Диссертация (1150566), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Рассмотрим следующее выражение:1eCZ+∞0daa2Z2πdβ hU (a, r, β, t), α(r)i,∀α ∈ S(R2 ).(162)0Формула Планшереля даёт1hU (a, r, β, t), α(r)i =(2π)2Z2dkub(k, t) a ϕbR254aM−1β kαb(k)(163)Подставляя (163) в (162) и изменяя порядок интегрирования, получаем1 1=e (2π)2CZZ+∞2d kub(k, t) αb(k)0R2daaZ2πbdβ ϕaM−1β k.(164)0Двойной интеграл по переменным a и β может быть рассмотрен, по аналогии с формулами (93-94) как интеграл по всему пространству R2 , записанный в полярныхe определяемый формулой (161). Таким обкоординатах. Он даёт коэффициент C,разом, получаем1eCZ+∞0daa2Z2πdβ hU (a, r, β, t), α(r)i =1hbu(k, t), αb(k)i = hu(r, t), αb(r)i, (165)(2π)20что означает, что утверждение 2 доказано.552Методы конструирования физических вейвлетовКак ясно видно из параграфа 1.2, можно получить физический вейвлет для пространства H± , просто выбрав произвольную интегрируемую с квадратом функциюϕb± (k) двух переменных k ∈ R2 , имеющую нуль хотя бы первого порядка в точкеk = 0.
После этого необходимо умножить её на зависящую от времени экспонентуe∓i|k|ct , и взять обратное преобразование Фурье по переменной k. Такой алгоритмпозволяет получить физические вейвлеты в H± , удовлетворяющие условию допустимости. Однако на практике мы, скорее всего, не сможем вычислить интегралв явном виде. Тем самым мы не сможем найти явную формулу для вейвлета ϕ впространственных координатах.
Вместе с тем, существует несколько практическихметодов, позволяющих получить явное точное решение волнового уравнения непосредственно в координатном представлении, без вычисления интеграла по всемуR2 . Эти методы были предложены Бейтманом и развиты Иллионом в работах [33][35] (см.
обзор в работе [36]). Мы впервые предлагаем использовать эти методы дляполучения физических вейвлетов, которые можно использовать в преобразованияхиз главы 1.Показано, что одно из ранее найденных решений – гауссов волновой пакет–является физическим вейвлетом. Подробно изучены его свойства, которые важныс точки зрения непрерывного вейвлет-анализа.2.1Сферически симметричные решения волнового уравненияи физические вейвлеты в R3В данном разделе мы рассматриваем класс сферически симметричных физическихвейвлетов, восходящих к работам Дж. Кайзера [8].
Данные решения существуюттолько для случая трёх пространственных измерений. Метод получения интеграль56ных представлений решений, представленный нами в главе 1, разработан для двухпространственных переменных. Тем не менее, он допускает расширение и на случайтрёх пространственных измерений, но такое его расширение выходит за рамки настоящей работы. Мы принимаем здесь без доказательства, что в трехмерном случаедля того чтобы решение ψ± (r, t) могло быть использовано в качестве физическоговейвлета, оно должно удовлетворять условию допустимостиCψ±Z≡d3 k|ψb± (k, 0)|2< ∞.|k|3(166)R3Это условие обеспечивает справедливость формулы восстановления для непрерывного вейвлет-анализа в R3 , см. [10].Одним из наиболее простых классов решений нестационарного волнового уравнения в R3utt − c2 (uxx + uyy + uzz ) = 0,r = (x, y, z),(167)являются сферические волны:u(r, t) =11F (ct − |r|) +G(ct + |r|),|r||r|(168)где F, G - произвольные функции. Если функции F, G - гладкие, то такое решение удовлетворяет однородному волновому уравнению везде, кроме точки |r| = 0.Можно посмотреть на решения такого вида как на поле точечного источника, расположенного в начале координат.
Пусть e(r, t) и a(r, t) удовлетворяют уравнениям 2∂1 φ(ct − |r|)2−c∆e(r,t)=φ(ct)δ(r),e(r,t)=,(169)∂t24πc2|r| 2∂1 φ(ct + |r|)2−c∆a(r,t)=φ(ct)δ(r),a(r,t)=.(170)∂t24πc2|r|Решение e(r, t) имеет смысл волны, излученной точечным источником в начале координат, а решение a(r, t) – волны, поглощенной точечным источником. Разность57этих двух решенийψ(r, t) = a(r, t) − e(r, t) =1[φ(ct + |r|) − φ(ct − |r|)]4πc2 |r|(171)является решением однородного волнового уравнения (99). После вычитания особенности в начале координат r = 0 сокращаются, так как функции F и G из (168)взяты как F = −G. Данный простой метод получения сферически симметричныхрешений волнового уравнения был впервые рассмотрен с точки зрения полученияфизических вейвлетов Дж.
Кайзером в [8]. Функция φ(ct) была названа проксивейвлетом и имела вид:φ(ct) =Γ(α),π(1 − it)α(172)где Θ – функция Хевисайда. В координатном пространстве вейвлет, в соответствиис (171), имеет видΓ(α)11ψ(r, t) = 2 2−.4π c |r| [1 − i(ct + |r|)]α [1 − i(ct − |r|)]α(173)Кайзер использовал в своих построениях преобразование Гильберта, которое онинтерпретировал с точки зрения вейвлет-анализа. Преобразования Гильберта определило появление единственного физического вейвлета.При нашем подходе прокси-вейвлет φ(ct) может быть выбран из широкого класса функций.
Нужно только, чтобы порожденный им физический вейвлет содержалтолько положительные или только отрицательные частоты и удовлетворял условиюдопустимости (166).bВейвлет φ(ct), у которого Фурье-преобразование φ(k)≡ 0, k < 0, называютпрогрессивным. Мы собираемся доказать следующие два факта.bВо-первых, если прокси-вейвлет φ(ct) - прогрессивный и φ(k)/kпринадлежитL2 , то физический вейвлет ψ(r, t) будет принадлежать пространству H− и его можно обозначить как ψ− (r, t).
Второй вейвлет ψ+ ∈ H+ в этом случае может бытьполучен из ψ− сменой знака времени t.58Во-вторых, если физический вейвлет ψ− (r, t) порождён прокси-вейвлетом φ(ct)по формуле (171), то в терминах прокси-вейвлета условие допустимости, после перехода в сферические координаты и снятия интеграла по углу, приобретает видπCψ− ≡ 4cZ+∞2b|φ(k)|< ∞.dkk3(174)0Прежде всего, найдем Фурье-преобразование решения, порожденного некоторым прокси-вейвлетом φ(ct).
Фурье-преобразование решения ψ(r, t) (171) можетбыть вычислено явно переходом в сферические координаты α, β, R ≡ |r| и поворотом системы координат под интегралом так, чтобы ось z совпадала по направлениюс вектором k, так что k · r превращается в |k|R cos β, а интеграл по α даёт 2π:Zφ(ct+|r|)φ(ct−|r|)1b t) =d3 r e−ik·r−=ψ(k,4πc2|r||r|R31= 22cZ+∞ZπdR R [φ(ct + R) − φ(ct − R)] dβ sin β e−i|k|R cos β0=12ic2 |k|0Z+∞i|k|R−i|k|RdR [φ(ct + R) − φ(ct − R)] e−e.(175)0Последнее выражение состоит из четырёх слагаемых. Рассмотрим два из них, остальные два рассматриваются аналогично:Z+∞Z+∞−dR φ(ct + R)e−i|k|R = −dR φ(ct + R)e−i|k|(R+ct) ei|k|ct =0= −ei|k|ct0Z+∞dτ φ(τ )e−i|k|τ ;(176)ct59Z+∞Z+∞−dR φ(ct − R)ei|k|R = −dR φ(ct − R)e−i|k|(ct−R) ei|k|ct =00= −ei|k|ctZctdτ φ(τ )e−i|k|τ ;(177)−∞Сумма интегралов (176) и (177) даёт интеграл по всей оси, который, в свою очередь, даёт Фурье-преобразование от функции одной переменной φ(ct), вычисленное в точке |k| с дополнительным множителем −ei|k|ct .
Два других слагаемых в формуле (175) дают Фурье-преобразование от φ(ct) в точке −|k| с множителем e−i|k|ct .В итоге получаемbbb t) = − φ(|k|) exp(i|k|ct) + φ(−|k|) exp(−i|k|ct),ψ(k,2i|k|c22i|k|c2(178)bгде φ(±|k|)– Фурье-преобразование функции одной переменной φ(ct), взятое вb t) разделяточке ±|k|. Эта формула показывает, что Фурье-преобразование ψ(k,ется на два слагаемых, зависящих от exp(−i|k|ct) и exp(i|k|ct).Из формулы (178) следуют оба факта, о которых мы упомянули выше. Во-перbвых, так как |k| ≥ 0, и если прокси-вейвлет φ(t) прогрессивный, т.е., φ(k)≡ 0, k <b t) не содержит слагаемого, пропорционального exp(−i|k|ct),0, то выражение для ψ(k,и решение ψ(r, t), задаваемое формулой (171), принадлежит подпространству H− .Будем обозначать его как ψ− (r, t).
Для того, чтобы проверить условие допустимоb 0) из (178) в формулу (166):сти (174), подставим ψ(k,Cψ− =ZR32b3 |ψ− (k, 0)|dk=|k|3Z2πZπdα0Z+∞Z+∞22bb|φ(k)|π|φ(k)|2dβ sin βdk k= 4dk(179).4k 5 c4ck3000Фурье-преобразование прокси-вейвлета Кайзера имеет вид:bφ(k)= 2Θ(k) k α−1 exp(−k),60(180)где Θ – функция Хевисайда. Ecли α > 2, этот вейвлет удовлетворяет нашему условию (174) и порождает физический вейвлет, который может быть использован в интегральном представлении решения волнового уравнения в трехмерном пространстве.Приведём другой пример сферически симметричного физического вейвлета, который, в отличие от вейвлета Кайзера, экспоненциально локализован по пространственным координатам при фиксированном времени и обладает бесконечным количеством нулевых моментов (в смысле формулы (36)).
Он основан на проксивейвлете√φ(t) = exp −2 1 − it(181)и в координатной записи имеет видnh pih pio1exp −2 1 − i(ct + |r|) − exp −2 1 − i(ct − |r|) .(182)ψ− (r, t) =4πc2 |r|Здесь и далее выбирается ветвь квадратного корня с положительной вещественнойчастью. Это решение было впервые приведено в [37], и в [17] было впервые предложено нами как физический вейвлет, порождаемый соответствующим прокси-вейвлетом.
Вычислим Фурье-преобразование физического вейвлета (182) с учётом формул (178) и (181). Для этого рассмотрим известное соотношение, приведённое в [38]на стр. 354: ν/2Z+∞ p ββν−1xexp − − γx dx = 2Kν 2 βγ ,xγ(183)0где Kν - функция Макдоналда. Там же показано, чтоrπ −zK1/2 (z) = K−1/2 (z) =e .2zПредставим прокси-вейвлет (181) как √ √21/4exp −2 1 − it = √ (1 − it) K−1/2 2 1 − it .π61(184)(185)Если в правой части формулы (183) положить γ = 1 − it, β = 1, ν = −1/2, то из(185) получим, что√1φ(t) ≡ exp −2 1 − it = √πZ+∞1k −3/2 exp − − k eitk dk.k(186)0Подынтегральное выражение имеет ноль бесконечного порядка в k = 0 за счётbмножителя exp(−1/k).
Положим, что φ(k)≡ 0, k < 0. Тогда формулу (186) можноистолковать как обратное преобразование Фурье. Следовательно, Фурье-преобразование от прокси-вейвлета (181) имеет вид√ −3/21bφ(k)= 2 πkexp − − k .k(187)Тогда Фурье-преобразование ψb− (k, t), в соответствии с формулой (178), выглядиткак√πi1−5/2ψb− (k, 0) = 2 |k|exp −|k| −.c|k|(188)Коэффициент Cψ− для такого вейвлета (174) может быть найден явно благодаряформуле из [38]:Cψ−Z∞= 4π|ψb− (k, 0)|28π 2dk= 4 K5 (4) < ∞,kc(189)0где K5 (4) – функция Макдональда [39] пятого порядка. Фурье-преобразованиеэтого вейвлета имеет корень бесконечного порядка в начале координат - k = 0 засчёт множителя exp(−1/|k|).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
