Диссертация (Разложения по физическим вейвлетам решений волнового уравнения)

С АНКТ -П ЕТЕРБУРГСКИЙ Г ОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиС ИДОРЕНКО М ИХАИЛ С ЕРГЕЕВИЧРазложения по физическим вейвлетам решенийволнового уравнения01.01.03 — математическая физикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель: кандидат физико-математических наук,доцент Перель Мария ВладимировнаСанкт-Петербург2016СодержаниеВведение51 Интегральное представление решений волнового уравнения271.1Обзор основных фактов непрерывного вейвлет-анализа . .

. . . . .271.2Интегральное представление решений волнового уравнения . . . .411.3Упрощения и обобщения основной формулы . . . . . . . . . . . . .441.4Задача Коши для волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . .461.5Результаты с точки зрения обобщённых функций. . . . . .

. . . .471.6Вейвлет-преобразование, зависящее от времени . . . . . . . . . . .512 Методы конструирования физических вейвлетов2.156Сферически симметричные решения волнового уравнения и физические вейвлеты в R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.562.2Физические вейвлеты в R2 , не обладающие симметрией . . . . . . .632.3Гауссов пакет и исследование его свойств . . . . . . . . . . . . . . .662.3.1Поведение гауссова пакета на бесконечности. . . . . . . .672.3.2Фурье-преобразование гауссова пакета .

. . . . . . . . . . .682.3.3Нулевые моменты гауссова пакета . . . . . . . . . . . . . . .692.3.4Асимптотическая связь гауссова пакета и гауссова пучка . .692.3.5Асимптотическая связь гауссова пакета и вейвлета Морле .722.3.6Соотношение неопределенности и направленные свойства .732.3.7Гауссов пакет в многомерном пространстве762.3.8Несимметричные физические вейвлеты как поля точечных ис-.

. . . . . . . .точников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Двухмасштабная асимптотика поля в слоистой периодической среде279823.1Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .823.2Матричная форма уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . . . . .833.3Решения Флоке-Блоха и дисперсионное соотношение. .

. . . . .853.3.1Два типа решений Флоке-Блоха в естественных координатах853.3.2Решения Флоке-Блоха в произвольной системе координат .88Некоторые вспомогательные соотношения . . . . . . . . . . . . . .913.43.4.13.5Уравнения для амплитуд решений Флоке-Блоха и их производных . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .923.4.2Производные дисперсионных функций . . . . . . . . . . . .943.4.3Дополнительные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . .95Двухмасштабное асимптотическое разложение. . . . . . . . . . .963.5.1Главный член асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . . . . .983.5.2Поправка первого порядка . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .993.5.3Разрешимость уравнения на поправку второго порядка . . .1013.5.4Поправки старших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . .1043.6Решение уравнений на α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1063.7Численное моделирование в частном случае . . . . . . . . . . .

. .1103.7.1112Результаты численного моделирования . . . . . . . . . . . .4 Приложения4.14.2113Приложение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1134.1.1Дисперсионное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1134.1.2Стационарные точки дисперсионной поверхности . . . . . .1164.1.3Амплитуды Флоке-Блоха . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .117Приложение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1184.2.1118Доказательство леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Литература1223Иллюстрации1284ВведениеПредставление сложного волнового поля в виде интеграла или суммы других элементарных волновых полей, обладающих известными, более простыми свойствами, является широко распространённым приёмом решения задач распространенияволн. Интегральные представления решений волнового уравнения обычно строятся на основе фундаментального решения или методом разделения переменных.Разделение переменных в декартовых координатах ведёт к разложению по плоским волнам, основанному на преобразовании Фурье.

Однако в целом ряде практических задач, требующих изучения локализованных или многомасштабных полей, использование плоских волн неоправданно. Наиболее известными примерамиподобных задач являются задачи геофизики, а именно обработки данных сейсморазведки. Всё это стимулировало разработку методов разложения волнового поля в сумму или интеграл от локализованных элементарных решений.

В настоящеевремя существует обширная литература по локализованным решениям с конечнойэнергией, не связанным с разделением переменных, среди которых есть решения состепенным и даже с экспоненциальным убыванием (см., напр., [1, 2]). Однако остаётся открытым вопрос о возможности представить всякое поле в виде интеграла потаким решениям или, другими словами, вопрос о построении полной системы локализованных решений и об определении коэффициентов разложения по ней.Наиболее известен класс методов, использующих в качестве элементарных решений пространственные или пространственно-временные гауссовы пучки.

Эти решения являются асимптотическими, заданными в высокочастотном приближении.Из множества работ, связанных с методом суммирования гауссовых пучков, отметим основополагающие труды В.М. Бабича и Т.Ф. Панкратовой [3], а также В.М. Бабича и М.М. Попова [4, 5]. Обзор основных результатов в этой области приведёнв статье Э. Хеймана и Л. Фелсена [6]. Для определения коэффициентов разложе5ния по гауссовым пучкам поля точечного источника применяется метод сравнения свысокочастотной асимптотикой [4, 5].

В других работах, посвящённых разложениям по гауссовым пучкам, предлагается подбор коэффициентов при помощи методанаименьших квадратов (см. [6]). Ещё один метод был применён в [6, 7] для решениякраевой задачи для уравнения Гельмгольца в полупространстве. Граничные данныераскладывались с помощью дискретного преобразования Габора на элементарныефункции, которые затем выступали в качестве граничных значений для элементарных решений, построенных с помощью пропагатора, основанного на формуле Грина.Джеральд Кайзер в [8] предложил метод, не использующий асимптотики.

Этотметод построения интегрального представления решений волнового уравнения воднородной среде допускает интерпретацию с точки зрения вейвлет-анализа. Элементарные решения строятся на основе некоторого сферически симметричного решения с конечной L2 -нормой. Недостатком метода является то, что предложенноеэлементарное решение обладает всего лишь степенной локализацией, а использование других элементарных решений не предполагается.В настоящей работе получено новое интегральное представление решений волнового уравнения в однородной среде.

Это разложение использует методы непрерывного вейвлет-анализа. Элементарные решения образуются из фиксированного решения, называемого физическим вейвлетом, при помощи сдвигов и поворотов в пространстве и масштабирований в пространстве и времени. Преимуществомпредложенного метода является то, что физический вейвлет может быть выбраниз широкого класса решений в соответствии с требованиями решаемой задачи. Отфизического вейвлета требуется лишь иметь нулевое среднее и конечную L2 -нормупо пространственным переменным при фиксированном времени.

Коэффициентыразложения определяются при помощи непрерывного вейвлет-преобразования поля при фиксированном времени (о вейвлет-преобразовании см., напр., [9] - [11]). В6настоящей работе обсуждаются также способы построения новых физических вейвлетов, детально исследуется решение – гауссов волновой пакет с точки зрения егоиспользования в разложении.Предлагаемый метод сочетает в себе достоинства методов разложения по локализованным решениям – экономичность при численных расчётах, достоинствапреобразования Габора – извлечение локальных частотных характеристик данных,а также специфические достоинства вейвлет-преобразований – адаптивное окно,чья ширина по пространственным координатам и ширина по частотным координатам связаны так, чтобы получить оптимальную локализацию в фазовом пространстве.Кроме того, в работе рассмотрен нетривиальный пример неоднородной среды, вкоторой электромагнитное монохроматическое поле описывается гиперболическимуравнением с постоянными коэффициентами и, в частности, волновым уравнением.Для прогнозирования полей в такой среде могут быть применены результаты, полученные в предыдущих главах и опирающиеся на вейвлет-анализ.Свойства распространения электромагнитных волн в средах с периодически изменяющейся диэлектрической и магнитной проницаемостью, также называемыхфотонными кристаллами, исследуются во многих работах (см., напр., [12]).

Популярность этой темы связана с необычными и не до конца изученными свойствамитаких сред.В данной работе рассматривается простейший случай такой среды – слоистаяпериодическая среда (см., напр., [13, 14]). Предполагается, что частота электромагнитного поля близка к частоте стационарной точки дисперсионной поверхности. Изучаются поля, медленно меняющиеся в плоскости, параллельной слоям, а внаправлении нормали к слоям осциллирующие с периодом, равным периоду среды,и с медленно меняющейся амплитудой.

При помощи двухмасштабного асимптотического разложения получено решение, представляющее собой в главном порядке7линейную комбинацию некоторых двух решений Флоке-Блоха разной поляризации с медленно меняющимися огибающими. Найдена система уравнений с постоянными коэффициентами для огибающих, которая путём замены переменных расщепляется на два независимых уравнения. Эти уравнения имеют эллиптическийили гиперболический тип в зависимости от типа стационарных точек.