Диссертация (1150566), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Правые части уравнений, не имеющих решений из класса M войдут−iΓс такими коэффициентами, что их суммы, после введения функций τ1,2 по формуле (48), окажутся совпадающими с уравнениями (369) и (374) на τ1 , τ2 , которые мыпредполагаем выполненными. Таким образом, непериодичность компонент решений будет компенсирована за счёт того, что они входят в линейную комбинацию соспециально подобранными коэффициентами, и сумма решений вспомогательныхуравнений (378), (379) будет принадлежать классу M. Тогда!!(1)(1)(1)(1)H∂α1∂α1∂α∂ϕ∗∂α∂ϕE∗G(2) ≡ − i−i−− 2+ 2∂ξ∂η∂px∂η∂ξ∂px(1)(1)∂α1 ∂ϕX∂α2 ∂ϕY∗∗−i−i−∂ζ ∂pz∂ζ ∂pz3X∂α1 ∂α2∂α∂α12∇j Γj−−Υ2H+Υ2Hj (z) +j (z) +∂ξ∂η∂η∂ξj=1∂α1 2X ∂α2 2Y∂∂∂+Υj +Υj , ∇1 = , ∇2 =, ∇3 =.∂ζ∂ζ∂ξ∂η∂ζ(2)(382)(2)Поправка G(3) содержит первые производные от α1 и α2 , вторые производные(1)(1)от α1 и α2 и третьи производные от α1 и α2 .
Процесс может быть продолжен.(k)Поправка φ(k) содержит пока неизвестные функции αj , j = 1, 2 и G(k) , которое(k−1)зависит от первых производных от α1(k−2)α2(k−1)и α2(k−2), вторых производных от α1ии производных порядка k от α1 и α2 . Условие разрешимости уравнения на105φ(k+1)bϕX∗ ,Γ(k)· ∇ρ φ(k−1)позволяет найти уравнения на α1= 0,(k−1)и α2bϕY∗ , Γ(k)· ∇ρ φ=0(383). Проводя преобразования по аналогиис преобразованиями раздела 3.5.3, получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных:(k−1)∂ 2 α1∂ξ 2(k−1)(k−1)∂ 2 α2∂ξ 2∂ 2 α1+∂η 2(k−1)∂ 2 α1δω (k−1)0+ω̈+2α−33∗∂ζ 2c 1(k−1)∂ 2 α2(k−1)(k−2)(k−2)HE(ω̈11∗ − ω̈11∗ ) = A1α1, α2, .
. . , α1 , α2 ,−∂ξ∂ηHω̈11∗Eω̈11∗(k−1)(0)(0)(k−1)где A1 = A2 = 0, A1∂ 2 α2+∂η 2(k−1)∂ 2 α2δω (k−1)0ω̈α−++233∗∂ζ 2c 2(k−1)∂ 2 α1(k−2)(k−2)(k−1)HEα1, α2, . . . , α1 , α2 ,−(ω̈11∗ − ω̈11∗ ) = A2∂ξ∂ηEω̈11∗(k−1), A2(384)Hω̈11∗(385)при k > 1 – линейные комбинации производных(j)от уже найденных функций αj , j = 1, 2, j = 1, .
. . , k − 2 по переменным ξ, η, ζ.Таким образом, все уравнения рекуррентной системы (342-345) последовательноразрешимы.3.6Решение уравнений на αДля построения главного порядка нужно найти огибающие поля αj , j = 1, 2. Мыполучили уравнения (375) с постоянными коэффициентами, описывающие поведение огибающих поля. Теперь обсудим методы их решения. Простейший случайвозникает, когда поле не зависит от одной из поперечных переменных, например отη. В этом случае уравнения на α1 и α2 разделяются:∂ 2 α1 Hω̈ +∂ξ 2 11∗∂ 2 α2 Eω̈ +∂ξ 2 11∗∂ 2 α1 0δωω̈+2α1 = 0,33∗∂ζ 2c∂ 2 α2 0δωω̈+2α2 = 0,∂ζ 2 33∗c106(386)где коэффициенты определены в (328) и являются производными дисперсионныхфункций для TM и TE волн, вычисленными в стационарных точках.
Уравнения(386) могут быть эллиптическими или гиперболическими, в зависимости от типастационарной точки, как это следует из формулы (418) и комментария после этойfформулы в приложении 1, ω̈11∗> 0, f = E, H. Уравнения (386) эллиптические,00если ω̈33∗> 0, и гиперболические, если ω̈33∗< 0. Найдём решения этих уравненийпри помощи метода Фурье, взяв Фурье-преобразование по переменной ξ.
Поделив0, получим следующее уравнение на функцию αbj (pξ ) :на коэффициент ω̈33∗j∂ 2αbj ω̈11∗δω2−pαb+2bj = 0,jξ00 α∂ζ 2ω̈33∗c ω̈33∗j = 1, 2.В таком случае решение определяется интеграломZ −1dpξ eipξ ξ αbj (pξ ) eipjζ ζ + αbj+ (pξ ) e−ipjζ ζ ,αj (ρ) =2π(387)(388)Rгде ρ = (ξ, 0, ζ) иspjζ =jω̈11∗2−pξ 0ω̈33∗+2δω0 .c ω̈33∗(389)j0Если ω̈33∗> 0, и 0 < p2ξ ω̈11∗< 2δω/c, интеграл описывает распространяющиесяволны, удовлетворяющие эллиптическому уравнению. Компоненты с такими знаjчениями pξ , что p2ξ ω̈11∗> 2δω/c, не распространяются.0Если ω̈33∗< 0, введём обозначенияqpjζ = ± p2ξ σj2 +q 2 ,σj2jω̈11∗= 0 ,|ω̈33∗ |q 2 = −2δω0 |.c|ω̈33∗(390)В этом случае уравнение (387) превращается в уравнение типа Клейна-ГордонаФока.
Если δω > 0, распространяются только компоненты c достаточно большимиpξ .Если δω = 0, уравнения (386) – одномерные волновые уравнения, где переменная ζ играет роль времени, а σ j – роль скорости распространения волн. Решение107может быть представлено как решение Д’Аламбера:αj = Fj (ξ − σ j ζ) + Gj (ξ + σ j ζ),(391)где Fj и Gj – некоторые функции. Если функция Fj локализована при ζ = 0 вблизиξ = 0, она локализована и при любом ζ вблизи линии ξ − σ j ζ = 0, и распространяется без искажений. Это означает, что в рассматриваемой среде возможно существование нерасплывающихся пучков, составляющих с осью z угол ±ϕf , которыйравен:sfϕ = arctgfω̈11∗0 |,|ω̈33∗f = H, E,(392)а величина угла зависит от типа поляризации.
Этот эффект был изучен аналитически и численно в [27].Перейдём к общему случаю, когда поле зависит от обеих поперечных координат ξ, η. Мы получили уравнения (369) и (374) на функции τ1 , τ2 , определённые в(362). Продифференцируем уравнение (369) по ξ и уравнение (374) по η, а затемвозьмём их разность. Получим уравнение на τ1 . Чтобы получить уравнение на τ2 ,продифференцируем (369) по η и (374) по ξ и сложим результаты.
Таким образом,мы получим уравнения на функции τ1 , τ2 : 222∂τ∂τδω11H0 ∂ τ1ω̈11∗++ ω̈33∗ 2 + 2 τ1 = 0,22∂ξ∂η∂ζc 222∂ τ2 ∂ τ2δωE0 ∂ τ2ω̈11∗++ω̈+2τ2 = 0.33∗∂ξ 2∂η 2∂ζ 2c(393)0Эти уравнения – гиперболические или эллиптические, в зависимости от знака ω̈33∗.Решение этих уравнений, полученное при помощи преобразования Фурье, имеетвид1τj (ξ, η, ζ) =(2π)2Zdpξ dpη eipξ ξ+ipη η τbj+ (pξ , pη )e−ipjζ ζ + τbj− (pξ , pη )eipjζ ζ ,R2108(394)гдеsp1ζ =Hω̈11∗− 0 (p2ξω̈33∗+p2η )δω+2 0 ,c ω̈33∗sp2ζ =Eω̈11∗δω− 0 (p2ξ + p2η ) + 2 0 ,ω̈33∗c ω̈33∗(395)а τbj± (pξ , pη ) такие функции, что интегралы (394) и интегралы, полученные дифференцированием (394), сходятся.0> 0, δω > 0 распространяются только компоненты с малым (p2ξ + p2η ) .При ω̈33∗Теперь получим уравнения на исходные функции α1 , α2 .
Продифференцируемтождества (362) по η и ξ соответственно и возьмём их сумму и разность. Получим∂τ1 ∂τ24α1 =+,∂ξ∂η∂τ2 ∂τ14α2 =−,∂ξ∂η∂2∂24 ≡ 2 + 2.∂ξ∂η(396)При помощи интеграла Фурье получим следующие выражения для функций α1 , α2 :Z−ib1 + pη τb2i(pξ ξ+pη η) pξ τα1 (ρ) =,dpdpeξη(2π)2p2ξ + p2ηR2Z−ib2 − pη τb1i(pξ ξ+pη η) pξ τα2 (ρ) =dpdpe,(397)ξη(2π)2p2ξ + p2ηR2гдеτbj ≡ τbj+ (pξ , pη )e−ipjζ ζ + τbj− (pξ , pη )eipjζ ζ .(398)Потребуем, чтобы функции τbj pξ /(p2ξ + p2η ) и τbj pη /(p2ξ + p2η ) были гладкими и интегрируемыми.
Выражения на α1 , α2 могут быть переписаны в полярной системе координат (pρ , γ) следующим образом:α1 (ρ) =−i(2π)2−iα2 (ρ) =(2π)2Z∞Z2πdpρdγ ei(pρ ξ cos γ+pρ η sin γ) (cos γbτ1 + sin γbτ2 ),00Z∞Z2πdpρ0dγ ei(pρ ξ cos γ+pρ η sin γ) (cos γbτ2 − sin γbτ1 ),0qгде pρ = p2ξ + p2η , cos γ = pξ /pρ , sin γ = pη /pρ .109(399)3.7Численное моделирование в частном случаеЗадача распространения волн в слоистой периодической среде была рассмотренав простейшем частном случае, когда среда состоит из двух чередующихся слоёвдиэлектриков с диэлектрическими проницаемостями ε1 , ε2 и толщинами a1 , a2 соответственно, период равен b = a1 + a2 , µ = 1. Для такой кусочно-постояннойзависимости коэффициента уравнения Максвелла все результаты могут быть получены аналитически. Уравнение на дисперсионную поверхность хорошо известно(см., напр., [13]) и имеет вид:1 β1 ε2 β2 ε1cos β1 a1 cos β2 a2 −sin β1 a1 sin β2 a2 − cos pz b = 0,+2 β2 ε1 β1 ε21 β1 β2cos β1 a1 cos β2 a2 −+sin β1 a1 sin β2 a2 − cos pz b = 0(400)2 β2 β1qдля ТМ- и ТЕ- поляризаций соответственно, β1,2 = ω 2 ε1,2 /c2 − p2k .
Для заданных параметров задачи a1 , a2 , ε1 , ε2 частоты стационарных точек могут быть найдены численно. Стационарные точки дисперсионных функций гиперболического типавозникают на верхних границах разрешённых зон при pk = 0, см. приложение 1.Отношение вторых производных дисперсионной функции в гиперболической стационарной точке находится аналитически. Например, для ТМ волн отношение имеет видHω̈11∗a1β1 β2a2=− 2 ++sin a1 β1 cos a2 β2 −0ω̈33∗b β1β2 β1 2b2 β2a2β1 β2a1− 2 ++sin a2 β2 cos a1 β1 +b β2β2 β1 2b2 β121 β1 β2 sin a1 β1 sin a2 β2+−,2 β2 β1bβ1bβ2110(401)для ТЕ волнEω̈11∗a1β1 β2a2=− 2 ++sin a1 β1 cos a2 β2 −0ω̈33∗b β1β2 β1 2b2 β2a2β1 β2a1− 2 ++sin a2 β2 cos a1 β1 −b β2β2 β1 2b2 β11ε1ε2ε1 β2ε2 β1− 2+−−sin a1 β1 sin a2 β2 .2b ε1 β1 β2 ε2 β13 ε2 β1 β2 ε1 β23(402)Будем далее рассматривать поля, зависящие только от одной из поперечных координат, например от координаты x.
Как было показано выше, если частота полясовпадает с частотой седловой точки, в периодической среде в нулевом приближении существуют пучки (т. е. поля, экспоненциально убывающие по мере удаленияот какой-либо прямой линии), которые могут располагаться только под двумя углами к оси z: ϕ и −ϕ (см. (392)).Чтобы проверить этот факт численно, выберем конкретные параметры среды ичисленно найдём частоту стационарной точки. Для конкретности частота ω монохроматического поля была выбрана в оптическом диапазоне. Из практических соображений далее будем оперировать не безразмерной круговой частотой ω, а размерной длиной волны в пустом пространстве λ. Выбор был остановлен на следующем наборе параметров: a1 = 50 нм, a2 = 80 нм, ε1 = 1.5, ε3 = 12.
Этим параметрам соответствует длина волны седловой точки λ∗ = 401 нм. На рисунке 12приведен участок зонной структуры при фиксированном pk = 0 для волн типа ТМ,полученный численным решением уравнения (400) (по вертикальной оси отложена круговая частота ω, для удобства отметки на графике сделаны в единицах длинволн).При фиксированной частоте связь pζ и pξ задаётся формулойqpjζ = ± p2ξ σj2 +q 2 ,σj2jω̈11∗= 0 ,|ω̈33∗ |q 2 = −2δω0 |.c|ω̈33∗(403)Если δω = 0, зависимость pζ от pξ линейная, в остальных случаях – гиперболиче111ская.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
