Диссертация (1150566), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Укаждой системы есть два решения Флоке-Блоха [47], см. подробности в приложении 1. Мы будем снабжать компоненты второго решения нижним индексом 2.86Например, два решения первой подсистемы (283) для волн типа TM имеют видEk 2E22 = e−ipz z UH k  = eipz z UH(z;p,p,ω),(287)z k+− (z; pz , pk , ω).H⊥ 2H⊥Решения зависят от параметров, входящих в уравнение, p2k и ω, а также от вещественного параметра pz , который называется квазиимпульсом и который связан сpk и ω соотношениемpz = pz (p2k , ω).(288)Это соотношение выбрано так, что функции UH± периодические,2H2UH± (z + b; pz , pk , ω) = U± (z; pz , pk , ω),(289)и непрерывные по z.

Мы называем эти функции амплитудами Флоке-Блоха. Выразим ω из (288) и получим дисперсионное соотношение в видеω = ω H (p).(290)Функцию ω H (p) называем дисперсионной, эта функция – многозначная на[−π/b, π/b) × R2+ , её вывод приведён в приложении 1. Аналогичным образом строятся решения Флоке-Блоха и дисперсионные функции для волн TE-типа E⊥ , Hkи для решений E0 и H0 системы (284). Решения (287) линейно независимы, еслиpz 6= 0, ±π/b, см. приложение 1. Однако нас интересуют именно эти исключительные точки.В настоящей работе мы интересуемся эффектами, возникающими при частоте задачи близкой к частоте одной из стационарных точек на каком-нибудь листедисперсионной поверхности. В приложении 1 показано, что многолистные дисперсионные поверхности ω = ω E (p) и ω = ω H (p) имеют стационарные точки на каждом листе в точках p∗ с координатами pk∗ = 0, pz∗ = 0, ±π/b, причем в этих точках листы дисперсионных поверхностей обоих типов касаются друг друга, поэтому87∇ωpH∗ = ∇ωpE∗ = 0 и ω E (p∗ ) = ω H (p∗ ) ≡ ω∗ .

В точке p∗ , как правило, имеется всего одно ограниченное на бесконечности решение системы (287), которое являетсяпериодическим при pz∗ = 0 и антипериодическим при pz∗ = ±π/b. Второе решение,линейно независимое от первого, растет на бесконечности. Подробности получениярешений Флоке-Блоха и обсуждение ситуации, когда второе решение ограничено,даны в приложении 1. Мы предполагаем, что в нашем случае одно из решений набесконечности нарастает. Оба решения имеют видE0 Ek =eipz∗ z U H (z, pz∗ , 0, ω∗ ),=H0 H⊥ pz =pz∗p=p∗  HEk 2 E02 ipz∗ z==ezU(z,p,0,ω)+Q(z,p,ω),z∗z∗∗∗H02 H⊥ 2 p=p∗pz =pz∗(291)где вектор-функция Q – непрерывная, периодическая функция z.

Мы не указываем у Q аргумент p2k∗ = 0, так как при pk 6= 0 второе решение (291) использоватьсяне будет. Решения второй подсистемы, как уже упоминалось, выражаются следующим образом:−E0 E⊥ =H0 Hk p=p∗3.3.2,E⊥ 2pz =pz∗Hk 2=p=p∗−E02H02. (292)pz =pz∗Решения Флоке-Блоха в произвольной системе координатМы нашли решения каждой из подсистем (283), обозначенные как Ek , H⊥ и E⊥ , Hk .Эти решения были найдены в координатной системе, повернутой на угол γ, которыйхарактеризует направление распространения волны. В исходной системе коорди-88нат решения имеют вид:ΦH = Ek cos γ Ek sin γ 1− kε pk H⊥ ,−H⊥ sin γ H⊥ cos γ 0ΦE = −E⊥ sin γ E⊥ cos γ 0.Hk cos γ Hk sin γ 1kµ pk E⊥Отметим, что эти решения могут быть переписаны, например, как 0 0   Ek   Ek   0 0   1 0   − kε 0 pk H⊥H+ + sin γ Φ = cos γ   −H⊥   0 0   0   H⊥ 0 000(293).(294)Решения (293) не имеют предела при pk → 0 как функции двух переменныхpx , py .

Предел при pk → 0 существует в каждом направлении, заданном γ, и зависитот этого направления:ΦH |pk →0 → cos γΦX − sin γΦY ,ΦE |pk →0 → sin γΦX + cos γΦY .В дальнейшем нам потребуются также производные∂ΦH ∂ΦE∂pj , ∂pj ,(295)j = x, y, z, кото-рые являются линейными комбинациями производных от функций Ek , H⊥ и E⊥ , Hk .Эти функции голоморфно зависят от p2k , так как коэффициенты систем (283) являются голоморфными функциями p2k . Нетрудно видеть, что∂Ek∂Ek= 2pk 2 cos γ.∂px∂pk89(296)Отсюда получаем∂Ek ∂px p =0k= 0.

Аналогично показывается, что производные от H⊥ ,E⊥ и Hk по px и py обращаются в нуль при pk = 0. В итоге, получаемt∂ΦH H0∂ΦH , 0, 0, 0 ,p =p =0 =p =p =0 = 0, 0, −∂px x y∂py x ykεt∂ΦE ∂ΦE E0.p =p =0 =p =p =0 = 0, 0, 0, 0, 0, −∂px x y∂py x ykµ(297)(298)Эти производные не зависят от направления γ.Приведем также формулу для производной по pz , хотя использоваться она небудет. Продифференцируем (287), получим!2H2H∂U+ (z; pz , pk , ω) ∂ω∂U+ (z; pz , pk , ω)Ek∂  Ek ipz z=e++ iz ∂pz∂ω∂p∂pzzH⊥H⊥Поэтому имеем∂  Ek ∂pzH⊥ E0  + iz H0 pz∗=e2∂UH+ (z; pz , pk , ω) ipz z∂pzp∗,(299)pz∗так как в стационарной точке производные от ω равны нулю.В дальнейшем будет использоваться шестикомпонентная вектор-функция ϕf (z, p),f = H, E, X или Y , которую мы будем называть амплитудой Флоке-Блоха, и которая определяется из формулыΦf (z; p) = eipz z ϕf (z; p).(300)Поясним эту формулу.

Решения Флоке-Блоха Φf (z; p) при f = H, E определяютсяформулами (293), где Ek , H⊥ и E⊥ , Hk – первые решения (287) систем (283). Предполагается, что в формулах (287) частота ω выражена через p с помощью однойиз ветвей многозначной функции ω = ω f (p), номер ветви опускается для краткости записи. Решения Флоке-Блоха Φf (z; p) при f = X, Y определены, только если90p|| = 0, т. е. при p = p0 ≡ (0, 0, pz ), и, следовательно, поляризация волны не определена, иω H (p0 ) = ω E (p0 ) ≡ ω 0 (p0 ).(301)Предел по направлению при pk → 0 амплитуд Флоке-Блоха следует из (295):ϕH |pk →0 → cos γϕX − sin γϕY ,ϕE |pk →0 → sin γϕX + cos γϕY .(302)В частности, если γ = 0, тогда pk = px . Если γ = π/2, то pk = py .

Из (302) получаем,чтоϕH (z; p)|px →0,py =0 →ϕX (z; p0 ),ϕE (z; p)|px →0,py =0 → ϕY (z; p0 ), (303)ϕH (z; p)|px =0,py →0 → −ϕY (z; p0 ),ϕE (z; p)|px =0,py →0 → ϕX (z; p0 ). (304)Далее, нам нужны производные от ϕH и ϕE по параметрам px и py в точке pk = 0.Согласно (297) и (298) и определению (300), получимHH∂ϕ∂ϕ|p∗ =∂px∂py∂ϕE∂ϕE|p∗ =∂px∂py3.4t H0|p∗ = 0, 0, − , 0, 0, 0 e−ipz∗ z ,kεpz∗t E0 |p∗ = 0, 0, 0, 0, 0, − e−ipz∗ z .kµ (305)(306)pz∗Некоторые вспомогательные соотношенияНаша цель – получить соотношения, выражающие производные дисперсионныхфункций через амплитуды решений Флоке-Блоха, а также некоторые другие соотношения, которые будут использованы в дальнейшем. Для этого мы получим уравнения на эти амплитуды и их производные по параметрам pj , j = x, y.913.4.1Уравнения для амплитуд решений Флоке-Блоха и их производныхВведём единые обозначения для волн различных типов.

Мы имеем дело с шестикомпонентными решениями уравнений Максвелла:ΨfB (x, y, z; p) = ei(px x+py y) Φf (z; p),Φf (z; p) = eipz z ϕf (z; p),f = E, H. (307)Здесь индекс f указывает на тип поля: f = E указывает на TE поляризацию, аf = H соответствует TM поляризации.Подставляя (307) в уравнения Максвелла, перепишем их в следующем виде:Af (p)ϕf (z; p) = 0,(308)гдеω f (p)∂bP + iΓ3 − p · Γ,A (p) ≡c∂zfb ≡ px Γ 1 + py Γ 2 + pz Γ 3 .p·Γ(309)Отметим, что эти уравнения для обоих типов поляризации различаются только дисперсионной функцией ω f (p).

Эти уравнения тождественно верны для любого p, имы можем взять производные от этих тождеств по параметрам pj , j = x, y, еслиpk 6= 0, получим∂ϕf∂Af fA (p)=−ϕ ,∂pj∂pj∂ 2 ϕf1 ∂ 2ωf∂Af (p) ∂ϕfffA (p) 2 = −Pϕ − 2,∂pjc ∂p2j∂pj ∂pjf(310)(311)где∂Af1 ∂ω f=P − Γj .∂pjc ∂pj(312)Производные по pz обсуждаются в конце раздела. Теперь конкретизируем формулы (310) - (312) в стационарных точках p∗ . Эти точки для каждого листа многозначной дисперсионной функции ω f отличаются только значением pz∗ , и для всехточек pk∗ = 0. Функции ϕf не непрерывны как функции двух переменных px и py92в точке px = py = 0. Тем не менее для любого фиксированного угла γ предел приpk → 0 существует и определяется формулами (303), (304).

Функции ϕf имеютгладкие частные производные по px и pz при pk = 0, которые определяются формулами (305), (306). Мы снабдим частные производные от функций ϕf , вычисленныев точке p∗ , символом ∗. Оператор Af после подстановки p = p∗ обозначается следующим образом:Af (p∗ ) ≡ A∗ (p∗ ),f = E, H,(313)и более не зависит от типа волн TM или TE. В лемме 1 в приложении 4.2.1 показано, что этот оператор симметричный на классе решений, который будет определённиже.В результате, переходя к пределу по направлению в (310), (312) и учитывая(303), (304), получаем:∂ϕHA∗ ∗ = Γ1 ϕX∗ ,∂px∂ϕHA∗ ∗ = −Γ2 ϕY∗ ,∂py∂ϕEA∗ ∗ = Γ1 ϕY∗ ,∂px∂ϕEA∗ ∗ = Γ2 ϕX∗ .∂py(314)(315)Здесь мы ввели обозначениеϕX (z; p∗ ) = ϕX∗ ,ϕY (z; p∗ ) = ϕY∗ .(316)Заметим, что слагаемые, содержащие производную ∂ω f /∂pj в стационарной точке отсутствуют, так как в стационарной точке эта производная обращается в нуль.Для вторых производных от амплитуд решений Флоке-Блоха из формул (311), (312)93c учетом (303), (304) получаем∂ 2 ϕH∗2∂px∂ 2 ϕE∗A∗2∂px∂ 2 ϕH∗A∗2∂py∂ 2 ϕE∗A∗2∂pyA∗1 ∂ 2 ω∗H∂ϕH∗XPϕ+2Γ,1∗2c ∂px∂px1 ∂ 2 ω∗E∂ϕEY=−Pϕ∗ + 2Γ1 ∗ .2c ∂px∂px2 H1 ∂ ω∗∂ϕHY=Pϕ∗ + 2Γ2 ∗ ,2c ∂py∂py1 ∂ 2 ω∗E∂ϕEX=−Pϕ∗ + 2Γ2 ∗ .2c ∂py∂py=−(317)(318)(319)(320)Подчеркнем еще раз, что производные от ϕH и ϕE по направлению в точке p∗ могутYвыражаться как через ϕX∗ , так и через и ϕ∗ в зависимости от этого направления.Перейдем к вычислению производных по pz .

Если p|| = 0, т. е. p = p0 ≡ (0, 0, pz ),то выполнено (301), и AH (p0 ) = AE (p0 ) ≡ A0 (p0 ). Уравнение (308) принимает видA0 (p0 )ϕf (z; p0 ) = 0,f = X, Y.(321)Дифференцируя (321) по pz и переходя к пределу при pz → pz∗ , получаем∂ϕXA∗ ∗ = Γ3 ϕX∗ ,∂pz∂ϕY∗A∗= Γ3 ϕY∗ .∂pz(322)Находя вторые производные (321) и переходя к пределу при pz → pz∗ , выводим∂ 2 ϕX1 ∂ 2 ω∗0∂ϕX∗XA∗=−Pϕ∗ + 2Γ3 ∗ ,22∂pzc ∂pz∂pz2 Y2 0∂ ϕ∗1 ∂ ω∗∂ϕY∗YA∗=−Pϕ∗ + 2Γ3.∂p2zc ∂p2z∂pz3.4.2(323)(324)Производные дисперсионных функцийТеперь получим интегральные соотношения, связывающие производные амплитудФлоке-Блоха и производные дисперсионных функций.

Возьмём скалярное произYведение выражений (314), (315) и (322) с ϕX∗ или ϕ∗ , и с учётом того, чтоA∗ ϕX∗ = 0,A∗ ϕY∗ = 0,94(325)и леммы 1 (см. приложение 2), получаем:ϕf∗2 , Γj ϕf∗1 = 0,j = 1, 2, 3;f1 = X, Y ;f2 = X, Y.(326)Теперь применим те же действия к формулам (317–320) и (323–324). Введёмобозначенияuf∗1 f2 ≡ ϕf∗1 , Pϕf∗2 ,f1 = X, Y,где u имеет смысл плотности энергии и2 f2 f∂ω∂ωff, ω̈22∗≡,ω̈11∗≡2∂px p=p∗∂p2y p=p∗f2 = X, Y,f = H, E;0ω̈33∗∂ 2 ω 0 ≡,∂p2z p=p∗EH0, так как (301) выполняется для любых pz , и получим= ω̈33∗= ω̈33∗где ω̈33∗HEHEω̈11∗ω̈∂ϕ∂ϕ11∗ Y Y∗,uXXu∗ = 2 ϕY∗ , Γ1 ∗ ,= 2 ϕX∗∗ , Γ1c∂pxc∂pxHEHEω̈22∗∂ϕ∂ϕω̈∗22∗ XXuY∗ Y = −2 ϕY∗ , Γ2 ∗ ,u∗ = 2 ϕX,∗ , Γ2c∂pyc∂pyXY00∂ϕ∂ϕω̈33∗ω̈∗33∗ Y YuXX= 2 ϕX,u∗ = 2 ϕY∗ , Γ3 ∗ .∗∗ , Γ3c∂pzc∂pz(327)(328)(329)(330)(331)Y= uY∗ Y за счёт определения ϕXЕсли f1 6= f2 , то u∗f1 f2 ≡ 0. Более того, uXX∗ ϕ∗ и P.∗3.4.3Дополнительные соотношенияYУмножая уравнения (314), (315) и (322) на ϕX∗ и ϕ∗ таким образом, что слева мыYполучаем (ϕX∗ , Pϕ∗ ), которые обращаются в нуль, находим следующие соотноше-ния:∂ϕHYϕ∗ , Γ1 ∗∂px∂ϕE∗Yϕ∗ , Γ2∂py∂ϕEX= ϕ∗ , Γ1 ∗∂px∂ϕX∗Y= ϕ∗ , Γ3∂pz∂ϕH∗X= ϕ∗ , Γ2= 0,∂py∂ϕY∗X= ϕ∗ , Γ3= 0.∂pz(332)(333)Теперь упомянем некоторые другие полезные соотношения, связанные с производными ϕf .

Характеристики

Список файлов диссертации