Диссертация (1150566), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. · x1 + ct − iεn(31)где p, γ, ε2 , . . . , εn – положительные параметры, ν – вещественный параметр,pфункция s = 1 − iθ/γ,x23x2nx22θ = x1 − ct +++ ... +.x1 + ct − iε2 x1 + ct − iε3x1 + ct − iεn(32)Фурье-преобразование гауссова пакета в пространстве любой размерностиn ≥ 2 находится в явном виде:i−12ν hν+(n−1)/2n/2 iπ(n−1)/4 pbk(k + kx )×ψ(k, t) = (2π) eγνnXγε2κ 2 γ2× exp −(k + kx ) − (k − kx ) −− ikct ,k =ki2 .22 k + kxi=1(33)Здесь γ, ν, ε, κ – параметры, от которых зависит порождающая гауссов пакетфункция φ, см.

формулу (25) и комментарии к ней.• Гауссов пакет принадлежит H+ .15• При фиксированном времени гауссов пакет имеет бесконечное число нулевыхмоментов по пространственным координатам:ZZj+µψ(r, t)2l m ∂2l md rxyd r x y ψ(r, t) = 0,= 0∂ j x ∂ µy(34)R2R2для любых целых неотрицательных j, µ, l, и m.• Получена новая асимптотика гауссова пакета при больших p в окрестноститочки x = ct, y = 0. Размер окрестности определяется оценками (x − ct)/γ =√O(1/pα ), y/ εγ = O(1/pα ), 1/3 < α < 1/2.

Полученная асимптотика имеетвид:κ(x − ct)2C 1 + O p−3α+1 ,ψ(r, t) = ψbeam (κ; r, t) exp −4γ(35)где ψbeam – нестационарный гауссов пучок, определяемый (29), C - константа. Ранее было известно, что гауссов пакет локализован в окрестности точкиx = ct гауссовским образом и экспоненциально убывает при удалении от этойточки.• Важной характеристикой вейвлета является его степень локализации в пространственной области и в области его пространственных частот. Степень локализации определяется величинами ∆x и ∆y, а также ∆kx и ∆ky , которыеопределяются с помощью формул:Z1x≡d2 r x |ψ(r, t)|2 ,2kψk1kx ≡kψk2R2Zb t)|2 ,d2 k kx |ψ(k,(36)R21/2∆x ≡1 kψkZd2 r (x − x)2 |ψ(r, t)|2 (37),R21/2∆kx ≡12(2π) kψkZb t)|2 d2 k (kx − kx )2 |ψ(k,R216,(38)где kψk – L2 (R2 )-норма функции ψ(·, t), и аналогичныx формул, в которых xзаменен на y.

Представляют интерес также их произведения ∆x∆kx и ∆y∆ky– насколько каждое из них приближается к теоретическому нижнему пределу, задаваемому соотношением неопределённости (см., напр., [10]).В главе 2 численно исследованы зависимости ∆x, ∆kx , ∆y, ∆ky и их произведения от параметров ε, p, γ.• С точки зрения численной реализации вейвлет-анализа важными свойствамивейвлета являются его направленные свойства (см., напр., [10]). Вейвлет считается направленным, если численный носитель его Фурье-преобразованиясосредоточен внутри некоторого конуса с углом меньше π радиан. Численный носитель Фурье-преобразования – это эллипс с центром в точке (kx , ky )и полуосями ∆kx и ∆ky .В работе показано, что гауссов пакет при фиксированном времени и большихp является направленным. Также проведено численное исследование зависимости от параметров гауссова пакета масштабной (SRP) и угловой (ARP)разрешающих способностей, определяемых по формуламq 2kx − (∆kx )2kx + ∆kxSP R(ψ) =,AP R(ψ) = 2 arcctg.∆kykx − ∆kx(39)Содержание главы 3Результаты, приводимые в Главе 3, опубликованы в [26]-[28].В главе 3 рассмотрен нетривиальный пример неоднородной среды, в которойэлектромагнитное монохроматическое поле описывается гиперболическим уравнением с постоянными коэффициентами и, в частности, волновым уравнением.

Вперспективе предполагается применение к задачам распространения волн в такойсреде аппарата, разработанного в главах 1–2.17Монохроматическое электромагнитное поле частоты ω удовлетворяет уравнениям Максвелла:rotE = ikµH,(40)rotH = −ikεE,где k = ω/c, c – скорость света в вакууме. Мы рассматриваем эти уравнения в бесконечной слоистой периодической среде с кусочно-гладкими зависимостями ε(z),µ(z), для периода используется обозначение b.В начале главы определены некоторые вспомогательные понятия: решения Флоке-Блоха, дисперсионные поверхности, стационарные точки, а также перечисленыих свойства, используемые в дальнейшем. Более подробное изложение этого материала, в основном являющегося стандартным, вынесено в приложение 4.1.

Рассмотрим решения специального вида: E  = ei(px x+py y) Φ(z; p), Φ(z; p) = eipz z ϕ(z; p),Hϕ(z + b; p) = ϕ(z; p). (41)Вектор-функция Φ является решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, которое называется решением Флоке-Блоха. Периодическую вектор-функцию ϕ будем называть амплитудойФлоке-Блоха; px , py – поперечные компоненты волнового вектора, pz – вещественно, принадлежит интервалу (−π/b, π/b) и называется квазиимпульсом. Решения(41) могут быть двух типов, или поляризаций, в зависимости от наличия или отсутствия z-компонент электрического и магнитного полей – поперечная магнитная(ТМ-поляризация) или поперечная электрическая (ТЕ-поляризация).

Чтобы решения Флоке-Блоха каждого типа существовали, нужно, чтобы квазиимпульс pzбыл связан с px , py и частотой ω некоторым соотношением, откуда можно выразить ω через p = (px , py , pz ). Выражая ω, мы получаем многолистную аналитическую функцию ω = ωj (p), которую будем называть дисперсионной функцией, гдеj указывает на номер листа.

Фактически ωj зависит от px и py посредством выра18женияqp2x + p2y . Дисперсионные функции для волн типа ТМ и ТЕ отличаются другот друга. Обозначим дисперсионные функции ω = ωjH (p) для ТМ-поляризации иω = ωjE (p) для ТЕ-поляризации. Для краткости введём обозначение ω = ωjf (p), гдеf = H или E.В главе 3 установлено, что на каждом листе ω = ωjf (p) существуют стационарные точки p∗ , т. е.

такие точки, в которых ∇ωjf = 0, ω∗ = ωjf (p∗ ). Стационарныеточки дисперсионных функций разных поляризаций совпадают, причем в этих точках поверхности, соответствующие ТМ и ТЕ поляризациям, касаются друг друга.При фиксированном p2x +p2y = 0 на оси ω образуется система отрезков, для которыхсуществует вещественная функция pz (ω) и которые являются разрешенными зонами. В данной работе показано, что стационарные точки совпадают с границами зон.Известно, что на границах зон могут существовать как два ограниченных решенияФлоке-Блоха, так и ограниченное и присоединённое решения.

С одной стороны отточки ω∗ существуют два ограниченных решения Флоке-Блоха, с другой стороныот точки ω∗ существуют также два решения уравнения, но с комплексным квазиимпульсом pz .Установлена связь между производными от дисперсионной функции ωjf (p) встационарных точках и некоторыми интегралами от функций Флоке-Блоха. Заметим, что в стационарных точках само понятие ТМ и ТЕ волн не имеет смысла.Представляет интерес предельный переход в решениях Флоке-Блоха заданной поqляризации, являющихся функциями параметров px , py , при p2x + p2y → 0. Этотqпредел не существует.

Однако предел в каждом направлении при p2x + p2y → 0 существует и зависит от этого направления. Полученные соотношения применяютсяпри построении асимптотического разложения.Перейдём теперь к основному содержанию главы. Предмет исследования – такие решения монохроматических уравнений Максвелла, которые медленно (по срав-19нению с периодом среды b) меняются по поперечным координатам x, y, а по координате z осциллируют с медленно изменяющейся амплитудой.

Предполагаем, вопервых, что период b среды много меньше масштаба изменения поля по x, y, и ихотношение равно малому параметру χ. Во-вторых, требуем, чтобы частота полябыла близка к частоте одной из стационарных точек ω∗ дисперсионной поверхности ω = ωjf (p) среды при некотором j:ω = ω∗ + χ2 δω,δω ∼ 1.(42)В-третьих, предполагаем, что в этой стационарной точке, кроме ограниченного набесконечности решения Флоке-Блоха, существует растущее на бесконечности решение, что соответствует случаю общего положения.

Зафиксируем лист дисперсионной поверхности с требуемыми свойствами и в дальнейшем не будем указыватьиндекс j.Поле найдено в виде формального асимптотического ряда: XE (z, ρ) = eipz∗ zχn φ(n) (z, ρ),Hn≥0ρ = (ξ, η, ζ),ξ = χx, η = χy, ζ = χz,(43)χ 1.Получена следующая формула для главного члена асимптотического разложения (43) решения уравнений Максвелла (40): EY  (z, ρ) = α1 (ρ)ΦX∗ (z) + α2 (ρ)Φ∗ (z) + O(χ),H(44)где Φf∗ = eip∗ z ϕf∗ – решения Флоке-Блоха, соответствующие одной из стационарных точек функции ω = ω f (p). В этой точке p = (0, 0, pz∗ ), pz∗ = 0, ±π/b, и обаtYtрешения, ΦX∗ = (E0 , 0, 0, 0, H0 , 0) |pz∗ и Φ∗ = (0, −E0 , 0, H0 , 0, 0) |pz∗ , выражаютсячерез (E0 , H0 ), которые являются решениями Флоке-Блоха системыidE0= −kµH0 ;dz20idH0= −kεE0 .dz(45)YЗаметим, что решения ΦX∗ , Φ∗ не являются ТМ или ТЕ волнами, так как вычис-лены в стационарной точке.

Тем не менее при выполнении предельного переходаqYp2x + p2y → 0 ТМ и ТЕ волны выражаются через линейную комбинацию ΦX∗ , Φ∗ ,коэффициенты которой зависят от направления.Функции αj (ρ), j = 1, 2, определяются следующими уравнениями:∂ 2 α1 H∂ 2 α1 E∂ 2 α1 0δω∂ 2 α2 HEω̈+ω̈+ω̈+2α−(ω̈11 − ω̈11) = 0,111∗11∗33∗222∂ξ∂η∂ζc∂ξ∂η∂ 2 α2 E∂ 2 α2 H∂ 2 α2 0δω∂ 2 α1 HEω̈11∗ +ω̈11∗ +ω̈33∗ + 2 α2 −(ω̈11 − ω̈11) = 0.222∂ξ∂η∂ζc∂ξ∂η(46)Коэффициенты уравнений определены по ряду Тейлора функции ω = ω f (p) вблизистационарных точек p∗ = (0, 0, pz∗ ):1 f1 0ω = ω∗ + ω̈11∗(p2x + p2y ) + ω̈33∗(pz − pz∗ )2 + .

. . ,22(47)f0где ω̈11∗, ω̈33∗– вторые производные дисперсионной функции ω по px и pz , вычис-ленные в стационарной точке. Так как среда обладает осевой симметрией, производные от дисперсионной функции по px и py равны и зависят от типа поляризации,тогда как производная по pz не зависит от типа поляризации.Выяснено, что уравнения могут быть упрощены при помощи введения новыхфункцийτ1 ≡∂α1 ∂α2−∂ξ∂ητ2 ≡,∂α1 ∂α2+∂η∂ξ.(48)Получается:2∂ 2 τ1 ∂ 2 τ1δω0 ∂ τ1++ω̈+2τ1 = 0,33∗∂ξ 2∂η 2∂ζ 2c 222∂τ∂τδω22E0 ∂ τ2ω̈11∗++ω̈+2τ2 = 0.33∗∂ξ 2∂η 2∂ζ 2cHω̈11∗(49)Исходные функции αj , j = 1, 2, могут быть найдены из уравнений∂τ1 ∂τ24α1 =+,∂ξ∂η∂τ2 ∂τ14α2 =−,∂ξ∂η21∂2∂24 ≡ 2 + 2.∂ξ∂η(50)0< 0. Тогда уравнения на функции τ1,2Частный случай возникает при δω = 0 и ω̈33∗– волновые уравнения, в которых продольная переменная ζ играет роль времени.Если поле не зависит от одной из поперечных переменных, например от η, уравнения на функции α1 и α2 разделяются без введения дополнительных функций иприобретают вид∂ 2 α1 Hω̈ +∂ξ 2 11∗∂ 2 α2 Eω̈ +∂ξ 2 11∗∂ 2 α1 0δωω̈33∗ + 2 α1 = 0,2∂ζc2∂ α2 0δωω̈+2α2 = 0.33∗∂ζ 2c(51)0При δω = 0 и ω̈33∗< 0 уравнения превращаются в одномерные волновые урав-нения, роль времени в которых играет переменная ζ, а роль скорости – отношеf0ние вторых производных ω̈11∗.

Из свойств волнового уравнения следует, что в/ω̈33∗слоистой среде существуют решения уравнений Максвелла (40), представляющиесобой пучки, ширина которых не меняется с изменением z, и все пучки ориентированы только под одним фиксированным углом к оси z, тангенс которого равенотношению вторых производных.Результаты проверены при помощи численного эксперимента.

Эффекты, возникающие, если поле зависит только от одной поперечной координаты, были изучены аналитически и численно в [27]. Была рассмотрена простейшая модель издвух чередующихся однородных слоёв диэлектрика, для которой дисперсионнаяфункция, её вторые производные и решения Флоке-Блоха определяются аналитически. Был взят набор параметров среды. Для него была численно найдена частотастационарной точки гиперболического типа. Коэффициенты уравнений на функцииαj , j = 1, 2, были получены явно, что позволяет предсказать угол распространениянерасплывающихся пучков.Далее был проведен численный эксперимент по распространению пучка в слоистой среде с заданными параметрами с использованием коммерческого пакета CSTMicrowave Studio.

Характеристики

Список файлов диссертации