klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 4

оси, проходящеймгновенной оси вращечерез неподвижную в данный момент врениямени точку колеса (рис. 1.10). Такой точкойявляется нижняя точка колеса В, вокругкоторой колесо как целое вращается с угловой скоростью со'. Угловуюскорость со' легко вычислить, если известна мгновенная скоростькакой-либо точки колеса. У катящегося колеса мгновенная скоростьоси колеса О постоянна и равна у„.

Разделив эту скорость на расстояние от точки О до мгновенной оси вращения В (это расстояниеравно К), получим со' = — = со. Тогда мгновенная скорость точкиЛМ направлена перпендикулярно отрезку ВМ и равна ум = со'с?, гдета течет одинаковр, т.е. временные интервалы между событиямине зависят от выбора системы отсчета. То же можно сказать и о пространственных интервалах, например, размерах тел — и они не зависят от системы отсчета.Повседневный опыт показывает, что скорости тел зависят от системы отсчета. При выводе закона преобразования скоростей ограничимся рассмотрением систем отсчета, движущихся друг относительно друга поступательно, равномерно и прямолинейно (причинытаких ограничений не только в простоте, они существенно глубже,что станет понятным после изучения последующих разделов механики).Рассмотрим две системы отсчета, одну из которых будем называтьнеподвижной системой Кн, другую — движущейся системой КЛ.

Приэтом система Кл движется относительно системы Кн поступательнос постоянной скоростью и , и в какой-то момент времени расстояниемежду ними равно А. Пусть в тот же момент времени положениенекоторого тела в системах отсчета Ки и Ад определяется векторамигн и гл. Тогда имеет место векторное соотношение (рис. 1.11):г„ = К + ги,дифференцирование которого по времени дает закон преобразованияскоростей:(1.16)(1 = 2/?8ш— — длина отрезка ВМ.

Окончательно получаем тот же(здесь учтено, что и = — ).результатТаким образом, скорость тела относительно неподвижной системы отсчета йн равна геометрической сумме скорости тела относительно движущейся системы отсчета #д и скорости подвижной системы относительно неподвижной и.Ф2', .';•т§ 3. Относительность механического движенияВ определении механического движения как «изменения положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени» уже содержится вопрос об относительности движения, требующий отдельного рассмотрения.

Движение можно рассматриватьотносительно разных систем отсчета, выбор которых диктуется соображениями простоты в исследовании решаемой задачи. При этомв первую очередь надо понимать, какие кинематические величиныостаются неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой (и есть ли такие).Отметим, что И. Ньютон постулировал абсолютность времении пространства.

В механике Ньютона время во всех системах отсче-26Рис. 1.11. К определению связи кинематических величин материальнойточки в неподвижной и движущейся системах координат27шРис. 1.12. Упругое соударение шарика со стенкой при движении шарика в направлении, перпендикулярном плоскости стенкиРис. 1.13. Упругое соударениешарика со стенкой при движении шарика под углом к плоскости стенкиС учетом постоянства скорости и дифференцирование соотношения (1.16) приводит к связи между ускорениями: ан =а д , показывающей, что ускорение тела в двух системах отсчета одинаково,если одна движется относительно другой равномерно и прямолинейно.Правильный выбор системы отсчета может существенно облегчитьрешение многих кинематических задач.В качестве первого примера рассмотрим упругий удар шарика,летящего прямолинейно со скоростью V, о стенку, которая движется навстречу шарику со скоростью и, и определим его скоростьпосле удара (рис.

1.12). Известно, что при упругом ударе о неподвижную стенку скорость шарика изменит свое направление на противоположное, не изменяясь по величине. Поэтому рациональнорешать задачу в неподвижной системе отсчета, связанной со стенкой.В этой системе скорость стенки равна нулю, а скорость шарикадо удара, найденная в соответствии с формулой (1.16), равна 0' = В-и.После упругого удара о неподвижную стенку скорость шарика изменяет свое направление на противоположное и становится равнойV" = -V ' = -у + и.Поскольку необходимо получить ответ в неподвижной системеотсчета вернемся в систему координат, связанную с Землей, использую ту же формулу (1.14), и получим, что скорость шарика послеудара относительно Земли равна: V" = -V" + й = -и + 2й.Рассмотрим более сложный случай упругого удара шарика о движущуюся стенку под углом а (угол между скоростью шарика Vи перпендикуляром к стенке).

Спроецируем вектор скорости Она плоскость стенки и на перпендикулярное этой плоскости направление (рис. 1.13). Проекции дают касательную составляющуюV^.= V8^па и нормальную составляющую Vп - -у сока. При ударео неподвижную стенку нормальная составляющая и„ изменит своенаправление на противоположное, а касательная составляющая ь>тостанется неизменной.

Тогда в соответствии с решением предыдущей задачи нормальная составляющая вектора скорости шарикапосле удара о движущуюся стенку станет равной ш„ = УСОЗО, + 2м,а касательная составляющая не изменится. Угол отражения и ве28личину скорости ш найдем из известных соотношений 1§Р = —-=>Контрольные вопросы1. Что такое система отсчета?2. Может ли модуль вектора перемещения материальной точки бытьбольше пути, пройденного точкой за тот же промежуток времени?3. Если известна траектория движения, можно ли указать направлениемгновенной скорости и ускорения в произвольной точке этой траектории?4.

Как по графику зависимости скорости от времени для прямолинейного движения найти перемещение материальной точки и пройденныйточкой путь?5. Какой может быть траектория материальной точки, если она движется с постоянным по величине и направлению ускорением?6. Могут ли совпадать направления мгновенной скорости и ускоренияпри движении по криволинейной траектории?7. При движении по окружности модуль скорости движения материальной точки возрастает. Будет ли ускорение направлено к центру окружности?8.

Какие точки колеса телеги имеют наибольшее и наименьшее значениескорости относительно Земли и относительно телеги?9. Поезд движется прямолинейно с ускорением а. Чему равно ускорениекамня, выброшенного из окна вагона относительно поезда и относительноЗемли?Глава 1.2Динамика материальной точки§ 4. Принцип относительности ГалилеяНа основании многовекового опыта было установлено, что причиной изменения кинематических характеристик движения являетсявзаимодействие тел. Взаимодействие тел можно наблюдать. Например, столкновение двух движущихся бильярдных шаров приводитк изменению их скоростей, что может быть обусловлено действиемшаров в процессе их столкновения друг с другом, т.

е. их взаимодействием.О наличии взаимодействия можно судить по изменению состояниятела, т. е. его положения и скорости. Однако изменения положениятела и его скорости с точки зрения динамики относятся к явлениямразных категорий. Изменение положения не всегда связано с взаимодействием — возможен случай движения тела по инерции, в товремя как изменение скорости обязательно вызывается взаимодействием с другими телами (или между частями одного тела). Обсуждаемый вопрос может быть поставлен несколько иначе: обязательно ли движение тела с постоянной скоростью связано с его взаимодействием с какими-либо телами?Вопрос этот далеко не так прост, как кажется на первый взгляд.Великий ученый античного мира Аристотель (384—322 до Р.

X.) считал, что естественным состоянием тела является покой, а для поддержания состояния движения требуется действие со стороны другихтел, и этот взгляд господствовал около двух тысячелетий. Усомнилсяв его правомерности Галилей, который утверждал, что для тел состояние покоя столь же естественно, как и прямолинейное равномерное движение.

Путем умозрительных опытов и заключений Галилей пришел к замечательному выводу о том, что при отсутствиивзаимодействий тело может двигаться вдоль прямой с постояннойскоростью.Его рассуждения по поводу относительности движения настолько изящны, что каждому полезно коснуться их. Галилей писал:«Уединитесь с кем-нибудь из друзей под палубой какого-нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; пусть будет у вас там же большой сосудс водой и плавающими в нем маленькими рыбками; повесьте, далее,наверху ведерко, из которого вода будет капать капля за каплей в дру-30гой сосуд с узким "горлышком, поставленный внизу. Пока корабльстоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающиеживотные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; рыбы, как вы увидите, будут плавать безразлично во всехнаправлениях; все падающие капли попадут в подставленный сосуд,и вам, бросая другу какой-нибудь предмет, не придется бросать егов одну сторону с большей силою, чем в другую, если расстояния будут одни и те же; и если вы будете прыгать двумя ногами сразу,то сделаете прыжок на одинаковое расстояние в любом направлении.Прилежно наблюдайте все это, хотя у нас не возникает никакогосомнения в том, что, пока корабль стоит неподвижно, все должнопроисходить именно так.

Заставьте теперь корабль двигаться с любойскоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и безкачки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения, и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно...И причина согласованности всех этих явлений в том, что движениекорабля обще всем находящимся в нем предметам, так же как и воздуху; поэтому-то я и сказал, что вы должны находиться под палубой...».Здесь Галилей вполне определенно утверждает, что движение относительно. Не существует ни «абсолютного движения», ни «абсолютной неподвижности», каждый раз нужно указывать, по отношению к какой системе отсчета это движение рассматривается. Болеетого, здесь сформулирован принцип относительности, носящийныне имя Галилея", законы, управляющие движением тел, одинаковы во всех системах отсчета, если только эти системы движутся друг относительно друга равномерно.