Диссертация (1150566), страница 6
Текст из файла (страница 6)
т.е.,1hf, gi =CϕZ∞0daa3Zd2 b F (a, b) G(a, b).(77)R2Приведём доказательство этого факта. Пусть k = |k|, p = |p|. Рассмотрим следующее выражение:Zd2 b F (a, b) G(a, b) =R2Z=R21d 2 b a2 (2π)2Z ×d2 k exp(ik · b) fb(k) ϕ(ak)bR2361× (2π)2Z.d2 p exp(ip · b) gb(p) ϕ(ap)b(78)R2Каждый интеграл в круглых скобках представляет собой обратное преобразованиеФурье, взятое в точке b. Затем произведение этих двух функций b интегрируется повсему пространству R2 .
Благодаря свойству унитарности преобразования Фурье,мы можем переписать выражение (78) следующим образом:ZZ1222bd2 b F (a, b) G(a, b) =dkaf(k)gb(k)|ϕ(ak)|b.(2π)2R2(79)R2Проинтегрировав по a, получаемZ∞0daa3ZZ1d2 b F (a, b) G(a, b) =(2π)2R2d2 k fb(k) gb(k)Z∞2da a−1 |ϕ(ak)|b.(80)0R2Замена порядка интегрирования в последнем выражении допускается теоремой Фубини при условии, что ϕ удовлетворяет условию допустимости (74) и интеграл дляскалярного произведения hf, gi сходится абсолютно.
Далее рассмотрим интеграл:Z∞2da a−1 |ϕ(ak)|b=0Z∞2d(ak) (ak)−1 |ϕ(ak)|b= Cϕ .(81)0Тогда мы можем написать1CϕZ∞0daa3Z1d b F (a, b) G(a, b) =(2π)22R2Zd2 k fb(k) gb(k) = hf, gi.(82)R2Утверждение доказано.Также можно записать формулу восстановления:1f (r) =CϕZ+∞0daa3Zd2 b F (a, b) ϕa,b (r),R237(83)которая выполняется в слабом смысле для ∀f ∈ L2 (R2 ) и поточечно для болееузкого класса исследуемых функций f .Все основные свойства вейвлет-анализа, перечисленные в предыдущем параграфе, также верны и для рассматриваемого случая. Вейвлет-преобразование|F (a, b)| характеризует вклад волны с |k| ∼ 1/a в разложение Фурье функции f ,умноженной на оконную функцию, выделяющую окрестность точки b.
Информация о направлении вектора k теряется.Общий случайСнова рассматриваем пространство L2 (R2 ). Теперь выберем в качестве материнского вейвлета функцию ϕ из этого пространства, которая зависит от x и от y иудовлетворяет следующему условию допустимости:Z2b2 |ϕ(k)|Cϕ ≡ d k< ∞.|k|2(84)R2Для построения семейства вейвлетов воспользуемся, помимо преобразований сдвига и масштабирования, поворотом материнского вейвлета ϕ, который определяетсяуглом, β ∈ [0, 2π). Матрица поворота Mβ имеет вид:cos β − sin β.Mβ = sin β cos βТогда семейство вейвлетов будет явно задаваться формулой1a,b,β−1 r − bϕ(r) = ϕ Mβ,aaa > 0, b ∈ R2 , β ∈ [0, 2π).(85)(86)Множитель a перед функцией вводится для сохранения её L2 (R2 )-нормы. Вейвлетпреобразование функции f ∈ L2 (R2 ) определяется взятием скалярного произведе38ния f с ϕa,b,β :Z1F (a, b, β) ≡ hf, ϕa,b,β i =ar−bd2 r f (r) ϕ M−1.βa(87)R2Теперь вейвлет-коэффициенты F функции f – это функция уже четырёх переменных.
Такое вейвлет-преобразование также является изометрией из L2 (R2 ) в пространство W, в котором скалярное произведение в W определяется по формулеZ∞Z2πhF, GiW =dβ0daa30Zd2 b F (a, b, β) G(a, b, β),(88)R2см. [10], [9]. Соотношение изометрии имеет вид:1hF, GiW = hf, gi.Cϕ(89)Докажем это тождество. Для этого рассмотрим выражениеZd2 b F (a, b, β) G(a, b, β) =(90)R2По аналогии с формулами (78 - 79) получаемZ21−1 22b=bd k a f (k) gb(k) ϕ(aMβ k) .(2π)2(91)R2Интегрируя обе части последнего равенства по a и по углу, получаемZ2πZ+∞dβ01=(2π)20Z2daa3Zd2 b F (a, b, β) G(a, b, β) =R2d k fb(k) gb(k)R2Z∞Z2πdβ0da a−12−1 bϕ(aMβ k) .(92)0Замена порядка интегрирования в последнем выражении возможна по теореме Фубини при условии, что материнский вейвлет ϕ удовлетворяет условию допустимости39(84) и интеграл для скалярного произведения hf, gi сходится абсолютно. Рассмотрим интеграл:Z∞Z2πdβda a0−12−1 bϕ(aMβ k) =(93)0обозначим k = k l, |l| = 1 и введём новую переменную интегрирования ζ = akвместо a:Z∞Z2π=dβdζ ζ02−1 bϕ(ζMβ l)ζ2.(94)0Этот двойной интеграл может быть рассмотрен как интеграл по всему пространствуR2 , взятый в полярной системе координат.
В целом он не зависит от вектора l иравен Cϕ . В результате мы можем записать:1CϕZ+∞Z2πdβ0daa30Zd2 b F (a, b, β) G(a, b, β) =R21=(2π)2Zd2 k fb(k) gb(k) = hf, gi.(95)R2Утверждение доказано.Также можно написать формулу восстановления для функции f (r):1f (r) =CϕZ2πZ+∞dβ0daa30Zd2 b F (a, b, β)ϕa,b,β (r),(96)R2выполняющуюся в слабом смысле. Эту формулу можно интерпретировать как представление исследуемой функции f в виде суперпозиции функций ϕ.Приведём пример наиболее простого двумерного материнского вейвлета – вейвлет Морле:y2x2ϕM (r) = exp − 2 − 22σx 2σκ 2 σx2exp(iκx) − exp −.240(97)1.2Интегральное представление решений волнового уравненияПерейдем к оригинальной части работы.
В настоящей главе построено интегральное представление решений волнового уравнения в формеZu(r, t) = dµ(ν) U (ν) ψ ν (r, t),где ν – набор параметров,R(98)dµ(ν)· обозначает интегрирование с мерой µ(ν) в про-странстве параметров, ψ ν (r, t) – семейство элементарных решений, зависящих отпараметра ν, и U (ν) – коэффициенты разложения.Пространство H решений волнового уравненияРассмотрим однородное волновое уравнение в R2 с постоянным c: u ≡ utt − c2 (uxx + uyy ) = 0,r = (x, y).(99)Мы определяем пространство H комплекснозначных решений u(r, t) волновогоуравнения, которые интегрируемы с квадратом по пространственной переменнойr при фиксированном времени t.
Если функция u(r, t) недостаточно гладкая, мырассматриваем её как обобщённое решение (см. параграф 1.5).Фурье-преобразование решения u, сосчитанное по пространственным переменным r, имеет вид:ub(k, t) = ub+ (k, 0) e−i|k|ct + ub− (k, 0) ei|k|ct ,ub± (k, 0) ∈ L2 (R2 ).(100)Пространство решений H представляет собой прямую сумму двух подпространствH± , состоящих из решений с положительными и отрицательными частотами:H = H+ ⊕ H − ,u(r, t) = u+ (r, t) + u− (r, t).41(101)В подпространстве H+ вводим стандартное в L2 (R2 ) скалярное произведениепо пространственным переменным r:Zhu+ , v+ i ≡ d2 r u+ (r, t) v+ (r, t) =R21(2π)2Zd2 k ub+ (k, 0) vb+ (k, 0).(102)R2Данное скалярное произведение не зависит от времени t.
Это – основная причина,по которой мы раскладываем пространство H в прямую сумму двух подпространствH± . Если мы попытаемся использовать стандартное L2 (R2 ) скалярное произведение непосредственно в пространстве H, экспоненты exp(i|k|ct) и exp(−i|k|ct) несократятся и зависимость от времени не будет устранена.Интегральное представление решений из H+Выбираем решение ψ+ (r, t) волнового уравнения (99), принадлежащее пространству H+ . Единственное накладываемое ограничение – выполнение следующего условия допустимости на Фурье-преобразование ψb+ (k, 0) решения ψ+ :Z|ψb+ (k, 0)|2+2Cψ ≡ d k< ∞.|k|2(103)R2Используя терминологию, предложенную Кайзером в [8], мы можем назвать эторешение "физическим вейвлетом".
Пусть физический вейвлет принадлежит пространству L1 (R2 ) в каждый фиксированный момент времени t. Тогда условие допустимости (103) выполняется, если Фурье-преобразование ψb+ (k, 0) в точке k = 0ведёт себя как |k|α , α > 0.Образуем семейство элементарных решений следующим образом. Последовательно применим операции сдвига на b ∈ R2 , масштабирования в a > 0 раз и поворота в плоскости xy на угол β, а также масштабирование времени t с коэффициенa,b,βтом a.
Обозначим полученное семейство решений как ψ+(r, t):1a,b,β−1 r − b tψ+ (r, t) ≡ ψ+ Mβ,,aaa42(104)где матрица M−1β определяется выражением:cos β − sin β.Mβ = sin β cos β(105)В дальнейшем мы введем для краткости записи обозначениеa,b,βνψ+(r, t) ≡ ψ+(r, t),(106)ν = (a, b, β).νФурье-преобразование функции ψ+(r, t) по r при постоянном t будем обозначатьZννψb+(k, t) ≡ d2 r ψ+(107)(r, t) e−ik·r .R2Мы предлагаем определить вейвлет-преобразование в пространстве решенийνпри помощи скалярного произведения u+ и ψ+:Zr−b1tνU+ (ν) ≡ hu+ (r, t), ψ+=(r, t)i =d2 r u+ (r, t) ψ+ M−1,βaaaR2Za2−1b=dkub+ (r, 0) exp(ik · b) ψ+ aMβ k, 0 .(2π)2(108)R2Так как скалярное произведение в H± не зависит от времени t, коэффициенты U+ (ν)также не зависят от времени.Ниже мы используем, что вейвлет-преобразование любой функции из L2 (R2 )по материнскому вейвлету ϕ(r) обладает свойством изометрии (89) (см., напр., [9],[10]):1hf (r), g(r)i =Cϕdµ(ν) = dβda 2d b,a3Z(109)dµ(ν) F (ν) G(ν),β ∈ [0, 2π),a ∈ (0, +∞),b ∈ R2 .(110)Здесь f, g – некоторые интегрируемые с квадратом функции, а F, G – их вейвлетпреобразования.43Допустим φ(r) = ψ+ (r, 0).
Применим тождество (109) для двух функций u+ (r, 0),v+ (r, 0). Запишем1hu+ (r, 0), v+ (r, 0)i = +CψZdµ(ν) U+ (ν) V+ (ν),∀u+ , v+ ∈ H+ ,(111)коэффициент Cψ+ определяется формулой (103). Воспользуемся тем, чтоhu+ (r, t), v+ (r, t)i = hu+ (r, 0), v+ (r, 0)i.Получим, что1hu+ (r, t), v+ (r, t)i = +CψZdµ(ν) U+ (ν) V+ (ν),∀u+ , v+ ∈ H+ .(112)Это равенство верно в любой момент времени, так как ни U+ (ν) и V+ (ν), ни скалярное произведение решений u+ и v+ не зависят от времени t. Следствием свойства изометрии является формула восстановления:Z1νu+ (r, t) = + dµ(ν) U+ (ν) ψ+(r, t),Cψ(113)которая выполняется в слабом смысле для любых u+ ∈ H+ .Коэффициенты U+ (ν) не зависят от r и t, и, следовательно, формула (113) моνжет быть рассмотрена как суперпозиция элементарных решений ψ+(r, t).
Схожиерассуждения могут быть применены и к подпространству H− . В параграфе 1.5 мыпокажем, что формула (112) выполняется в смысле обобщенных функций.1.3Упрощения и обобщения основной формулыУменьшение числа параметровЧисло параметров, определяющих семейство решений, может быть уменьшено,а формулы (104)–(113) упрощены, если физический вейвлет ψ+ не зависит от угла.44В этом случае набор параметров сокращается до ν = (a, b). Условие допустимости(103) принимает более простой вид, так как при переходе в полярные координатыснимается интеграл по углу β:Cψ+Z∞≡ 2π|ψb+ (k, 0)|2dk< ∞,kk = |k|.(114)0Семейство решений задаётся формулой1a,bψ+(r, t) ≡ ψ+ar−b t,,aa(115)а интегральное представление будет выглядеть как2πu+ (r, t) = +CψZ∞daa30Za,b(r, t).d2 b U+ (a, b) ψ+(116)R2В этом случае U+ (a, b) не несет информации о направленных свойствах поля .Другое обобщение формулы восстановления связано с возможностью использовать разные физические вейвлеты при вычислении коэффициентов U+ (ν) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
