомости. Тело, движущееся под действием одной силы тяжести,находится в состоянии невесомости. В состоянии невесомости находятся тела на борту искусственного спутника Земли, движущегосяпо круговой орбите.Изменения веса тела имеют место и вследствие суточного вращенчя Земли. При взвешивании на полюсе т§ - N= 0, откуда Р - N =~ т8, т.е.

вес тела равен силе тяжести (рис. 1.62).89Находясь на экваторе, все тела вследствие суточного вращения Земли движутсяпо окружностям. Поэтому при взвешивании на экваторе т§ - ТУ = ты2К, откудаР' = ТУ = т§ - тк>2К., т.е. вес тела меньшесилы тяжестина величину АР = т&2К =24л= т ——К. Относительное изменение весаземное тяготение, Тогда значение второй космической скорости УЦV2тМт, ^можно получить из неравенства /и— - у—-— ^ па, откуда полу-тела на экваторе составляет незначитель-1или» с учетом того чтоРис. 1.62.

К вопросу о весетела на полюсе и экватореНапроизвольной широте ф на тело,подвешенное на нити, действует сила тяжести М§, направленная к центру Земли,и сила натяжения нити ТУ, равная по третьему закону Ньютона весутела. Тело на широте ф движется по окружности, радиус которой г == Л3со8ф.

Равнодействующая силы тяжести и силы натяжения должна быть направлена по радиусу г, перпендикулярно оси вращенияЗемли (иначе нет причин для движения тела по окружности). Поэтому нить образует с экваториальной плоскостью угол а Ф ф (рис. 1.63).По второму закону Ньютона Ма = М% + ТУ, или в проекциях на радиус и ось вращения:- ТУсоза = Мео2/?со8ф;+ ТУ8та = 0.Решая систему уравнений относительно N, находим вес телана широте ф:Р=N= М{^ - ш1К(2# - со2Я3)со82ф} 2.Вторая космическая скорость.

Второй космической скорость*называется минимальная скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно преодолело земное тяготение. Полная механическая энергия спутника после сообщения ему скорости и вблизи поверхностV2тМ-, „0-Землиравна ту—. Если эта энер2,/<3гия больше потенциальной энергии в:Рис.

1.63. К вопросу о весетела на поверхности Землина широте ср90модействия спутника с Землей, то скорость тела не обращается в нуль при любом удалении от Земли, включая и бесконечное удаление, т.е. спутник никогдане остановится и тем самым преодолеет/?3тМ\т~2АРную величину 8 = —— =2чаем<;:>;чМ,= 11,2км/с.§ 20. Законы КеплераВеликий немецкий ученый Иоганн Кеплер (1571 — 1630) был первым крупным астрономом, поверившим и принявшим гелиоцентрическую систему Коперника.

Наблюдения учителя Кеплера Тихо Браге (1546—1601) установили определенные недочеты в учении Коперника, которые были преодолены в трудах Кеплера. Главным достижением Кеплера являются открытые им три закона движенияпланет.Удивительным выглядит тот факт, что расчеты, приведшие Кеплера к открытию трех законов, были основаны на результатах обработки наблюдений движения Марса, сделанных в XVI в.