Диссертация (1150566), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Была рассмотрена полубесконечная слоистая диэлектрическая22среда, граница между средой и пустым пространством совпадает с плоскостью xy.В качестве источника поля был взят электромагнитный гауссов пучок, падающийиз минус бесконечности по z на плоскость xy под разными углами к оси z. Дляуглов падения пучка из бесконечности, равных 0, 15, 30, 45 градусов, прошедший всреду пучок распространялся без расплывания и под одним и тем же углом, предсказанным аналитическими вычислениями и равным 31 градусу. По явным формулам были проведены расчёты, демонстрирующие распространение пучка в среде,результаты которых полностью совпадают с результатами моделирования.Актуальность и научная значимостьВ настоящей работе развивается метод получения точных разложений волнового поля, удовлетворяющего нестационарному волновому уравнению с постоянными коэффициентами в виде суперпозиции элементарных локализованных решенийэтого же уравнения, которые могут быть получены из одного решения с помощьюэлементарных преобразований.
Метод представляет собой расширение вейвлетанализа на пространство решений волнового уравнения. Таким образом, работа находится на пересечении двух актуальных и динамично развивающихся направлений– получения локализованных представлений для волновых полей и непрерывноговейвлет-преобразования – и делает вклад в развитие обоих направлений.Построение нового интегрального представления решений волнового уравнения – классическая задача, которая кроме общетеоретического значения можетиметь актуальные приложения. Формулы, полученные в настоящей работе, представляют интерес для изучения распространения волновых полей с такими начальными данными, для аппроксимации которых эффективен вейвлет-анализ.
Это могут быть функции двух и более переменных, имеющие многомасштабную структуру.В качестве примера в 2D можно взять функции, аппроксимирующие черно-белое23изображение или заданные экспериментально в виде большого массива данных и,возможно, включающие шум.Вторая часть работы посвящена асимптотическому описанию электромагнитных волн, распространяющихся в слоистой периодической среде. Такая среда является частным случаем сред, называемых фотонными кристаллами. Изучение новых эффектов в слоистых периодических структурах актуально для приложений всвязи с появившимися в последнее время технологическими возможностями создания таких структур с периодами порядка нанометров.В работе показано, что огибающая монохроматического поля в периодическойсреде может выражаться через решение гиперболического и, в частности, волнового уравнения, где роль времени играет координата вдоль нормали к границам слоев.Это значит, что для представления поля в такой среде можно применить развитыйв первых главах метод.
В случае отсутствия зависимости поля от одной из поперечных координат и при специально подобранной частоте доказана возможностьсуществования нерасплывающихся решений, сосредоточенных вблизи семействапрямых, составляющих фиксированный угол с границей раздела слоёв. Этот результат имеет научную и практическую значимость.Положения, выносимые на защиту1. Построено интегральное представление решений волнового уравнения с постоянными коэффициентами, выражающее их через локализованные элементарные решения, называемые физическими вейвлетами.
Сформулированы условия (условия допустимости), которым должны удовлетворять элементарныерешения, чтобы они были физическими вейвлетами.2. Построено решение задачи Коши для волнового уравнения в виде интегралаот физических вейвлетов с коэффициентами, выражающимися через вейвлет24преобразования начальных данных. Доказано, что построенный интеграл является обобщенной функцией медленного роста, зависящей от времени t какот параметра, и удовлетворяет задаче Коши в обобщенной постановке.3. Получена формула, описывающая развитие во времени вейвлет-преобразования решения волнового уравнения, не требующая вычисления самого решения.4.
Выяснено, при каких условиях известные способы построения явных решений волнового уравнения дают физические вейвлеты. Предложен способ получения физических вейвлетов, как полей движущихся источников.5. Выяснено, что "гауссов волновой пакет" – найденное ранее явное и точноерешение волнового уравнения в пространстве любой размерности – являетсяфизическим вейвлетом.
Явно получено преобразование Фурье гауссова волнового пакета. Установлено, что его моменты любого порядка, найденные попространственным координатам при фиксированном времени, обращаются внуль. Если один из параметров решения велик, найдена асимптотика этогорешения через гауссов пучок.6. Численно исследовано, насколько соотношение неопределенности для гауссова волнового пакета близко к теоретическому пределу при различных значениях параметров. Численно исследованы направленные свойства физического вейвлета гауссов волновой пакет.7. Построено двухмасштабное асимптотическое разложение монохроматического электромагнитного поля специального вида в бесконечной слоистой периодической среде. Показано, что главный член разложения выражается черезрешения гиперболических уравнений.258.
Показано, что в плоском случае в бесконечной слоистой периодической средевозможно существование нерасплывающихся локализованных пучков. Выяснено, что такие пучки составляют с нормалью к плоскости слоёв один фиксированный угол.9. Численный эксперимент, проведённый с использованием коммерческого пакета моделирования распространения электромагнитных волн, основанногона методе FDTD, подтвердил существование пучков с предсказанными параметрами.261Интегральное представление решений волновогоуравнения1.1Обзор основных фактов непрерывного вейвлет-анализаМатематический аппарат вейвлет-анализа возник во второй половине 80-х годовXX века и получил в дальнейшем широкое развитие из-за многочисленных приложений.
Систематическое его изложение дано во множестве книг и статей, см., например, [9]-[11]. Применение к физике обсуждалось в [30]. Обзор основных фактоввейвлет-анализа, приведённый в данной работе, в значительной степени повторяетобзор в нашей работе [31].Существуют две разновидности вейвлет-анализа – непрерывный и дискретный.Дискретный анализ нашел наибольшее число применений в области численной обработки экспериментальных данных, медицинских данных, звука, изображений, атакже в построении алгоритмов сжатия. Непрерывный вейвлет-анализ после основополагающих математической работы [29] и более приспособлен для исследования функций, заданных аналитически. Так как в дальнейшем будет рассматриваться только непрерывный случай вейвлет-анализа, слово "непрерывный"опускаем.Вейвлет-анализ представляет собой, в наиболее общем смысле, метод для исследования частотно-пространственных свойств сигнала (заданного как в виде явнойфункции, так и при помощи значений в конечном наборе точек), а также восстановления сигнала на основании результатов этого анализа.
Ранее использование вейвлетов к решению дифференциальных уравнений сводилось, главным образом, кполучению численных алгоритмов их решения [32]. Исключением является работаКайзера [8], в которой построено интегральное представление решений волновогоуравнения, при этом используется преобразование Гильберта. Его результат былпроинтерпретирован в терминах вейвлет-анализа, но при этом мог использоваться27только один сферически симметричный материнский вейвлет, который убывает набесконечности степенным образом.В настоящей главе мы применяем аппарат вейвлет-анализа для получения интегральных представлений решений волнового уравнения в терминах локализованных решений из широкого класса. Начало главы реферативное.
Дается определение вейвлет-преобразования и формула для восстановления функции по известному вейвлет-преобразованию. Обсуждаются формулы в пространствах размерности 1 и 2. Мы показываем также, почему вейвлет-преобразование несет информацию о пространственно-частотных свойствах сигнала.Затем мы переход к оригинальным результатам. Развивается формализм вейвлет-анализа для некоторого пространства решений волнового уравнения. Строится интегральное представление и рассматриваются его частные случаи.
Показано,как используя построенное интегральное представление решить задачу Коши дляволнового уравнения. Ответ выражается через вейвлет-преобразования начальных данных. Доказывается, что полученная формула дает обобщенное решение задачи Коши.Одномерный вейвлет-анализДля построения одномерного вейвлет-анализа фиксируем некоторое гильбертовопространство. Пусть это пространство комплекснозначных функций одной переменной, интегрируемых с квадратом на всей оси. Введём стандартное L2 (R)-скалярное произведение:Zhu, vi ≡dx f (x)v(x),∀u, v ∈ L2 (R).(52)RВ дальнейшем будет использоваться тождество Планшереляhu, vi =1hbu, vbi,2π28∀u, v ∈ L2 (R),(53)где ub, vb – Фурье-преобразования функций u, v. Фурье-преобразование функцииu(x) ∈ L2 (R) определено следующим образом:Zub(k) ≡ dx u(x)e−ikx .(54)RНорма также определяется стандартно:1/21/2ZZ1 dk |bu(k)|2 .kuk ≡ hu, ui1/2 = dx |u(x)|2 , kuk =2π(55)RRСледующим шагом является выбор так называемого материнского вейвлета.Под материнским вейвлетом мы понимаем функцию ϕ из L2 (R), Фурье-преобразование которой, ϕ(k),bудовлетворяет условию допустимости:Z2|ϕ(k)|bCϕ ≡ dk< ∞.|k|(56)RЕсли материнский вейвлет ϕ ∈ L1 (R) и является непрерывной функцией, то условие (56) эквивалентно условию нулевого среднего функции ϕ, то есть условиюZdx ϕ(x) = 0.(57)RНакладываемое условие позволяет рассматривать материнские вейвлеты из широкого класса функций и выбирать их наиболее подходящим для конкретной задачиобразом.Построим семейство вейвлетов, по которым мы будем проводить разложениелюбой функции из L2 .
Существуют различные способы построения этого семейства, мы рассмотрим самый общеупотребительный из них. Применим последовательно сдвиг, характеризуемый параметром b ∈ R, и масштабное преобразование, характеризуемое ненулевым параметром a, к аргументу материнского вейвлета. Семейство приобретает вид:1x−bϕ (x) = 1/2 ϕ,a|a|a,b29a 6= 0, b ∈ R.(58)Множитель 1/|a|1/2 введён для сохранения L2 нормы вейвлета при действии преобразования масштабирования.Вейвлет-преобразование F (a, b) от функции f ∈ L2 (R) определяется c помощью скалярного произведения f и ϕa,b :Za,bF (a, b) ≡ hf, ϕ i =x−b1dx f (x) 1/2 ϕ.a|a|(59)RВ дальнейшем будем использовать прописные буквы для обозначения вейвлетпреобразований от функций, обозначенных строчными буквами. Согласно тождеству Планшереля вейвлет-преобразование функции f по вейвлету ϕa,b может бытьвыражено в терминах их Фурье-преобразований:Z1F (a, b) =dk fb(k) |a|1/2 exp(ikb) ϕ(ak).b2π(60)RПоследняя формула играет важную роль для доказательства всех утверждений, относящихся к вейвлет-анализу.Вейвлет-преобразование F (a, b) от функции f ∈ L2 (R) является функцией двухпеременных a, b.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
