Диссертация (1150566), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Рассмотрим окрестность точки x = ct, y = 0 порядка x − ct1y1=O,=O,1/3 < α < 1/2.√γpαεγpα(225)Ниже мы покажем, что вейвлет ψ(r) имеет асимптотику в этой окрестности приp → ∞. Асимптотика имеет видκ(x − ct)2ψ(r, t) = ψbeam (κ; r, t) exp −C 1 + O p−3α+14γ(226)где κ = p/(2γ) и ψbeam – нестационарный гауссов пучокexp (i κ θ)ψbeam (κ; r, t) = √,x + ct − iε70(227)C = pν−1/2 exp (−p).(228)Чтобы доказать формулу (226), мы разложим s (205) по степеням θ/γ, которыеимеют порядок O(p−α ) из-за соотношения (225) и неравенства y 2 /(x + ct − iε) ≤y 2 /ε.

Получаемpθ2θs = 1 − iθ/γ = 1 − i + 2 + E1 ,2γ 8γE1 = O1.p3α(229)Подставим (229) в (214), раскрывая выражение для θ (206) и квадратичный член(x − ct)2+ E2 ,8γ 2(x − ct)y 2y4E2 = 2 2+,8γ [(x + ct) − iε] 8γ 2 [(x + ct) − iε]2 1.E2 = Op3αθ2 /(8γ 2 ) =(230)(231)(232)Отсюда видно, чтоexp[−p(E1 + E2 )] = 1 + O(p−3α+1 ).(233)Отметим также, что множитель sν функции Макдональда в формуле (204) оценивается как sν = 1 + O(p−α ) и O(p−α ) = O(p−3α+1 ), так как мы ограничили α интервалом (1/3, 1/2).

Напомним, что κ = p/(2γ). Таким образом, асимптотика (226)доказана.√Теперь обсудим формулу (226). Интервалы изменения (x − ct)/γ и y/ εγ малыпо сравнению с единицей за счёт (225). Тем не менее они достаточно велики, чтобыфункция ψ(r, t) экспоненциально убывала на границах этих интервалов, так как мысохранили в разложении s, в экспоненте члены порядка O(p−2α+1 ). Они стремятсяк бесконечности при p → ∞ за счёт нашего выбора α < 1/2.Асимптотика (226) выражена в терминах поля нестационарного гауссова пучка ψbeam (κ; r, t) [41]. Если t – время, ψbeam (κ; r, t) – точное решение волновогоуравнения (207) с бесконечной энергией.

Оно локализовано вблизи оси ox, так как71Re(iκθ) = −κεy 2 /[(x + ct)2 + ε2 ]. Формула (226) даёт гауссов пучок (227), умноженный на срезающую функцию exp[−κ(x − ct)2 /(4γ)]. Чем больше γ, тем болеедлинным становится значимый носитель функции ψ и тем ближе она приближаетгауссов пучок (227).2.3.5Асимптотическая связь гауссова пакета и вейвлета МорлеФормула (226) допускает дополнительное упрощение, если γ ≤ ε и 2ct/ε = O(p−α ).С учетом оценок (225) и разложенияpy2py2==γ x + ct − iεγ −iε [1 + i(x − ct)/ε + 2ict/ε]γγ (x − ct)cty2y2−3α+11−i− 2i + . . . = ip + Op+ O p−3α+1= ipεγεγεεγεасимптотическая формула (226) принимает видy2 C(x − ct)2−3α+1−1+O(p),ψ(r, t) =expiκ(x−ct)−2σx22σy2(−iε)1/2(234)гдеσx2 = 4γ 2 /p,σy2 = γε/(2p),(235)C постоянный множитель, см. (228).

Здесь учтено, что p = 2κγ, см. (218).Это – вейвлет Морле [9, 10] с центром в точке x = ct, y = 0. Численный значимый носитель вейвлета, т.е. точки на плоскости (x, y), где ψ(r, t) не является пренебрежимо малым с точки зрения численных расчётов, образует эллипс с полуосями,pпропорциональными σx /2, σy /2. Отношение σx /σy = 2 γ/ε определяет его асимметрию. Отметим, что в отличие от вейвлета Морле вейвлет ψ обладает нулевымсредним и нулевыми моментами любого порядка.Другая асимптотическая формула может быть получена из формулы (226), если γ ≤ ε и ct/ε ≤ 1, но не обязательно мало.

Эта асимптотика была найдена и72исследована в [42] с дополнительным условием γ = ε. Она имеет вид(x − ct)2 y 22ctκ y 2Cψ(r, t) ∼ exp iκ(x − ct) −,− 2 +i 2 222σxσey4c t + ε 2ct − iε(236)где σx2 то же, что и в (234), и определяется формулой (235). Ширина пакета вдольоси oy – функция времени t, и она имеет вид σey2 = σy2 (1 + 4c2 t2 /ε2 ). Постоянныймножитель C определен в (228).Эта асимптотика получена с использованием (229) при помощи разложения1/(x + ct − iε), входящего в θ и в предэкспоненциальный множитель в (214), постепеням x − ct111==x + ct − iε 2ct − iε + (x − ct) 2ct − iεx − ct1−+ ... .2ct − iε(237)Были приняты во внимание члены, содержащие квадраты от x − ct и y.2.3.6Соотношение неопределенности и направленные свойстваВ этом разделе мы обсудим численные свойства гауссова пакета, важные с точкизрения возможного дальнейшего применения этого нового физического вейвлета.Рассмотрим вейвлет как в асимптотическом, так и в неасимптотическом случаях.Обозначим норму ψ в L2 (R2 ) через как kψk:1/2Zkψk2 =  d2 r |ψ(r, t)|2  .(238)R2Определим центр и ширину функции ψ(r, t):ZZ1122x=d r x |ψ(r, t)| ,y=d2 r y |ψ(r, t)|2 ,22kψkkψkR2R273(239)1/2Z1 ∆x =d2 r (x − x)2 |ψ(r, t)|2  ,kψkR21/2∆y =1 kψkZd2 r (y − y)2 |ψ(r, t)|2 .(240)R2Используя эти формулы, мы также можем вычислить центр и ширину Фурье-преb t).

Полагаем, что значимый носиобразования функции ψ, заменив ψ(r, t) на ψ(k,тель вейвлета, т.е. те точки на плоскости (x, y), где функцией ψ(r, t) нельзя пренебречь в численных расчетах, представляет собой эллипс с полуосями ∆x и ∆y.b t) – эллипс с полуосями ∆kx иЗначимый носитель Фурье-преобразования ψ(k,∆ky с центром в точке k = (kx , 0) (см. рис.

3). Ширина ∆x, ∆kx и ∆y, ∆ky удовлетворяет соотношению неопределённости Гейзенберга, которое верно для любойфункции ψ:11∆x ∆kx ≥ , ∆y ∆ky ≥ .22(241)Равенство выполняется только для вейвлета Морле (см., напр., [10]) который, всвою очередь, является асимптотикой для решения (204).Цель данного раздела – изучить зависимость ширины и центра вейвлета ψ отего параметров.

Вводя безразмерные координаты x00 = x/ε, y 00 = y/ε и время t00 =t/ε, перепишем вейвлет (204) в терминах двух параметров p и ε/γ :ψ(r 00 , t)(ps)ν Kν (ps)√= √ 00,εx + ct00 − i1/2002εys= 1−ix00 − ct00 + 00.γx + ct00 − i(242)Когда p велико, параметр p и отношение ε/γ могут быть проинтерпретированы сиспользованием ширины вейвлета Морле (234), которая обозначена как σx , σy , исреднего продольной пространственной частоты его Фурье-преобразования, обозначенной κ.

Отношение ε/γ = σy /σx характеризует фигуру значимого носителя74√вейвлета, произведение κσx = p – количество длин волн на ширине ∆x, произpведение κσy = κε/2 – количество длин волн на ширине ∆y.Мы численно получили ширину вейвлета (204), его Фурье-преобразования ивыражение в левой части соотношений неопределенности (241) как функции отp = 2κγ в двух случаях. В первом случае параметр κ меняется, а параметры ε и γзафиксированы. Когда p велико, это может быть проинтерпретировано следующимобразом: форма значимого носителя вейвлета Морле не изменяется, а число длинволн, укладывающихся по поперечному и продольному направлениям, увеличиваются с ростом κ. Результат представлен на рис.

4, 8. Во втором случае меняетсяγ, а ε и κ зафиксированы. Для больших p это означает, что число длин волн в поперечном направлении фиксировано, а продольная длина увеличивается с ростомγ. Результаты представлены на рисунках 7, 9. Во всех случаях число длин волн на√√ширине ∆x, т. е. p, отложено на горизонтальной оси. Параметр p определяетасимптотическое поведение нового вейвлета, поскольку поправочный член в (234)√порядка O(1/ p), когда α = 1/2.

С точки зрения сравнения ширины с асимптотикой относительная ширина, т. е., ∆x /σx и подобные, отложена на вертикальныхосях и представлена на рисунках 4, 7.Рисунок 4 показывает, что ширина стремятся к своей асимптотике при√p→∞и при фиксированном ε/γ. Ширина вейвлетов в пространственных координатахбольше, чем её асимптотика σx , σy (рисунок 4). Ширина вейвлетов в пространственных частотах ∆kx , ∆ky может быть как меньше, так и больше, чем ширинавейвлета Морле σkx = 1/(2σx ), σky = 1/(2σy ) (рисунок 5).

Чем больше параметрε/γ, тем ближе к насыщению соотношение неопределённости Гейзенберга (рисунок 8) и тем меньше ∆y/σy (рисунок 4) и ∆kx /σkx (рисунок 5). Однако, ∆x/σx и∆ky /σky увеличиваются с ростом ε/γ.Чтобы проинтерпретировать рисунок 7, 9, отметим, что скорость приближения вейвлета к его Морле-асимптотике определяется членами порядка p−α γ/ε =75(2κ)−α γ 1−α /ε, которые должны быть малы. Однако эти члены увеличиваются с ростом параметра γ, если параметры ε и κ зафиксированы.Вейвлет называется направленным (см. [10] за более детальным описанием),если значимый носитель его Фурье-преобразования лежит в выпуклом конусе впространстве k с вершиной, совпадающей с началом координат и углом α (рисунок3). Используя асимптотическую формулу (234), можно показать, что гауссов пакет является направленным вейвлетом при достаточно больших p.

Это следует из√равенства kx = κ = p/(2γ), ∆kx = p/(4γ) при p → ∞, параметры γ и ε фиксированы. Тогда неравенство kx > ∆kx выполняется, следовательно, начало координатне попадает в эллипс.Если вейвлет является направленным, мы можем вычислить масштабную разрешающую способность (SRP) и угловую разрешающую способность (ARP). Этивеличины особенно важны для численных расчетов, в основном при определенииминимальной решетки дискретизации для восстановления изображения без потерь(см. [10, 44]). Разрешающая способность определяется выражениямиSRP(ψ) =kx + ∆kxkx − ∆kxqAPR(ψ) = 2 arcctgkx2(243)− (∆kx )2= α.(244)∆kyПо мере того как SRP стремится к 1 и ARP к 0, вейвлет становится более чувствительным к малым деталям и к угловым деталям анализируемых данных [10].

Зависимости SRP и ARP были вычислены с использованием MATLAB и представленына рис. 10 и 11 для меняющихся параметров κ и γ соответственно.2.3.7Гауссов пакет в многомерном пространствеРешение вида (204) существует и для числа пространственных переменных, большего двух. В случае n пространственных переменных решение ψ(r, t), r = (x1 , x2 , x3 ,76.

Характеристики

Список файлов диссертации