Диссертация (1150566), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. . , xn ), имеет видr(ps)ν Kν (ps)2√√√,ψ(r, t) =π x1 + ct − iε2 x1 + ct − iε3 · . . . · x1 + ct − iεnpгде p, γ, ε2 , . . . , εn – положительные параметры, функция s = 1 − iθ/γ,θ = x1 − ct +x22x23x2n++ ... +.x1 + ct − iε2 x1 + ct − iε3x1 + ct − iεn(245)(246)Если t – время, функция ψ(r) удовлетворяет волновому уравнениюψtt − c2 (ψx1 x1 + ψx2 x2 + .

. . + ψxn xn ) = 0,c = const.(247)Если ν = 1/2, формула (245) превращается в точное решение (247), найденное в[45]:pexp −p 1 − iθ/γ√√.ψ(r, t) = √x1 + ct − iε2 x1 + ct − iε3 · . . . · x1 + ct − iεn(248)Точное решение (245) было упомянуто в [43]. Гауссов пакет в многомерном случае,как и в двумерном, может быть представлен как интеграл от многомерных гауссоbвых пучков с функцией φ(q).Многомерный гауссов пучок имеет видψ(r, t) = √x1 + ct − iε2√exp [iqθ(r, t)]√,x1 + ct − iε3 · . . . · x1 + ct − iεn(249)где θ теперь определяется формулой (246). Фурье-преобразование многомерногогауссова пакета вычисляется аналогично Фурье-преобразованию двумерного пакета (193-200).

Основное отличие заключается в том, что вместо одного множителя Iy (q, x) в формуле (194) возникает n − 1 сомножителей Ix2 , Ix3 , ·, Ixn , каждыйиз которых получается заменой y на xk и x на x1 в формуле (194). Таким образом,преобразование Фурье n-мерного гауссова пучка приобретёт видk+|k|1ψbbeam (q; k, t) = B(k, t) δ q −,277(250)k22 ε2 + k32 ε3 + . . . + kn2 εnB(k, t) = 2π exp −i|k|ct −×2(|k| + k1 )(n−1)/2|k| + k1 i(n−1)π/42πe×.2|k||k| + k1(251)Так как многомерный гауссов пакет порождается тем же прокси-вейвлетом (217),что и двумерный, Фурье-преобразование n-мерного гауссова пакета (245) получается по формулам (216-220) и имеет вид:i−1p2ν hν+(n−1)/2bψ(k, t) = an ν |k|(|k| + k1 )×γk22 ε2 + k32 ε3 + .

. . + kn2 εn2κ 2 γ|k| + k1× exp −γ−−− i|k|ct ,(252)22(|k| + k1 )|k| + k1гдеp(253)an = (2π)n/2 eiπ(n−1)/4 ,κ= .2γОсесимметричный вейвлет получается из (245), (246), если ε2 = ε3 = . . . = εn ≡ε. Он имеет вид:r2(ps)ν Kν (ps).(254)ψ(r, t) =π (x1 + ct − iε)(n−1)/2Его Фурье-преобразование имеет видi−1p2ν hν+(n−1)/2bψ(k, t) = an ν |k|(|k| + k1 )×γγε2κ 2 γ× exp −(|k| + k1 ) − (|k| − k1 ) −− i|k|ct .(255)22 |k| + k1Все свойства решения (204) переносятся и на решение (245) с незначительнымипоправками, т.

е. этот физический вейвлет является гладким и обладает нулевымимоментами любого порядка при фиксированном времени. То же самое верно и дляего производных любого порядка по пространственным переменным и по времениt. Модуль функции (245) имеет максимум в точке x1 = ct, xj = 0, j = 2, .

. . , n.Вейвлет обладает следующей асимптотикой при p → ∞:κ(x1 − ct)2ψ(r, t) = ψbeam (κ; r, t) exp −C 1 + O p−3α+1 ,4γ78(256)где κ = p/(2γ) и ψbeam – нестационарный n-мерный гауссов пучок (249), котораяравномерна в областиx1 − ct=Oγ1pα,xj=O√γεj1pα,j = 2, 3, ..., n,(257)и 1/3 ≤ α ≤ 1/2. Если параметры 2ct/εj , p−α γ/εj , j = 2, .., n, малы, асимптотикапревращается в многомерный вейвлет Морлеx22x2n(x1 − ct)2− 2 ...

− 2 ×ψ(r, t) ∼ exp iκ(x1 − ct) −2σ122σ22σn×C,(−iε2 )1/2 (−iε3 )1/2 . . . (−iεn )1/2(258)где σ12 = 4γ 2 /p, σ22 = γε2 /p, ... σn2 = γεn /p.2.3.8Несимметричные физические вейвлеты как поля точечных источниковВ данной части работы мы приводим способ представления семейства решений(192) в виде суммы полей точечных источников с прокси-вейвлетами. Сначала рассмотрим два волновых уравнения с движущимися δ-источниками в правых частях(решения u± не следует путать с решениями u± из главы 1):2 ±±u±τ (q, t)δ(x + ct) δ(y),tt − c (uxx + uyy ) = ±e√τe(q, t) = A q exp(−2iqct),√A = −e−iπ/4 4 πc2 .(259)Уравнение, например, для u+ может быть решено, если мы будем искать решение ввидеu+ (x, y, t) = exp(iqα)g(β, y),α = x − ct,β = x + ct.(260)Это дает уравнение Шредингера на функцию g(β, y):√√4iqgβ + gyy = −4 πe−iπ/4 qδ(β)δ(y).79(261)Решение этого уравнения хорошо известно как фундаментальное решение уравнения Шредингера.

Таким образом, мы получаем 2yΘ(x+ct)exp iq x − ct +u+ (r, t) = √,x + ctx + ct(262)где Θ – функция Хевисайда. Это решение можно рассматривать как поле точечногоисточника, движущегося в отрицательном направлении вдоль оси x со скоростьюc и излучающего элементарный импульс τe(q, t). Решение обращается в нуль передисточником, т. е. при x < −ct, и поэтому мы называем его запаздывающим. Обозначим обгоняющее решение, которое равно нулю позади движущейся точки, какu− .

Оно имеет вид 2Θ(−x−ct)yu− (r, t) = √.exp iq x − ct +x + ctx + ct(263)Это решение можно рассматривать как поле, поглощенное источником, движущимся в отрицательном направлении вдоль оси x со скоростью c и излучающимимпульс −eτ (t). Функцию τe(t) назовём прокси-вейвлетом.Отметим, что u = u+ + u− – решение уравнения без источников, т. е. оно удовлетворяет однородному волновому уравнению, так как Θ(x + ct) + Θ(−x − ct) = 1.Однако оно имеет особенность в точке x = −ct. Чтобы избавиться от неё, сдвинемx на −iε/2, ε > 0 и t на −iε/(2c) в комплексную плоскость, в результате получимнестационарный гауссов пучок (227): 1y2ψbeam (q; r, t) = √exp iq x − ct +.x + ct − iεx + ct − iε(264)√ √Таким образом, мы выяснили, что прокси-вейвлет τe(q, t) = −e−iπ/4 4 πc2 qexp(−2iqct) порождает нестационарный гауссов пучок.

Как было отмечено выше,семейство решений (192) образуется при помощи интеграла по гауссовым пучкамbпо q с весовой функцией φ(q).Из линейности волнового уравнения следует, чтотакое же семейство может быть получено как поле пары точечных комплексных80источников с прокси-вейвлетом, задаваемым формулойZ+∞bΦ(t) =dq τe(q, t) φ(q).(265)0Например, чтобы получить гауссов пакет, надо взять прокси-вейвлет равнымΦ(t) ≡ B σ ν−1/2 Kν−1/2 (σ),(266)гдеσ = 2κγ(1 + 2ict/γ)1/2 ,81pB = −4c2 e−iπ/4 √ .γ(267)3Двухмасштабная асимптотика поля в слоистой периодической средеВ данной главе мы рассматриваем нетривиальный пример неоднородной среды,в которой при определенных условиях электромагнитное монохроматическое поле описывается гиперболическим уравнением c постоянными коэффициентами.

Кизучению поведения поля в такой среде могут быть применены результаты, опирающиеся на вейвлет-анализ, полученные в предыдущих главах. Все рассмотрения внастоящей главе проводятся методом двухмасштабных асимптотических разложений. Предсказан физический эффект, который был подтвержден численным экспериментом.3.1Постановка задачиМонохроматическое электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям МаксвеллаrotE = ikµH,rotH = −ikεE,где ε(z+b) = ε(z), µ(z+b) = µ(z), ε и µ – кусочно-гладкие.

Важный с практическойточки зрения случай – среда, состоящая из чередующихся слоёв диэлектрика.Мы ищем решения в рамках следующих предположений. Первое предположение - о параметрах задачи. Уравнения Максвелла содержат два параметра размерности длины: длина волны λ = 2π/k и период среды b. Мы ищем локализованныерешения уравнений Максвелла и вводим третий параметр размерности длины L,который характеризует размер области на плоскости (x, y), в которой локализовано поле. Предполагается, что параметр χ = b/L является малым параметром:χ = b/L 1.82(268)Второе предположение касается частоты монохроматического поля ω.

Чтобысформулировать это предположение, нам необходимы некоторые понятия: квазиимпульс p, дисперсионная поверхность ω = ω(p), решения Флоке-Блоха. Мы определим и детально обсудим эти понятия в следующих разделах. Мы предполагаем,что частота ω близка к частоте стационарной точки дисперсионной поверхности ω∗ :ω = ω∗ + χ2 δω,∇ω|p∗ = 0,δω ∼ 1,(269)(270)ω∗ = ω(p∗ ).Далее будет показано, что стационарные точки могут быть минимумами или седловыми точками. Позже будет введено ещё одно дополнительное условие.3.2Матричная форма уравнений МаксвеллаПредставим уравнения Максвелла в матричной форме – для краткости записи иудобства построения асимптотик в дальнейшем:b · ∇Ψ,kPΨ = −iΓΨ=E(271),Hb · ∇ ≡ Γ1 ∂ + Γ2 ∂ + Γ3 ∂ ,Γ∂x∂y∂z(272)гдеP=εI00 µI , Γ1 = 0 0 0γ1 =  0 0 1  ,0 −1 00γ1−γ1 0 , Γ2 = − 0 0 1γ2 =  0 0 0  ,−1 0 0830γ2−γ2 0 , Γ3 = 0γ3−γ3 0,0 1 0γ3 =  −1 0 0  .0 0 0(273)Введём два типа скалярных произведений.

Пусть v(z) и w(z) – шестикомпонентные комплекснозначные вектор-функции; тогда< v, w >=6Xv j wj ,j = 1, . . . 6,(274)j=1где черта сверху означает комплексное сопряжение. Если v и w – периодические спериодом b и кусочно-гладкие, определим (v, w) следующим образом:Zb(v, w) =(275)< v(z), w(z) > dz.0Среднее по времени значение вектора Умова-Пойтинга для монохроматическогополя частоты ω, т. е. поток энергии поля, усреднённый по периоду T = 2π/ω, можетбыть найден по формуле:1s = Re E × H.2(276)Нетрудно проверить, чтоZb< Ψ, Γj Ψ >= 4sj ,j = 1, 2, 3;(Ψ, Γj Ψ) = 2Re E × H j dz.(277)0Плотность электромагнитной энергии, усреднённая по времени, в случае вещественных ε и µ имеет видεµu = |E|2 + |H|2 .44(278)Отметим, чтоZb< Ψ, PΨ >= 4u,(Ψ, PΨ) =084(ε|E|2 + µ|H|2 )dz.(279)3.3Решения Флоке-Блоха и дисперсионное соотношениеТак как свойства среды не зависят от x, y, будем искать частные решения системы(271) в видеΨB (x, y, z; p) = ei(px x+py y) Φ(z; p),Φ=EH,(280)где параметры px , py – поперечные компоненты волнового вектора.

Компонентывектор-функции Φ(z; p) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами:kPΦ + iΓ3∂Φ= px Γ1 Φ + py Γ2 Φ.∂z(281)Мы собираемся получить решения Флоке-Блоха этой системы. Однако имеютсясложности, связанные с векторной природой задачи. Хорошо известно (см., напр.,[46]), что при помощи подходящего выбора системы координат можно разделитьсистему (281) на две независимых подсистемы.

Эти подсистемы описывают волны двух типов поляризации: поперечной электрической и поперечной магнитной,которые мы называем TE и TM волнами соответственно. Назовём координаты, вкоторых такое разделение возможно, естественными координатами.3.3.1Два типа решений Флоке-Блоха в естественных координатахЧтобы определить тип решения, мы должны уточнить, какая компонента поля является поперечной к плоскости распространения – электрическая или магнитная.Плоскость распространения проходит через поперечный волновой вектор (px , py ) иось z.

Чтобы найти TE и TM моды, удобно повернуть оси в плоскости xy на угол γ,qтак что в новых координатах pey = 0, pex ≡ pk = p2x + p2y . Обозначим поля в повернутых координатах тильдой и назовём эту систему координат естественной. Поля85типа TE и TM примут вид:eE =Φ0, E⊥ , 0, Hk , 0,pkkµ E⊥t,eH =ΦpEk , 0, − kεk H⊥ , 0, H⊥ , 0t.(282)Система уравнений (281) в таких координатах распадается на две подсистемы:!22∂H⊥kεµ−p∂Hkki= −kεEk ,i=E⊥ ,∂zkµ ∂z(283)!22kεµ−p∂EkkH⊥ , i ∂E⊥ = kµH . i ∂z = −kεk∂zВ особом случае pk = 0, разбиение волн на волны TM и TE типа не имеет смысла,и обе системы сводятся к одной:idE0= −kµH0 ;dzidH0= −kεE0 ,dz(284)где Ek |pk =0 = E0 , H⊥ |pk =0 = H0 и E⊥ |pk =0 = −E0 , Hk |pk =0 = H0 . Мы вводим новоеобозначение для вектор-функций, полученных предельным переходом по параметe E, Φe H:ру pk → 0 из Φe E |p →0 →ΦkΦX ,e H |p →0 →ΦkΦY ,(285)гдеΦX = (E0 , 0, 0, 0, H0 , 0)t ,ΦY = (0, −E0 , 0, H0 , 0, 0)t .(286)Верхний индекс X означает, что у вектор-функции отлична от нуля первая компонента электрического поля, а индекс Y – что вторая.Полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений (283), (284)для Ek , H⊥ и E⊥ ,Hk , а также для E0 и H0 , соответственно – системы с кусочногладкими периодическими коэффициентами, так как ε и µ – кусочно-гладкие.

Характеристики

Список файлов диссертации