Диссертация (1150566), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Оно имеет видhw(z), Γ3 u(z)i = w1 (z)u5 (z) − w2 (z)u4 (z) − w4 (z)u2 (z) + w5 (z)u1 (z).(427)Обозначим скачок некоторой скалярной функции h(z) в точке zm следующим образом:[ h ]m = h(zm + 0) − h(zm − 0),m 6= 0;[ h ]0 = h(b) − h(0).(428)Сумма всех таких разрывов берётся в формуле (426). Так как u ∈ M, эти скачкиравны нулю, и симметричность оператора A∗ доказана.Перейдём теперь к доказательству леммы 1, которая утверждает, что решениеиз класса M уравненияA∗ φ = F(429)из (342) существует тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:ϕX,F= 0,∗ϕY∗ , F = 0,(430)Yгде оператор A∗ определён формулой (343), функции ϕX∗ (z), ϕ∗ (z) определеныформулами (316), (300) и (286).Чтобы доказать лемму, возьмём скалярное произведение (429) и ϕX∗ :XϕX,Aφ=ϕ,F.∗∗∗119(431)Во-первых, если решение (429) φ ∈ M, тогда скалярное произведение, за счётXсимметрии оператора A∗ , может быть переписано в виде ϕX∗ , A∗ φ = A∗ ϕ∗ , φ ,и так как A∗ ϕX∗ = 0, скалярное произведение в правой части уравнения (431) такжеобращается в нуль.Теперь пусть дано, что ϕX∗ ,Fφ = (φ1 , φ2 , φ3 , φ4 , φ5 , φ6 )T имеет вид∂φ5kεφ+i− pz∗ φ5 = F11∂z∂φ4+ pz∗ φ4 = F2kεφ−i2∂zkεφ3 = F3= 0.
Уравнение (429) на векторную функцию∂φ2kµφ−i+ pz∗ φ2 = F44∂z∂φ1− pz∗ φ1 = F5kµφ+i5∂zkµφ6 = F6 .(432)Оно распадается на пару неоднородных систем на компоненты 1,5 и 2,4 соответственно. Компоненты 3 и 6 находятся явно. Рассмотрим только подсистему на компоненты 1,5, вторая рассматривается аналогично.
Решение подсистемы всегда может быть представлено в виде суммыhiφz H 1 = AUHU+ (z; pz∗ , 0, ω∗ ) + QH (z; pz∗ , ω∗ ) + + (z; pz∗ , 0, ω∗ ) + Bbλφ5φe1φe5,где A, B – произвольные коэффициенты, зависящие от медленных переменных какот параметров за счёт F, первые два слагаемых являются решением однородной системы, и φej , j = 1, 5, обозначает частное решение неоднородной системы, котороев общем случае не принадлежит к классу M. Это решение гладкое на интервалах,где параметры ε, µ гладкие. Во внутренних точках разрывов параметров решениепродолжается по непрерывности.
Однако в конце периода его значение может отличаться от значения в начале периода со скачком в ([φ1 ]0 , [φ5 ]0 )t . Рассмотрим сле-120дующее выражение:XϕXAφ=Aϕ,φ+ E0 (0) [φ5 ]0 + H0 (0) [φ1 ]0∗∗ ∗∗,F= 0,= E0 (0) [φ5 ]0 + H0 (0) [φ1 ]0 = ϕX∗где[φ1 ]0[φe1 ]0(433) = 1 B UH.+ (b; pz∗ , 0, ω∗ ) +λ[φ5 ]0[φe5 ]0(434)e1 , φe5 частного решения в конце периода может бытьСкачок одной из компонент φскомпенсирован соответствующим выбором коэффициента B при непериодическомрешении однородного уравнения.
Второй скачок равен нулю за счёт (433), еслиH0 (0; p∗ ) 6= 0, E0 (0; p∗ ) 6= 0. В этом случае построенное решение задачи A∗ φ = Fпринадлежит классу M, и лемма доказана. Если E0 (0; p∗ ) или H0 (0; p∗ ) равны нулю, мы будем брать начало периода среды в другой точке.121Список литературы[1] Hernandez-Figueroa H. E., Zamboni-Rached M., Recami E. (eds.) LocalizedWaves. Wiley, 2008.[2] Hernandez-Figueroa H. E., Zamboni-Rached M., Recami E.
(eds.) Nondiffracting Waves. Wiley, 2013.[3] Бабич В. М., Панкратова Т. Ф. О разрывах функции Грина смешанной задачидля волнового уравнения с переменным коэффициентом // Проблемы математической физики. Вып. 6. Л.: Изд-во ЛГУ. 1973. С. 9-27.[4] Popov М. М. A new method of computation of wave fields using Gaussian beams// Wave Motion. Vol. 4.
1982. P. 85–97[5] Бабич В. М., Попов М. М. Метод суммирования гауссовых пучков (обзор) //Известия высших учебных заведений, сер. Радиофизика. 1989. Т. 32. № 12.С. 1447–1446[6] Heyman E., Felsen L. B. Gaussian beam and pulsed-beam dynamics:complex-source and complex-spectrum formulations within and beyond paraxialasymptotics // Journal of the Optical Society of America A. 2001. Vol. 18, iss. 7.P. 1588–1611[7] Steinberg B. Z., Heyman E., Felsen L.B.
Phase space beam summation fortime-harmonic radiation from large apertures // Journal of the Optical Societyof America A. 1991. Vol.8. P. 41–59[8] Kaiser G. A Friendly Guide to Wavelets. Boston: Birkhäuser. 1994[9] Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia: SIAM. 1992.122[10] Antoine J.-P., Murenzi R., Vandergheynst P., Ali S. T. Two-dimensional waveletsand their relatives. Cambridge: Cambridge University Press. 2004[11] Mallat S. G. A Wavelet Tour of Signal Processing. 2nd edn.
San Diego:Academic Press. 1999.[12] Joannopoulos J. D., Johnson S. G., Winn J. N., Meade R. D. Photonic Crystals.Molding the Flow of Light. Princeton: Princeton University Press. 2008.[13] Feng S., Elson J. M., Overfelt P. L. Optical Properties of multilayer metaldielectric nanofilms with all-evanescent modes // Optics Express. 2005. Vol. 13iss. 11. P. 4113[14] Pochi Yeh. Optical Waves in Layered Media. Wiley, 2005[15] Longhi S. Localized and nonspreading spatiotemporal Wannier wave packets inphotonic crystals // Physics Review E.
2005. Vol. 71. P. 016603[16] Perel M. V., Sidorenko M. S. Wavelet Analysis in Solving the Cauchy Problemfor the Wave Equation in Three-Dimensional Space // Mathematical andnumerical aspects of wave propagation: Waves 2003. eds. G. C. Cohen, E.Heikkola, P. Jolly, P. Neittaanmaki.
2003. Springer-Verlag, P. 794–798[17] Perel M. V., Sidorenko M. S. Wavelet analysis for the solution of the waveequation //Proc. of the Int. Conf. DAYS on DIFFRACTION 2006. Ed. I.V.Andronov. 2006. SPbU. 208–217[18] Perel M. V., Sidorenko M. S. Wavelet-based integral representation for solutionsof the wave equation // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical.2009. Vol.
40. P. 3441–3461123[19] Sidorenko M. S. Wavelet analysis for an electromagnetic field // ElectromagneticTheory (EMTS) 2010, URSI International Symposium on. 2010. Berlin. P. 513–514[20] Perel M. V., Sidorenko M. S., Gorodnitsky E. A. Time evolution of thewavelettransform of the acoustic field.
// Proc. of the Int. Conf. DAYS onDIFFRACTION 2008. Ed. I. V. Andronov. 2008. SPbU. P. 147–152[21] Perel M. V., Sidorenko M. S., Gorodnitsky E. A. Multiscale Investigationof Solutions of the Wave Equation. // Integral Methods in Science andEngineering. Vol. 2: Computational Methods.
Ed. C. Constanda, M. E. Perez.2010. Birkhauser. P. 291–300,[22] Perel M. V., Sidorenko M. S. New physical wavelet ‘Gaussian wave packet’ //Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2007. Vol. 40. P. 3441–3461[23] Kiselev A. P., Perel M. V. Gaussian wave packets // Optics and Spectroscopy.1999. Vol. 86, iss. 3. P. 307-–309[24] Ziolkowski R. W. Localized transmission of electromagnetic energy // PhysicsReview A. 1989. Vol.
39. P. 2005–2033[25] Besieris I. M., Shaarawi A. M., Ziolkowski R. W. A bidirectional traveling planewave representation of exact solutions of the scalar wave equation // Journal ofMathematical Physics. 1989. Vol. 30. P. 1254–1269[26] Perel M. V., Sidorenko M. S.
Effects associated with a saddle point of thedispersion surface of a photonic crystal // Proc. of the Int. Conf.DAYS onDIFFRACTION 2011. Ed. I. V. Andronov. 2011. SPbU. P. 145–148[27] Perel M. V., Sidorenko M. S. Analytic approach to the directed diffraction in a124one-dimensional photonic crystal slab // Physics Review B.
2012. Vol. 86, iss. 3.P. 035119[28] Perel M. V., Sidorenko M. S. Two-Scale Approach to an Asymptotic Solutionof Maxwell Equations in Layered Periodic Medium. Preprint arXiv:1511.00115[math-ph]. 2015.[29] Grossmann A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into squareintegrable wavelets of constant shape // SIAM Journal on MathematicalAnalysis.
1984. Vol. 15. P. 723–736[30] Van den Berg J. C. (ed.). Wavelets in Physics. Cambridge: Cambridge UniversityPress. 1999[31] Сидоренко М. С. Применение методов вейвлет-анализа к решению некоторых гиперболических уравнений: Диссертация на соискание степени магистрафизики.
Рукопись. 2007.[32] Dahmen W. Wavelet methods for PDEs - some recent developments // Journalof Computational and Applied Mathematics. 2001. Vol. 128. P. 133–185[33] Bateman H. The conformal transformations of space of four dimensions and theirapplications to geometrical optics // Proceedings of the London MathematicalSociety. 1909. Vol. 7. P.
70–89[34] Bateman H. The Mathematical Analysis of Electrical and Optical Wave Motionon the Basis of Maxwell’s Equations. New York:Dover, 1955[35] Hillion P. Generalized phases and nondispersive waves // Acta AppliedMathematics. 1993. Vol. 30, iss. 1. P. 35-45125[36] Kiselev A.
P. Localized light waves: Paraxial and exact solutions of the waveequation (a review) // Optics and Spectroscopy. 2007. Vol. 102, iss. 4. P. 603622[37] Bialynicki-Birula Iwo. Exponential Localization of Photons // Physics ReviewLetters. 1998. Vol. 80, iss. 24. P. 5247–5250[38] Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.
Москва: Государственное издательство физико-математической литературы. 1963[39] Abramovitz M., Stegan I. A. (eds.) Handbook of Mathematical Functions. NewYork: Dover. 1970[40] Kiselev A. P. Modulated Gaussian beams // Radiophysics and QuantumElectronics. 1983. Vol. 26, iss. 5. P. 755–761[41] Brittingham J. Focus waves modes in homogeneous Maxwell’s equations:transverse electric mode. // Journal of Applied Physics. 1983. Vol.54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
